Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm Nhị thức Niu-tơn cùng các dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.
Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)
\( = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau
VD: Số hạng thứ nhất \({T_1} = {T_{0 + 1}} = C_n^0{a^n}\), số hạng thứ k: \({T_{(k - 1) + 1}} = C_n^{k - 1}{a^{n - k + 1}}{b^{k - 1}}\)
Ta có : \({(1 + x)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + ... + {x^n}C_n^n\)
Từ khai triển này ta có các kết quả sau:
Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển:
\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}\) với \(x > 0\) (\(p,q\) là các hằng số khác nhau).
Ta có:
\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {a{x^p}} \right)}^{n - k}}{{\left( {b{x^q}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}{x^{np - pk + qk}}} \)
Số hạng chứa \({x^m}\) ứng với giá trị \(k\) thỏa: \(np - pk + qk = m\).
Từ đó tìm \(k = \frac{{m - np}}{{p - q}}\)
Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) là: \(C_n^k{a^{n - k}}.{b^k}\) với giá trị \(k\) đã tìm được ở trên.
Nếu \(k\) không nguyên hoặc \(k > n\) thì trong khai triển không chứa \({x^m}\), hệ số phải tìm bằng 0.
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển
\(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}\) được viết dưới dạng \({a_0} + {a_1}x + ... + {a_{2n}}{x^{2n}}\).
Ta làm như sau:
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn
Ta làm như sau:
Tìm hệ số x16 trong khai triền ( x2-2x )10.
Ta có: \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^{10}} = \,{\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^2})} ^{10 - k}}{\left. { - 2x} \right)^k}\)
\(= \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - 2k}}{x^k}} {\left. { - 2} \right)^k} = \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - k}}} {\left. { - 2} \right)^k}\)
Ta chọn: 20 - k= 16 \(\Leftrightarrow \,k = 4\)
=> Hệ số x16 trong khai triển là \(C_{10}^4 = 3360\)
Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1-3x)n là 90. Tìm n.
Với số thực \(x \ne 0\) và với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:
\({(1 - 3x)^n} = \,{[1 - (3x)]^n} = \,\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {(1)^{n - k}}{( - 3)^k}{x^k}\)
Suy ra hệ số của x2 trong khai triển này là \({3^2}C_n^2\). Theo giả thiết, ta có:
\({3^2}C_n^2\) = 90 => \(C_n^2\, = 10\)
Từ đó ta có: \(\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 10\, \Leftrightarrow \,n(n - 1)\, = \,20\)
\(\Leftrightarrow \,{n^2}\, - \,n = \,20\, \Leftrightarrow \,n = \, - 4\) ( loại) hoặc n= 5
Đáp số: n= 5
Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(f(x) = {\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{12}}{\rm{ (}}x \ne 0).\)
Ta có: \(f(x) = {(x - 2.{x^{ - 1}})^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 - k}}.{{( - 2{x^{ - 1}})}^k}} \)
\(\sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( - 2)}^k}{x^{12 - 2k}}} \)
Số hạng không chứa \(x\) ứng với giá trị \(k\) thỏa mãn: \(12 - 2k = 0\)
\( \Leftrightarrow k = 6 \Rightarrow \) số hạng không chứa \(x\) là: \(C_{12}^6{.2^6} = 59136\).
Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển sau: \(f(x) = {(3{x^2} + 2x + 1)^{10}}\).
\(f\left( x \right) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\)
\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k - i}}.{(3{x^2})^i} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k - i}}{.3^i}{x^{k + i}}\)
với\(0 \le i \le k \le 10\).
Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\).
Vậy hệ số chứa \({x^4}\): \({2^4}C_{10}^4.C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3.C_3^1 + {3^2}C_{10}^2.C_2^2 = 8085\).
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm Nhị thức Niu-tơn cùng các dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 2 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển biểu thức \(f(x) = {(1 - 2x)^{10}}\)
Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(g(x) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}}} \right)^{17}}{\rm{ }}(x > 0)\)
Viết số hạng thứ \(k + 1\) trong khai triển \(f(x) = {\left( {2x + \frac{1}{x}} \right)^{20}}.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 57 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2.32 trang 79 SBT Toán 11
Bài tập 2.33 trang 79 SBT Toán 11
Bài tập 2.34 trang 79 SBT Toán 11
Bài tập 2.35 trang 79 SBT Toán 11
Bài tập 2.36 trang 79 SBT Toán 11
Bài tập 2.37 trang 79 SBT Toán 11
Bài tập 2.38 trang 79 SBT Toán 11
Bài tập 2.39 trang 79 SBT Toán 11
Bài tập 17 trang 67 SGK Toán 11 NC
Bài tập 18 trang 67 SGK Toán 11 NC
Bài tập 19 trang 67 SGK Toán 11 NC
Bài tập 20 trang 67 SGK Toán 11 NC
Bài tập 21 trang 67 SGK Toán 11 NC
Bài tập 22 trang 67 SGK Toán 11 NC
Bài tập 23 trang 67 SGK Toán 11 NC
Bài tập 24 trang 67 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển biểu thức \(f(x) = {(1 - 2x)^{10}}\)
Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(g(x) = {\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}}} \right)^{17}}{\rm{ }}(x > 0)\)
Viết số hạng thứ \(k + 1\) trong khai triển \(f(x) = {\left( {2x + \frac{1}{x}} \right)^{20}}.\)
Tìm hệ số không chứa \(x\) trong các khai triển sau \({({x^3} - \frac{2}{x})^n}\), biết rằng \(C_n^{n - 1} + C_n^{n - 2} = 78\) với \(x > 0\)
Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển đa thức của: \(x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}\)
Gọi \(S = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n\). Giá trị của S là bao nhiêu ?
Khai triển của \({(2x - 3)^4}\) là:
Khi khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {x + y} \right)^6}\) thành đa thức thì:
Gọi \(S = {x^6} - 6{x^5}3y + 15{x^4}{\left( {3y} \right)^2} - 20{x^3}{\left( {3y} \right)^3} + 15{x^2}{\left( {3y} \right)^4} - 6x{\left( {3y} \right)^5} + {\left( {3y} \right)^6}\) thì giá trị S là biểu thức nào sau đây :
Trong khai triển \({\left( {2a - b} \right)^5}\), hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:
a) \((a + 2b)^5\);
b) \(\small (a - \sqrt{2})^6\);
c) \(\small (x - \frac{1}{x})^{13}\).
Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức: \(\small (x +\frac{2}{x^2} )^6\).
Biết hệ số của x2 trong khai triển của \(\small (1 - 3x)^n\) là 90. Tìm n.
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \(\small (x^3 +\frac{1}{x} )^8\)
Từ khai triển biểu thức \(\small (3x - 4)^ {17 }\)thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được:
Chứng minh rằng:
a) \(\small 11^{10} - 1\) chia hết cho 100;
b) \(\small 101^{100} - 1\) chia hết cho 10 000;
c) \(\small \sqrt{10}[(1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100}]\) là một số nguyên.
Tìm số hạng thứ năm trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{x}} \right)^{10}}\), mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần.
Viết khai triển của (1+x)6.
a) Dùng ba số hạng đầu để tính gần đúng 1,016.
b) Dùng máy tính để kiểm tra kết quả trên.
Trong khai triển (1+ax)n ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x2. Hãy tìm a và n.
Trong khai triển của (x+a)3(x−b)6, hệ số của x7 là −9 và không có số hạng chứa x8. Tìm a và b.
Xác định hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển \({\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^n}\) nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.
Tập hợp E có n phần tử thì số tập hợp con của E (kể cả tập hợp rỗng và tập E) là:
A. n2 B. \(C_n^2\)
C. 2n D. n!
Hệ số của x31 trong khai triển của \({\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}}\) là :
A. 9880 B. 9980
C. 10080 D. 10980
Hệ số của x25y10 trong khai triển của (x3+xy)15 là:
A. \(C_{15}^5\) B. \(C_{25}^{10}\)
C. \(C_{15}^{10}\) D. \(C_{25}^{15}\)
Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x−3y)200
Tính hệ số của x5y8 trong khai triển (x+y)13
Tính hệ số của x7 trong khai triển (1+x)11
Tính hệ số của x9 trong khai triển (2−x)19
Khai triển (3x+1)10 cho tới x3.
Tìm hệ số của x7 trong khai triển của (3−2x)15
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Tổng các hệ số trong khai triển (2nx + 1/2nx2)3n bằng 64. Số hạng không chứa x trong khai triển là:
A. 360
B. 210
C. 250
D. 240
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Trong khai triển (a+2)(n+6),(n ϵ N) có tất cả n+7 số hạng.
Do đó n+7 =17 ⇔ n=10.
Câu trả lời của bạn
Trong khai triển (3x2-y)10 có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6.
Vậy hệ số của số hạng chính giữa là \(- {3^5}.C_{10}^5\).
Câu trả lời của bạn
(a + b)4 = (a + b)3(a + b)
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 )(a + b)
= a4 + 3a3b + 3a2b2 + ab3 + a3b + 3a2b2 + 3ab3 + b4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Câu trả lời của bạn
Dựa vào tam giác Pa-xcan:C14 = 4; C24 = 6
C25 = C14 + C24 = 4 + 6 = 10
Mà: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
⇒ 1 + 2 + 3 + 4 = C25
Câu trả lời của bạn
Dựa vào tam giác Pa-xcan:C17 = 7; C27 = 21
C28 = C17 + C27 = 7 + 21 = 28
1 + 2 +⋯+ 7 = ((1 + 7).7)/2 = 28
⇒ 1 + 2 +⋯+ 7 = C28
Câu trả lời của bạn
Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:
\({(a + 2b)^5} = {a^5} + 5{a^4}.2b + 10{a^3}.{(2b)^2} + 10{a^2}{(2b)^3}\)
\(+ 5a.{(2b)^4} + {(2b)^5}\)\(={a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}\)
\(\begin{array}{l}
C2:{\left( {a + 2b} \right)^5} \\
= C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}{\left( {2b} \right)^1} + C_5^2{a^3}{\left( {2b} \right)^2}\\
+ C_5^3{a^2}{\left( {2b} \right)^3} + C_5^4{a^1}{\left( {2b} \right)^4} + C_5^5{\left( {2b} \right)^5}\\
= {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:
\({\left( {a - \sqrt 2 } \right)^6} = {a^6} + 6{a^5}\left( { - \sqrt 2 } \right) + 15{a^4}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} \)
\(+ 20{a^3}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + 15{a^{^2}}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4} + 6a{\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}\)
\(+ {\left( { - \sqrt 2 } \right)^6}\)\(={a^6} - 6\sqrt 2 {a^5} + 30{a^4}- 40\sqrt 2 {a^3}\)
\(+ 60{a^2} - 24\sqrt 2 a + 8\)
\(\begin{array}{l}
C2:\,\,{\left( {a - \sqrt 2 } \right)^6} \\
= C_6^0{a^6} + C_6^1{a^5}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^1} + C_6^2{a^4}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2}\\ \;\;\;\;+ C_6^3{a^3}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3}+ C_6^4{a^2}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4} \\\;\;\;\;+ C_6^5{a^1}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^5} + C_6^6{\left( { - \sqrt 2 } \right)^6}\\
= {a^6} - 6\sqrt 2 {a^5} + 30{a^4} - 40\sqrt 2 {a^3} + 60{a^2}\\\;\;\;\; - 24\sqrt 2 a + 8
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)^{13}}\\
= C_{13}^0{x^{13}} + C_{13}^1{x^{12}}.\left( { - \dfrac{1}{x}} \right) + C_{13}^2{x^{11}}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^2}\\
+ C_{13}^3{x^{10}}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^3} + C_{13}^4{x^9}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^4}\\
+ C_{13}^5{x^8}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^5} + C_{13}^6{x^7}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^6}\\
+ C_{13}^7{x^6}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^7} + C_{13}^8{x^5}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^8}\\
+ C_{13}^9{x^4}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^9} + C_{13}^{10}{x^3}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^{10}}\\
+ C_{13}^{11}{x^2}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^{11}} + C_{13}^{12}x.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^{12}} + C_{13}^{13}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^{13}}\\
= C_{13}^0{x^{13}} + C_{13}^1{x^{12}}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^1}}}{x} + C_{13}^2{x^{11}}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\\
+ C_{13}^3{x^{10}}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{{{x^3}}} + C_{13}^4{x^9}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{{{x^4}}}\\
+ C_{13}^5{x^8}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^5}}}{{{x^5}}} + C_{13}^6{x^7}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^6}}}{{{x^6}}}\\
+ C_{13}^7{x^6}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^7}}}{{{x^7}}} + C_{13}^8{x^5}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^8}}}{{{x^8}}}\\
+ C_{13}^9{x^4}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^9}}}{{{x^9}}} + C_{13}^{10}{x^3}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{10}}}}{{{x^{10}}}}\\
+ C_{13}^{11}{x^2}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{11}}}}{{{x^{11}}}} + C_{13}^{12}x.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{12}}}}{{{x^{12}}}} + C_{13}^{13}.\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^{13}}}}{{{x^{13}}}}\\
= C_{13}^0{x^{13}} - C_{13}^1{x^{11}} + C_{13}^2{x^9} - C_{13}^3{x^7} + C_{13}^4{x^5}\\
- C_{13}^5{x^3} + C_{13}^6x - C_{13}^7.\dfrac{1}{x} + C_{13}^8.\dfrac{1}{{{x^3}}} - C_{13}^9.\dfrac{1}{{{x^5}}}\\
+ C_{13}^{10}.\dfrac{1}{{{x^7}}} - C_{13}^{11}.\dfrac{1}{{{x^9}}} + C_{13}^{12}.\dfrac{1}{{{x^{11}}}} - C_{13}^{13}.\dfrac{1}{{{x^{13}}}}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Số hạng tổng quát:
\(\begin{array}{l}
{T_{k + 1}} = C_6^k.{x^{6 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^k}\\ = C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^k}}}\\
= C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{x^{2k}}}}\\
= C_6^k{x^{6 - k - 2k}}{.2^k}\\
= C_6^k{.2^k}.{x^{6 - 3k}}
\end{array}\)
Số hạng chứa \(x^3\) ứng với \(6 - 3k = 3 \Leftrightarrow k = 1\)
Do đó hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức đã cho là: \(C_6^1.2^1 = 2.6 = 12\)
Câu trả lời của bạn
Số hạng tổng quát:
\(\begin{array}{l}{T_{k + 1}} = C_n^k{.1^{n - k}}.{\left( { - 3x} \right)^k}\\ = C_n^k.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^k}\end{array}\)
Hệ số của \({x^2}\) ứng với \(k = 2\) hay hệ số của \({x^2}\) là \(C_n^2.{\left( { - 3} \right)^2} = 9C_n^2\)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}9C_n^2 = 90 \Leftrightarrow C_n^2 = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 10\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 20\\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\left( {TM} \right)\\n = - 4\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(n = 5\).
Câu trả lời của bạn
Số hạng tổng quát:
\(\begin{array}{l}{T_{k + 1}} = C_8^k.{\left( {{x^3}} \right)^{8 - k}}.{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^k}\\ = C_8^k.{x^{24 - 3k}}.\dfrac{1}{{{x^k}}}\\ = C_8^k{x^{24 - 3k - k}}\\ = C_8^k{x^{24 - 4k}}\end{array}\)
Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(24 - 4k = 0 \Leftrightarrow 4k = 24 \Leftrightarrow k = 6\)
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {{x^3} + \dfrac{1}{x}} \right)^8}\) là \(C_8^6 = 28\).
Câu trả lời của bạn
Sử dụng khai triển của nhị thức Newton ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {3x - 4} \right)^{17}} \\
= C_{17}^0{\left( {3x} \right)^{17}} + C_{17}^1{\left( {3x} \right)^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}
\end{array}\)
Ta thấy, tổng các hệ số trong khai triển \((3x – 4)^{17}\) là:
\(C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}\)
Cho \(x=1\) ta có:
\({\left( {3.1 - 4} \right)^{17}} = C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}\)
hay \((-1)^{17}=C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}\)
Do đó:
\(C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}=-1\)
Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được bằng \(-1\).
Câu trả lời của bạn
\({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 \)
\(\begin{array}{l}
= (C_{10}^0{1^{10}}{.10^0} + C_{10}^1{.1^9}{.10^1} + ...\\
+ ... + C_{10}^9{.1^1}{.10^9} + C_{10}^{10}{1^0}{.10^{10}}) - 1
\end{array}\)
\(= (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}\) \(+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1\)
\(=10.10+ C^2_{10}{10^2} + \ldots + C^9_{10}{10^9} +{10^{10}}\)
\( = 100\left( {1 + C_{10}^2 + C_{10}^3.10 + ... + {{10}^8}} \right)\)
Tổng sau cùng chia hết cho \(100\) suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\).
Câu trả lời của bạn
Ta có
\({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\)
\(\begin{array}{l}
= (C_{100}^0{.1^{100}}{.100^0} + C_{100}^1{.1^{99}}{.100^1} + ...\\
+ ... + C_{100}^{99}{.1^1}{.100^{99}} + C_{100}^{100}{.100^{100}}) - 1
\end{array}\)
\(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... \) \(+C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\)
\( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}\)
\( = {100^2}\left( {1 + C_{100}^2 + C_{100}^3.100 + ... + {{100}^{98}}} \right)\)
Tổng sau cùng chia hết cho \(100^2=10 000\) nên \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \((1 + x)^6 \)
\(= C_6^0{x^0} + C_6^1{x^1} + C_6^2{x^2} + C_6^3{x^3} \)
\(C_6^4{x^4}+C_6^5{x^5}+ C_6^6{x^6} \)
\(= 1 + 6x + 15{x^2} + 20{x^3} \)
\(+ 15{x^4} + 6{x^5} + {x^6}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
= C_n^0{.1^n} + C_n^1{.1^{n - 1}}.{\left( {ax} \right)^1} + C_n^2{.1^{n - 2}}.{\left( {ax} \right)^2} + \\
+ ... + C_n^{n - 1}{.1^1}.{\left( {ax} \right)^{n - 1}} + C_n^n.{\left( {ax} \right)^n}\\
= 1 + C_n^1ax + C_n^2{\left( {ax} \right)^2} + ... + \\
+ C_n^{n - 1}{\left( {ax} \right)^{n - 1}} + C_n^n{\left( {ax} \right)^n}
\end{array}\)
\(= 1 + C_n^1ax + C_n^2{a^2}{x^2} + ...\)
Theo bài ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}C_n^1a = 24\\C_n^2{a^2} = 252\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\dfrac{{n\left( {n - 1} \right){a^2}}}{2} = 252\end{array} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
na = 24\\
\frac{{24\left( {n - 1} \right)a}}{2} = 252
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\left( {n - 1} \right)a = 21\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
na = 24\\
na - a = 21
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
na = 24\\
24 - a = 21
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\n = 8.\end{array} \right.\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *