Nội dung bài ôn tập chương Giới hạn sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương IV Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.
Định nghĩa 1:
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = 0{\rm{ \, hay \, }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \to 0{\rm{ \, khi\, n}} \to {\rm{ + }}\infty {\rm{.}}\)
Định nghĩa 2:
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực (\(n \to + \infty \)), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0.{\rm{ }}\)Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = a{\rm{ \, hay\, }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \to a{\rm{ \, khi \, n}} \to {\rm{ + }}\infty {\rm{.}}\)
Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = \lim \left( {{u_n}} \right)\).
\(\lim \frac{1}{n} = 0{\rm{ }},{\rm{ lim}}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{k}}}}} = 0{\rm{ , n}} \in \mathbb{Z}_ + ^*\)
\(\lim \left( {{q^n}} \right) = 0{\rm{ }}\) với \(\left| q \right| < 1\).
Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.
Một số định lý về giới hạn của dãy số:
Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : \({{\rm{v}}_{\rm{n}}} \le {u_n} \le {w_n}{\rm{ }}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\) và \(\lim \left( {{v_n}} \right) = \lim \left( {{w_n}} \right) = a{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{lim}}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right) = a\).
Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:
\(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = \lim \left( {{u_n}} \right) \pm \lim \left( {{v_n}} \right) = a \pm b\)
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = a.b\)
\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim \left( {{u_n}} \right)}}{{\lim \left( {{v_n}} \right)}} = \frac{a}{b}{\rm{ ,}}\left( {{{\rm{v}}_{\rm{n}}} \ne 0{\rm{ }}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}};b \ne 0} \right)\)
\(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt {\lim \left( {{u_n}} \right)} = \sqrt a {\rm{ ,}}\left( {{u_n} \ge 0{\rm{ ,a}} \ge {\rm{0}}} \right)\)
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với \(\left| q \right| < 1.\)
\(\lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực \(\left( {{u_n} \to + \infty } \right)\) khi n dần tới vơ cực \(\left( {n \to + \infty } \right)\) nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)=\( + \infty \) hay un \( \to + \infty \) khi \(n \to + \infty \).
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là \( - \infty \) khi \(n \to + \infty \) nếu lim\(\left( { - {u_n}} \right) = + \infty \).Ký hiệu: lim(un)=\( - \infty \) hay un\( \to - \infty \) khi \(n \to + \infty \).
Nếu : \(\lim \left( {{u_n}} \right) = 0{\rm{ }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}} \ne 0{\rm{ ,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = \infty \)
Nếu : \(\lim \left( {{u_n}} \right) = \infty {\rm{ }}\) thì \(\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0\)
Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk để đi đến kết quả : \(\lim \left( {{u_n}} \right) = \frac{{{a_0}}}{{{b_0}}}\).
Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0.
Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=\(\infty \).
Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp.
Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn \( \in \)K và xn \( \ne \)a ,\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý 2:Nếu các giới hạn:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L{\rm{ }},{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = M\) thì:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = L \pm M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right].\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = L.M\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right]}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right]}} = \frac{L}{M}{\rm{ , M}} \ne {\rm{0}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right]} = \sqrt L {\rm{ ; }}f\left( x \right) \ge 0,L \ge 0\)
Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)\( \le \)f(x)\( \le \)h(x) \(\forall x \in K,x \ne a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {h\left( x \right)} \right] = L \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).
Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]=\(\infty \) thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \infty \).
Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = \(\infty \) đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right)} \right] = L\).
Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right]\). Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right]\)
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{ }}\left( {\frac{{\rm{0}}}{{\rm{0}}}} \right)\)
Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{ }}\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)\)
Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu \(x \to + \infty \) thì coi như x>0, nếu \(x \to - \infty \) thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]{\rm{ }}\left( {{\rm{0}}{\rm{.}}\infty } \right)\). Ta biến đổi về dạng: \(\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)\)
Giới hạn của hàm số dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {\sqrt {f\left( x \right)} - \sqrt {g\left( x \right)} } \right]{\rm{ }}\left( {\infty {\rm{ - }}\infty } \right)\)
Đưa về dạng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right) - g\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} + \sqrt {g\left( x \right)} }}\)
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 \( \in \) (a;b) nếu:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( {{x_0}} \right)\).Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số.
f(x) xác định trên khoảng (a;b), liên tục tại điểm x0 \( \in \) (a;b) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( {{x_0}} \right)\).
f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.
f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( a \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( b \right)\end{array} \right.\)
Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì:\(f\left( x \right) \pm g\left( x \right){\rm{ , }}f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{ , }}\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{ }}\left( {g\left( x \right) \ne 0} \right)\) cũng liên tục tại x0 .
Đinh lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó.
Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c\( \in \)(a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right)} \right]\).Hàm số liên tục tại x0 \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {g\left( x \right)} \right] = a\).
Xét tính liên tục của hàm số dạng: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right){\rm{ }}\left( {{\rm{x < }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\\a{\rm{ }}\left( {{\rm{x = }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\\h\left( x \right){\rm{ }}\left( {{\rm{x > }}{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right)\end{array} \right.\)
Tìm : \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {g\left( x \right)} \right]\\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {g\left( x \right)} \right]\\f\left( {{x_0}} \right)\end{array} \right.\). Hàm số liên tục tại x = x0 \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right)} \right] = f\left( {{x_0}} \right) = a\).
Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].
Chứng tỏ f(a).f(b)<0
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).
Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm.
Tìm các giới hạn:
a) \(\lim {\rm{ }}\sin \frac{1}{n}.\)
b) \({\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}}\)
a) \(\lim \frac{1}{n} = 0 \Rightarrow \lim {\rm{ }}\sin \frac{1}{n} = \sin 0 = 0.\)
b) \({\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 0 \Rightarrow {\rm{lim cos}}\frac{{2n + 5}}{{3{n^2} - 4n + 1}} = c{\rm{os}}0 = 1.\)
Tính các giới hạn:
a) \({\rm{lim }}\frac{1}{n}\sin (2n + 1).\)
b) \({\rm{lim }}\frac{5}{{2n + 3}}c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1).\)
a) \(sin(2n + 1) \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| {\frac{1}{n}\sin (2n + 1)} \right| \le \frac{1}{n} \to 0 \Rightarrow \lim \frac{1}{n}\sin (2n + 1) = 0.\)
b) \(\left| {c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1) \le 1} \right| \Rightarrow 0 \le \left| {\frac{5}{{2n + 3}}c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1)} \right| \le \frac{5}{{2n + 3}} \to 0\)
\( \Rightarrow \lim \frac{5}{{2n + 3}}c{\rm{os}}({n^2} + 2n - 1) = 0.\)
Tính các giới hạn:
a) \(\lim \frac{{4{n^2} + 5n - 1}}{{5{n^3} + 2{n^2} + 4n + 1}}.\)
b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{{3n + 2}}.\)
c) \({\rm{lim}}\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} - 2n\)
a) \(\lim \frac{{4{n^2} + 5n - 1}}{{5{n^3} + 2{n^2} + 4n + 1}} = \lim \frac{{\frac{4}{n} + \frac{5}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{n^3}}}}}{{5 + \frac{2}{n} + \frac{4}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \lim \frac{0}{5} = 0.\)
b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{{3n + 2}} = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} }}{n}}}{{\frac{{3n + 2}}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {4 + \frac{5}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{3 + \frac{2}{n}}} = \frac{2}{3}.\)
c) \({\rm{lim}}\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} - 2n = \lim \frac{{(\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} - 2n)(\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} + 2n)}}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} + 2n}}\)
\( = \lim \frac{{3n + 3}}{{\sqrt {4{n^2} + 5n + 3} + 2n}} = \frac{3}{4}\)
Tính các giới hạn:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 2{x^2} + 3x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}.\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{x - 1}}{\rm{ }}{\rm{.}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}}.\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + 2x + 3} - x)\)
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{(x + 1)(x - 2)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (x - 2) = - 3\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(\sqrt {3x + 1} - 2)(\sqrt {3x + 1} + 2)}}{{(x - 1)(\sqrt {3x + 1} + 2)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt {3x + 1} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{3}{{(\sqrt {3x + 1} + 2)}} = \frac{3}{4}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\frac{{\sqrt[3]{{2x - 1}} - 1}}{{x - 1}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{2x - 1}} + 1} \right)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + \sqrt[3]{{{{(2x - 1)}^2}}} + 1}} = \frac{2}{3}.\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + 2x + 3} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} - x)(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} + x)}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} + x)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 3}}{{(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} + x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{3}{x}}}{{(\sqrt {1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} + 1)}} = 1.\)
Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}{\rm{ }}\left( {{\rm{x}} \ne {\rm{1}}} \right)\\{\rm{a }}\left( {{\rm{x = 1}}} \right)\end{array} \right.\) a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 1.
Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(1) = a.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\)
Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1.
Nếu a\( \ne \)2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1.
Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1{\rm{ }}\left( {{\rm{x}} > {\rm{0}}} \right)\\{\rm{x }}\left( {{\rm{x}} \le {\rm{0}}} \right)\end{array} \right.\). Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0.
Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Ta có f(0) = 0
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 1{\rm{ }} \ne {\rm{ 0 = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x\end{array}\).
Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0.
Cho hàm số: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}ax + 2{\rm{ }}\left( {{\rm{x}} \ge {\rm{1}}} \right)\\{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + x - 1 }}\left( {{\rm{x}} < {\rm{1}}} \right)\end{array} \right.\) . Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số.
x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục.
x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục.
Khi x = 1:
Ta có f(1) = a+2
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {ax + 2} \right) = a + 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {f\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + x - 1} \right) = 1\end{array}\).
Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1.
Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a \( \ne \) -1.
Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) nếu a \( \ne \) -1.
Nội dung bài ôn tập chương Giới hạn sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương IV Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương IVđể kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3x + 2}}\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} - {x^5}}}{{{x^4} + x + 5}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}}\) có giá trị là bao nhiêu?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương IV sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 141 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 141 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 141 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 142 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 142 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 142 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 142 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 143 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 9 trang 143 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 10 trang 143 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 11 trang 143 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 12 trang 143 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 13 trang 143 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 14 trang 143 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 15 trang 143 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4.47 trang 172 SBT Toán 11
Bài tập 4.48 trang 173 SBT Toán 11
Bài tập 4.49 trang 173 SBT Toán 11
Bài tập 4.50 trang 173 SBT Toán 11
Bài tập 4.51 trang 173 SBT Toán 11
Bài tập 4.52 trang 173 SBT Toán 10
Bài tập 4.53 trang 173 SBT Toán 11
Bài tập 4.54 trang 173 SBT Toán 11
Bài tập 4.55 trang 173 SBT Toán 11
Bài tập 4.56 trang 174 SBT Toán 11
Bài tập 4.57 trang 174 SBT Toán 11
Bài tập 4.58 trang 174 SBT Toán 11
Bài tập 4.59 trang 174 SBT Toán 11
Bài tập 4.60 trang 174 SBT Toán 11
Bài tập 4.61 trang 175 SBT Toán 11
Bài tập 4.62 trang 175 SBT Toán 11
Bài tập 4.63 trang 175 SBT Toán 11
Bài tập 4.64 trang 175 SBT Toán 11
Bài tập 4.65 trang 175 SBT Toán 11
Bài tập 4.66 trang 175 SBT Toán 11
Bài tập 4.67 trang 175 SBT Toán 11
Bài tập 4.68 trang 176 SBT Toán 11
Bài tập 4.69 trang 176 SBT Toán 11
Bài tập 4.70 trang 176 SBT Toán 11
Bài tập 4.71 trang 176 SBT Toán 11
Bài tập 55 trang 177 SGK Toán 11 NC
Bài tập 56 trang 177 SGK Toán 11 NC
Bài tập 57 trang 177 SGK Toán 11 NC
Bài tập 58 trang 178 SGK Toán 11 NC
Bài tập 59 trang 178 SGK Toán 11 NC
Bài tập 60 trang 178 SGK Toán 11 NC
Bài tập 61 trang 178 SGK Toán 11 NC
Bài tập 62 trang 178 SGK Toán 11 NC
Bài tập 63 trang 179 SGK Toán 11 NC
Bài tập 64 trang 179 SGK Toán 11 NC
Bài tập 65 trang 180 SGK Toán 11 NC
Bài tập 66 trang 180 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3x + 2}}\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} - {x^5}}}{{{x^4} + x + 5}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}}\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left| {4{x^3} - 2x - 3} \right|\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {x^3}}}{{3{x^2} + x}}} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^4} + {x^3} - 2{x^2} - 1}}{{x - 2{x^4}}}\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\mathop {\lim }\limits_{y \to a} \frac{{{y^4} - {a^4}}}{{y - a}}\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}}\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x}\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{2x - 4}}\) có giá trị là bao nhiêu?
Tìm giới hạn của các dãy số (un) với:
a) \({u_n} = \frac{{2{n^3} - n - 3}}{{5n - 1}}\)
b) \({u_n} = \frac{{\sqrt {{n^4} - 2n + 3} }}{{ - 2{n^2} + 3}}\)
c) \({u_n} = - 2{n^2} + 3n - 7\)
d) \({u_n} = \sqrt[3]{{{n^9} + 8{n^2} - 7}}\)
Tìm các giới hạn của các dãy số (un) với:
a) \({u_n} = \sqrt {3n - 1} - \sqrt {2n - 1} \)
b) \({u_n} = \frac{{{4^n} - {5^n}}}{{{2^n} + {{3.5}^n}}}\)
Cho một cấp số nhân (un), trong đó:
243u8 = 32u3 với u3 ≠ 0.
a. Tính công bội của cấp số nhân đã cho.
b. Biết rằng tổng của cấp số nhân đã cho bằng 35, tính u1.
Tìm giới hạn của dãy số (un) xác định bởi:
\({u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\).
Hướng dẫn: Với mỗi số nguyên dương k, ta có
\(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}\)
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \sqrt[3]{{\frac{{2{x^4} + 3x + 1}}{{{x^2} - x + 2}}}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - x + 5} }}{{2x - 1}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{{x^4} + 1}}{{{x^2} + 4x + 3}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\sqrt {\frac{{x + 4}}{{4 - x}}} \)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {8 + 2x} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}\)
f) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt {4 + {x^2}} } \right)\)
Hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} + 8}}{{4x + 8}},\,\,\,\,x \ne - 2\\
3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 2
\end{array} \right.\)
Có liên tục trên R không ?
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}},\,\,\,\,x < 2\\
mx + m + 1,\,\,\,\,\,\,x \ge 2
\end{array} \right.\)
Liên tục tại điểm x = 2
Chứng minh rằng phương trình:
\({x^4} - 3{x^2} + 5x - 6 = 0\)
Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2).
a. \(\lim \frac{{n - 2\sqrt n \sin 2n}}{{2n}}\) là :
A. 1
B. \(\frac{1}{2}\)
C. -1
D. 0
b. \(\lim \frac{{{n^2} - 3{n^3}}}{{2{n^3} + 5n - 2}}\) là :
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{5}\)
C. \(-\frac{3}{2}\)
D. 0
c. \(\lim \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n} - {{2.3}^n} + 1}}\) là :
A. \(-\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. -1
d. \(\lim \left( {2n - 3{n^3}} \right)\) là :
A. +∞
B. −∞
C. 2
D. -3
a. \(\lim \frac{{{n^3} - 2n}}{{1 - 3{n^2}}}\) là :
A. \(\frac{{ - 1}}{3}\)
B. \(\frac{2}{3}\)
C. +∞
D. −∞
b. \(\lim \left( {{2^n} - {5^n}} \right)\) là :
A. +∞
B. 1
C. −∞
D. \(\frac{5}{2}\)
c. \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\) là :
A. +∞
B. −∞
C. 0
D. 1
d. \(\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} - n}}\) là :
A. +∞
B. 0
C. 2
D. -2
a. \(\lim \frac{{1 - {2^n}}}{{{3^n} + 1}}\) là :
A. \(\frac{{ - 2}}{3}\)
B. 0
C. 1
D. \(\frac{1}{2}\)
b. Tổng của cấp số nhân vô hạn
\( - \frac{1}{2},\frac{1}{4}, - \frac{1}{8},...,\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n}}},...\)
Là :
A. \(-\frac{1}{4}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. - 1
D. \(-\frac{1}{3}\)
c. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số :
A. 611
B. 4690
C. 4390
D. 4790
a. Trong bốn giới hạn sau đây giới hạn nào là -1 ?
A. \(\lim \frac{{2n + 3}}{{2 - 3n}}\)
B. \(\lim \frac{{{n^2} - {n^3}}}{{2{n^3} + 1}}\)
C. \(\lim \frac{{{n^2} + n}}{{ - 2n - {n^2}}}\)
D. \(\lim \frac{{{n^3}}}{{{n^2} + 3}}\)
b. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là +∞ ?
A. \(\lim \frac{{{n^2} - 3n + 2}}{{{n^2} + n}}\)
B. \(\lim \frac{{{n^3} + 2n - 1}}{{n - 2{n^3}}}\)
C. \(\lim \frac{{2{n^2} - 3n}}{{{n^3} + 3n}}\)
D. \(\lim \frac{{{n^2} - n + 1}}{{2n - 1}}\)
c. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?
A. \(\lim \frac{{{2^n} + 1}}{{{{3.2}^n} - {3^n}}}\)
B. \(\lim \frac{{{2^n} + 3}}{{1 - {2^n}}}\)
C. \(\lim \frac{{1 - {n^3}}}{{{n^2} + 2n}}\)
D. \(\lim \frac{{\left( {2n + 1} \right){{\left( {n - 3} \right)}^2}}}{{n - 2{n^3}}}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\lim \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n} + {{2.5}^n}}}{{1 - {5^n}}}\\
= \lim \dfrac{{{{\left( { - \dfrac{3}{5}} \right)}^n} + 2}}{{\dfrac{1}{{{5^n}}} - 1}}\\
= \dfrac{{0 + 2}}{{0 - 1}} = - 2
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\lim \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{{{n^2} + n + 1}}\\
= \lim \dfrac{{\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}{{{n^2} + n + 1}}\\
= \lim \dfrac{{{n^2} + n}}{{2\left( {{n^2} + n + 1} \right)}}\\
= \lim \dfrac{{1 + \dfrac{1}{n}}}{{2\left( {1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\\
= \dfrac{{1 + 0}}{{2\left( {1 + 0 + 0} \right)}} = \dfrac{1}{2}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 1} - \sqrt {{n^2} + n - 1} } \right)\\
= \lim \dfrac{{{n^2} + 2n + 1 - {n^2} - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 2n + 1} + \sqrt {{n^2} + n - 1} }}\\
= \lim \dfrac{{n + 2}}{{\sqrt {{n^2} + 2n + 1} + \sqrt {{n^2} + n - 1} }}\\
= \lim \dfrac{{1 + \dfrac{2}{n}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} }}\\
= \dfrac{{1 + 0}}{{\sqrt {1 + 0 + 0} + \sqrt {1 + 0 - 0} }}\\
= \dfrac{1}{2}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có, \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{n^2} + 1}}} \right| = {1 \over {{n^2} + 1}}\). Đặt \({v_n} = {1 \over {{n^2} + 1}}\) (1)
Ta có \(\lim {v_n} = \lim {1 \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{1 \over {{n^2}}}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = 0\)
Do đó, \(\left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Từ (1) suy ra, \(\left| {{u_n}} \right| = {v_n} = \left| {{v_n}} \right|\)
Vậy, \(\left| {{u_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{2^n} - n} \over {{3^n} + 1}}} \right| < {{{2^n}} \over {{3^n} + 1}}=v_n\)
\(\lim \dfrac{{{2^n}}}{{{3^n} + 1}} = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + \dfrac{1}{{{3^n}}}}}\) \( = \dfrac{0}{{1 + 0}} = 0\)
\( \Rightarrow {v_n} = \dfrac{{{2^n}}}{{{3^n} + 1}}\) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý từ một số hạng nào đó trở đi
\( \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| < {v_n}\) cũng nhỏ hơn một số dương bé tuy ý từ một số hạng nào đó trở đi
\( \Rightarrow \lim {u_n} = 0\) (theo định nghĩa)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& 2,131131131... = 2 + {{131} \over {1000}} + {{131} \over {{{1000}^2}}} + ... + {{131} \over {{{1000}^n}}} + ... \cr
& {\rm{ }} = 2 + {{{{131} \over {1000}}} \over {1 - {1 \over {1000}}}} = 2 + {{131} \over {999}} = {{2129} \over {999}}. \cr} \)
(Vì \({{131} \over {1000}},{{131} \over {{{1000}^2}}},...,{{131} \over {{{1000}^n}}},...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = {1 \over {1000}}\)).
Câu trả lời của bạn
Chứng minh bằng quy nạp: \({u_n} > 0\) với mọi n. (1)
- Với n = 1 ta có \({u_1} = 1 > 0\)
- Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\) nghĩa là \({u_k} > 0\) ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1
Ta có \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}}\). Vì \({u_k} > 0\) nên \({u_{k + 1}} = {{2{u_k} + 3} \over {{u_k} + 2}} > 0\)
- Kết luận: \({u_n} > 0\) với mọi n.
Câu trả lời của bạn
Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = M - {u_n}\)
\({u_n} < M\) với mọi n \(\Rightarrow {v_n} > 0\) với mọi n. (1)
Mặt khác, \(\lim {v_n} = \lim \left( {M - {u_n}} \right) = M - a\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(M - a \ge 0\) hay \(a \le M\).
Câu trả lời của bạn
\(\lim \left( {\cos \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) = \lim \left( {\cos 2n\pi } \right) = 1\)
\(\lim \left( {\cos \dfrac{1}{{{b_n}}}} \right) = \lim \left( {\cos \left( {2n + 1} \right)\pi } \right) = - 1\)
Do đó \(\lim \left( {\cos \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) \ne \lim \left( {\cos \dfrac{1}{{{b_n}}}} \right)\) nên \(f\left( x \right) = \cos \dfrac{1}{x}\) không có giới hạn khi \(x \to 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{x + 5}}{{{x^2} + x - 3}}\) \( = \dfrac{{ - 2 + 5}}{{{{\left( { - 2} \right)}^2} + \left( { - 2} \right) - 3}} = - 3\)
Câu trả lời của bạn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \sqrt {{x^2} + 8x + 3} \) \( = \sqrt {{3^2} + 8.3 + 3} = 6\)
Câu trả lời của bạn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2}\sqrt x - 1} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \dfrac{{2\sqrt x }}{x} - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right]\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right]\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)\)\( = 1 + 0 - 0 = 1 > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \dfrac{2}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2}\sqrt x - 1} \right) = + \infty \).
Câu trả lời của bạn
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {2{x^3} - 5x - 4} \right)\) \( = 2.{\left( { - 1} \right)^3} - 5.\left( { - 1} \right) - 4 = - 1 < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {\left( {x + 1} \right)^2} = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} > 0,\forall x \ne - 1\end{array} \right.\)
Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{2{x^3} - 5x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - \infty \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{4 - \sqrt {{x^2} + 16} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right)\left( {4 + \sqrt {{x^2} + 16} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right)\left( {4 - \sqrt {{x^2} + 16} } \right)\left( {4 + \sqrt {{x^2} + 16} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {{x^2} + 1 - 1} \right)\left( {4 + \sqrt {{x^2} + 16} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right)\left( {16 - {x^2} - 16} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}\left( {4 + \sqrt {{x^2} + 16} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right)\left( { - {x^2}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4 + \sqrt {{x^2} + 16} }}{{ - \left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{4 + \sqrt {0 + 16} }}{{ - \left( {\sqrt {0 + 1} + 1} \right)}} \\= - 4\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + \sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{1 - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + \left| x \right|\sqrt {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x - x\sqrt {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{1 - \sqrt {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{\dfrac{1}{x} - 2}}\\ = \dfrac{{1 - \sqrt {4 - 0 + 0} }}{{0 - 2}}\\ = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \dfrac{{2{x^4} + 5x - 1}}{{1 - {x^2} + {x^4}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \dfrac{{{x^4}\left( {2 + \dfrac{5}{{{x^3}}} - \dfrac{1}{{{x^4}}}} \right)}}{{{x^4}\left( {\dfrac{1}{{{x^4}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \dfrac{{2 + \dfrac{5}{{{x^3}}} - \dfrac{1}{{{x^4}}}}}{{\dfrac{1}{{{x^4}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}} + 1}}\\ = \dfrac{{2 + 0 - 0}}{{0 - 0 + 1}} = 2\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt x = \sqrt 1 = 1\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{1 \over {{x^2} - 4}} - {1 \over {x - 2}}} \right) \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{1 - \left( {x + 2} \right)} \over {{x^2} - 4}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{ - x - 1} \over {{x^2} - 4}} = - \infty \cr} \)
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} - 5x - 1\) trên các đoạn \(\left[ { - 2; - 1} \right],\left[ { - 1;0} \right],\left[ {0;3} \right]\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right),\left( { - 1;0} \right),\left( {0;3} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 23\\f\left( { - 1} \right) = 3\\f\left( 0 \right) = - 1\\f\left( 3 \right) = 227\end{array}\)
Vì \(f\left( { - 2} \right).f\left( { - 1} \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 2; - 1} \right)\)
\(f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - 1;0} \right)\)
\(f\left( 0 \right).f\left( 3 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;3} \right)\)
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 3 nghiệm.
Câu trả lời của bạn
Khi \(x\ne -1\) thì \(f(x)\) là hàm phân thức nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^3} + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x + 4}}{{{x^2} - x + 1}}\\ = \dfrac{{ - 1 + 4}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 1} \right) + 1}}\\ = 1\end{array}\)
Mà \(f\left( { - 1} \right) = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 1\)
Vậy hàm số đã cho liên tục tại \(x = - 1\).
Do đó hàm số liên tục trên R.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *