Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới, cơ sở để các em học phân môn Giải tích trong chương trình Toán 11 là dãy số. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ nắm được phương pháp giải bài tập của nội dung này.
Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số \(u:\mathbb{N}* \to \mathbb{R},{\rm{ }}n \to u(n)\)
Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên \(n\):
\(u(1),u(2),u(3),...,u(n),...\)
\( \bullet {\rm{ }}\)Ta kí hiệu \(u(n)\) bởi \({u_n}\) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu của dãy số.
\( \bullet \) Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},...,{u_n},...\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\).
Người ta thường cho dãy số theo các cách:
\( \bullet \) Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó
\( \bullet \) Cho bằng công thức truy hồi, tức là:
* Cho một vài số hạng đầu của dãy
* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.
\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\)
\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\)
\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho \({u_n} < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).
\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực \(m\) sao cho \({u_n} > m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).
\( \bullet \) Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương \(M\) sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).
Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy;
b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
a) Ta có năm số hạng đầu của dãy
\({u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}\), \({u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}\)
b) Ta có: \({u_n} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\), do đó \({u_n}\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{n + 1}}\) nguyên hay \(n + 1\) là ước của 5. Điều đó xảy ra khi \(n + 1 = 5 \Leftrightarrow n = 4\)
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là \({u_4} = 7\).
Cho dãy số \(({u_n})\)xác định bởi:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\).
a) Viết năm số hạng đầu của dãy;
b) Chứng minh rằng \({u_n} = {2^{n + 1}} - 3\);
c) Số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số có chia hết cho 7 không?
a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
\({u_1} = 1;\)\({u_2} = 2{u_1} + 3 = 5\); \({u_3} = 2{u_2} + 3 = 13;{\rm{ }}{u_4} = 2{u_3} + 3 = 29\)
\({u_5} = 2{u_4} + 3 = 61\).
b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp
* Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = {2^{1 + 1}} - 3 = 1 \Rightarrow \) bài toán đúng với \(N = 1\)
* Giả sử \({u_k} = {2^{k + 1}} - 3\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} - 3\)
Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:
\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2({2^{k + 1}} - 3) + 3 = {2^{k + 2}} - 3\) đpcm.
c) Ta xét phép chia của \(n\) cho 3
* \(n = 3k \Rightarrow {u_n} = 2({2^{3k}} - 1) - 1\)
Do \({2^{3k}} - 1 = {8^k} - 1 = 7.A \vdots 7 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7
* \(n = 3k + 1 \Rightarrow {u_n} = 4({2^{3k}} - 1) + 1 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7
* \(n = 3k + 2 \Rightarrow {u_n} = 8({2^{3k}} - 1) + 5 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7
Vậy số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số không chia hết cho 7.
Phương pháp:
\( \bullet \) Để xét tính đơn điệu của dãy số \(({u_n})\) ta xét : \({k_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\)
* Nếu \({k_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng
* Nếu \({k_n} < 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.
Khi \({u_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\) ta có thể xét \({t_n} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)
* Nếu \({t_n} > 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng
* Nếu \({t_n} < 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.
\( \bullet \) Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.
Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy giảm và bị chặn.
Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = \frac{{1 - {u_{n - 1}}}}{2}\)
Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)
Thật vậy:
Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 2 > 1\)
Giả sử \({u_k} > 1 \Rightarrow {u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} > \frac{{1 + 1}}{2} = 1\)
Theo nguyên lí quy nạp ta có \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)
Suy ra \({u_n} - {u_{n - 1}} < 0 \Leftrightarrow {u_n} < {u_{n - 1}}{\rm{ }}\forall n \ge 2\) hay dãy (un) giảm
Theo chứng minh trên, ta có: \(1 < {u_n} < {u_1} = 2{\rm{ }}\forall n \ge 1\)
Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới, cơ sở để các em học phân môn Giải tích trong chương trình Toán 11 là dãy số. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ nắm được phương pháp giải bài tập của nội dung này.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm số hạng thứ 100 và 200 của dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}.\)
Dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\) có bao nhiêu số hạng là số nguyên.
Dãy số \({u_n} = 2n + \sqrt {{n^2} + 4} \)có bao nhiêu số hạng làng số nguyên.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 92 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.9 trang 117 SBT Toán 11
Bài tập 3.10 trang 117 SBT Toán 11
Bài tập 3.11 trang 118 SBT Toán 11
Bài tập 3.12 trang 118 SBT Toán 11
Bài tập 3.13 trang 118 SBT Toán 11
Bài tập 3.14 trang 118 SBT Toán 11
Bài tập 3.15 trang 118 SBT Toán 11
Bài tập 3.16 trang 118 SBT Toán 11
Bài tập 3.17 trang 118 SBT Toán 11
Bài tập 9 trang 105 SGK Toán 11 NC
Bài tập 10 trang 105 SGK Toán 11 NC
Bài tập 11 trang 106 SGK Toán 11 NC
Bài tập 12 trang 106 SGK Toán 11 NC
Bài tập 13 trang 106 SGK Toán 11 NC
Bài tập 14 trang 106 SGK Toán 11 NC
Bài tập 25 trang 109 SGK Toán 11 NC
Bài tập 16 trang 109 SGK Toán 11 NC
Bài tập 17 trang 109 SGK Toán 11 NC
Bài tập 18 trang 109 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Tìm số hạng thứ 100 và 200 của dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}.\)
Dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\) có bao nhiêu số hạng là số nguyên.
Dãy số \({u_n} = 2n + \sqrt {{n^2} + 4} \)có bao nhiêu số hạng làng số nguyên.
Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = {5.2^{n - 1}} - 3\) với \(\forall n \ge 2\). Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là bao nhiêu?
Cho dãy số \(({u_n})\) có 4 số hạng đầu là :\({u_1} = 1,{u_2} = 3,\) \({u_3} = 6,{u_4} = 10\). Hãy tìm một quy luật của dãy số trên.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
{u_{n + 1}} = n{u_n}
\end{array} \right.,\forall n \ge 1\). Khi đó số hạng thứu 5 của dãy số un là:
Cho dãy số \({u_n} = \frac{{\sin \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)}}{{n + 1}},\forall n \ge 1\). Khi đó số hạng u3n của dãy (un) là:
Cho dãy số (un), biết \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}},\forall n \ge 1\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là:
Cho dãy số (un), biết \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = - 1\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + 3
\end{array} \right.\) với \(n \ge 0\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là:
Số hạng tổng quát của dãy số (un) viết dưới dạng khải triển \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};...\) là:
Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:
a) \(u_n =\frac{n}{2^{n}-1}\);
b) \(u_n =\frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\)
c) \(u_n =(1+\frac{1}{n})^{n}\);
d) \(u_n =\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\)
Cho dãy số \(U_n\) , biết:
\(u_1 = -1; u_n+1 = u_n +3\) với \(n \geq 1\).
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \(u_n = 3n -4.\)
Dãy số un cho bởi: \(u_1 = 3; u_n+1 = \sqrt{1+u^{2}_{n}}, n\geq 1\).
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp
Xét tính tăng, giảm của các dãy số un biết:
a) \(u_n=\frac{1}{n}-2\);
b) \(u_n =\frac{n-1}{n+1}\);
c) \(u_n = (-1)^n(2^n + 1)\)
d) \(u_n =\frac{2n+1}{5n+2}\).
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?
a) \(u_n = 2n^2 -1\)
b) \(u_n =\frac{1}{n(n+2)}\)
c) \(u_n =\frac{1}{2n^{2}-1}\)
d) \(u_n = sinn + cosn\)
Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số (un) biết
a) un = 101 - 2n
b) un = 3n - 7
c) \({u_n} = \frac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}\)
d) \({u_n} = \frac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}\)
Trong các dãy số (un) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?
a) \({u_n} = 2n - {n^2}\)
b) \({u_n} = n + \frac{1}{n}\)
c) \({u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 7} \)
d) \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} - 6n + 11}}\)
Cho dãy số (un) xác định bởi
\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 5\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2,\,\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)
a) Tìm công thức tính (un) theo n ;
b) Chứng minh (un) là dãy số tăng.
Cho dãy số (un) với un = n2 - 4n + 3
a) Viết công thức truy hồi của dãy số ;
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới ;
c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.
Cho dãy số (un) với un = 1 + (n - 1).2n
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số ;
b) Tìm công thức truy hồi ;
c) Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn dưới.
Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện: Với mọi n ∈ N∗ thì
\(0 < {u_n} < 1\) và \({u_{n + 1}} < 1 - \frac{1}{{4{u_n}}}\)
Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.
Cho dãy số (un) xác định bởi công thức:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1,\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)
Số hạng u4 là:
A. u3 + 7 B. 10 C. 12 D. u3 + 5
Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (un) sau:
A. un = n2 + n - 1 B. un = 3n
C. un = sinn + cosn D. un = - 3n2 + 1
Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (un) sau:
A. \(u_n = -3n + 1\) B. \(u_n = -2n^2 + n\)
C. \({u_n} = n + \frac{1}{n}\) D. \(u_n = \cos n + 1\)
Tìm 5 số hạng đầu của mỗi dãy số sau:
a. Dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 3}}{n}\)
b. Dãy số (un) với \({u_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{4} + \cos \frac{{2n\pi }}{3}\)
c. Dãy số (un) với \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}} \)
Tìm số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 của mỗi dãy số sau :
a. Dãy số (un) xác định bởi:
u1 = 0 và \({u_n} = \frac{2}{{u_{n - 1}^2 + 1}}\) với mọi n ≥ 2;
b. Dãy số (un) xác định bởi:
u1 = 1, u2 = −2 và \({u_n} = {u_{n - 1}} - 2{u_{n - 2}}\) với mọi n ≥ 3.
Cho hình vuông A1B1C1D1 có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A2B2C2D2, A3B3C3D3, …, AnBnCnDn,… theo cách sau: Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm An, Bn, Cn, và Dn tương ứng trên các cạnh An-1Bn-1, Bn-1Cn-1, Cn-1Dn-1 và Dn-1An-1 sao cho An-1An = 1cm và AnBnCnDn là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (un) với un là độ dài cạnh của hình vuông AnBnCnDn.
Hãy cho dãy số (un) nói trên bởi hệ thức truy hồi.
Cho dãy số (un) xác định bởi :
u1 = 1 và un = 2un−1+3 với mọi n ≥ 2.
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có un = 2n+1−3 (1)
Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :
a. Dãy số (un) với un = n3−3n2+5n−7;
b. Dãy số (xn) với \({x_n} = \frac{{n + 1}}{{{3^n}}}\)
c. Dãy số (an) với \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)
Chứng minh rằng dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = {10^{1 - 2.1}} = {10^{ - 1}} = \frac{1}{{10}}\\{u_2} = {10^{1 - 2.2}} = {10^{ - 3}} = \frac{1}{{{{10}^3}}}\\{u_3} = {10^{1 - 2.3}} = {10^{ - 5}} = \frac{1}{{{{10}^5}}}\\{u_4} = {10^{1 - 2.4}} = {10^{ - 7}} = \frac{1}{{{{10}^7}}}\\{u_5} = {10^{1 - 2.5}} = {10^{ - 9}} = \frac{1}{{{{10}^9}}}\end{array}\)
Vậy \(5\) số hạng đầu là: \(\dfrac{1}{{10}},\dfrac{1}{{{{10}^3}}},\dfrac{1}{{{{10}^5}}},\dfrac{1}{{{{10}^7}}},\dfrac{1}{{{{10}^9}}}.\)
Dự đoán dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm.
Để chứng minh, ta xét tỉ số \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{10}^{1 - 2\left( {n + 1} \right)}}}}{{{{10}^{1 - 2n}}}} \)
\( = \frac{{{{10}^{1 - 2n - 2}}}}{{{{10}^{1 - 2n}}}} = \frac{{{{10}^{ - 1 - 2n}}}}{{{{10}^{1 - 2n}}}}\) \( = {10^{ - 1 - 2n - 1 + 2n}} = {10^{ - 2}} = \frac{1}{{{{10}^2}}} < 1\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n},\forall n\)
Vậy dãy số giảm
Câu trả lời của bạn
Bị chặn trên vì:
\({\left( {n - 1} \right)^2} = {n^2} - 2n + 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow 1 \ge 2n - {n^2}\) hay \({u_n} \le 1,\forall n \in N*.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{{{3^1}.\sqrt 1 }}{{{2^1}}} = \frac{3}{2}\\
{u_2} = \frac{{{3^2}.\sqrt 2 }}{{{2^2}}} = \frac{{9\sqrt 2 }}{4}\\
{u_3} = \frac{{{3^3}.\sqrt 3 }}{{{2^3}}} = \frac{{27\sqrt 3 }}{8}\\
{u_4} = \frac{{{3^4}.\sqrt 4 }}{{{2^4}}} = \frac{{81\sqrt 4 }}{{16}}\\
{u_5} = \frac{{{3^5}.\sqrt 5 }}{{{2^5}}} = \frac{{243\sqrt 5 }}{{32}}
\end{array}\)
Vậy \(5\) số hạng đầu là \(\dfrac{3}{2},\dfrac{{9\sqrt 2 }}{4},\dfrac{{27\sqrt 3 }}{8},\dfrac{{81\sqrt 4 }}{{16}},\dfrac{{243\sqrt 5 }}{{32}}.\)
Xét thương \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}:\dfrac{{{3^n}\sqrt n }}{{{2^n}}}\) \( = \dfrac{{{3^{n + 1}}\sqrt {n + 1} }}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{{3^n}\sqrt n }}\) \( = \dfrac{{3\sqrt {n + 1} }}{{2\sqrt n }} > 1\)
Do đó dãy số tăng.
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{{2.1 + 1}}{{{1^2}}} = 3\\
{u_2} = \frac{{2.2 + 1}}{{{2^2}}} = \frac{5}{4}\\
{u_3} = \frac{{2.3 + 1}}{{{3^2}}} = \frac{7}{9}\\
{u_4} = \frac{{2.4 + 1}}{{{4^2}}} = \frac{9}{{16}}\\
{u_5} = \frac{{2.5 + 1}}{{{5^2}}} = \frac{{11}}{{25}}
\end{array}\)
Vậy \(5\) số hạng đầu là \(3,\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{9},\dfrac{9}{{16}},\dfrac{11}{{25}}.\)
Ta có: \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{{n^2}}} = \frac{{2n}}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} = \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = \dfrac{2}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}\) \( = \left( {\dfrac{2}{{n + 1}} - \dfrac{2}{n}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)\) \( = \dfrac{{ - 2}}{{n\left( {n + 1} \right)}} + \dfrac{{ - 2n - 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0\)
Do đó dãy số giảm.
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}
{u_1} = {3^1} - 7 = - 4\\
{u_2} = {3^2} - 7 = 2\\
{u_3} = {3^3} - 7 = 20\\
{u_4} = {3^4} - 7 = 74\\
{u_5} = {3^5} - 7 = 236
\end{array}\)
Vậy \(5\) số hạng đầu là \( - 4,2,20,74,236.\)
Xét dấu của hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = {3^{n + 1}} - 7 - {3^n} + 7 = {3^{n + 1}} - {3^n} > 0\) nên dãy số tăng.
Câu trả lời của bạn
Bị chặn vì \({n^2} - 6n + 11 = {\left( {n - 3} \right)^2} + 2 > 0\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} > 0\)
Lại có \({n^2} - 6n + 11 = {\left( {n - 3} \right)^2} + 2 \ge 2\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{{n^2} - 6n + 11}} \le \dfrac{1}{2}\)
Do đó \(0 < {u_n} \le \dfrac{1}{2},\forall n \in N*.\)
Câu trả lời của bạn
Bị chặn dưới vì \({u_n} = \sqrt {{n^2} - 4n + 4 + 3} \) \( = \sqrt {{{\left( {n - 2} \right)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \) hay \({u_n} \ge \sqrt 3 ,\forall n \in N*.\)
Câu trả lời của bạn
Bị chặn dưới vì \(n + \dfrac{1}{n} \ge 2\sqrt {n.\dfrac{1}{n}} = 2\) hay \({u_n} \ge 2,\forall n \in N*.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(5\) số hạng đầu của dãy là \(1;5;17;49;129\)
Câu trả lời của bạn
\({u_n} = {n^2} - 4n + 3 = {\left( {n - 2} \right)^2} - 1 \ge - 1.\)
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Câu trả lời của bạn
Ta có \({u_1} = 0.\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = {\left( {n + 1} \right)^2} - 4\left( {n + 1} \right) + 3 - {n^2} + 4n - 3\) \( = 2n - 3.\)
Vậy công thức truy hồi là \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0.\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 3{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = {u_1} + 1\\{u_3} = {u_2} + 4\\{u_4} = {u_3} + 7\\{u_5} = {u_4} + 10\\...\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\end{array}\)
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:
\({u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + {u_{n + 1}}\) \( = 5 + \left( {{u_1} + 1} \right) + \left( {{u_2} + 4} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3n - 2} \right)\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = 5 + 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)
Ta chứng minh \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) bằng quy nạp.
Đặt \({S_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)
+) Với \(n = 1\) thì \({S_1} = 1\) đúng.
+) Giả sử \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2}\), ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\).
Thật vậy,
\({S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 2\) \( = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} + 3k + 1\) \( = \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2}\) \( = \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\)
Do đó ta được \(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\)
Vậy \({u_{n + 1}} = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\) hay \({u_n} = 5 + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\)
Câu trả lời của bạn
\({u_{n + 1}} - {u_n}\) \( = 1 + n{.2^{n + 1}} - 1 - \left( {n - 1} \right){2^n}\) \( = 2n{.2^n} - \left( {n - 1} \right){2^n}\) \( = {2^n}\left( {n + 1} \right)\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + {2^n}\left( {n + 1} \right)\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){2^n}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Vì \(0 < {u_n} < 1\) với mọi \(n\) nên \(1 - {u_{n + 1}} > 0.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \({{u_{n + 1}}}\) và \(1-{{u_{n + 1}}}\)ta có:
\(\sqrt {{u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)} \le \frac{{{u_{n + 1}} + \left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)}}{2} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow {u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) \le \dfrac{1}{4}.\) (1)
Mặt khác, từ giả thiết
\({u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}\) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - \dfrac{1}{4}\) hay \(\dfrac{1}{4} < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right).\) (2)
So sánh (1) và (2) ta có: \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) hay \({u_{n + 1}} < {u_n}.\)
Vậy dãy số đã cho giảm.
A. Dãy số (un) bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. Dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. Dãy số (un) bị chặn.
D. Dãy số (un) không bị chặn.
Câu trả lời của bạn
Nếu n chẵn thì un=52n+5 > 0 tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy (un) không bị chặn trên.
Nếu n lẻ thì un=-552n+5 < 0 giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy (un) không bị chặn dưới.
Vậy dãy số đã cho không bị chặn
A. Dãy zn là dãy tăng
B. Dãy zn bị chặn dưới
C. Cả A và B đề sai
D. Cả A và B đều đúng
Câu trả lời của bạn
un = n2 – 4n + 7 = (n -2)2 + 3 ≥ 3
⇒ (un) bị chặn dưới bởi 3
(un) không bị chặn trên bởi vì n càng lớn thì un càng lớn
A. Dãy (un) bị chặn trên
B. Dãy (un) bị chặn dưới
C. Dãy (un) bị chặn
D. Các mệnh đề A,B,C đều sai
Câu trả lời của bạn
zn+1 = 1 + (4n+1).2n+1; zn = 1 + (4n-3).2n
⇒ zn+1-zn=2n (4n+5) > 0 ∀n ∈ N*
⇒ (zn) tăng ⇒ zn ≥ z1=3 ∀n ∈ N*
A. \({u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\) .
B. \({u_n} = \frac{{n + 3}}{{n + 1}}\) .
C. \({u_n} = {n^2} + 2n\) .
D. \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{3^n}}}\)
Câu trả lời của bạn
C
\({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} + 2\left( {n + 1} \right) - {n^2} - 2n = 2n + 3 > 0\)
A. \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n - 1}}\) .
B. \({u_n} = {n^3} - 1\) .
C. \({u_n} = {n^2}\)
D. \({u_n} = 2n\) .
Câu trả lời của bạn
A
Đáp án A: \(u'\left( n \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall n > 1,n \in {N^*}\) nên dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Đáp án B: \(u'\left( n \right) = 3{n^2} > 0,\forall n \in {N^*}\) nên dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Đáp án C: \(u'\left( n \right) = 2n > 0,\forall ,n \in {N^*}\) nên dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Đáp án D: \(u'\left( n \right) = 2 > 0,\forall ,n \in {N^*}\) nên dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
A. \({u_{n + 1}} < {u_n}\) .
B. \({u_{n + 1}} > {u_n}\) .
C.\({u_{n + 1}} = {u_n}\) .
D.\({u_{n + 1}} \ge {u_n}\).
Câu trả lời của bạn
B
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi số tự nhiên \(n:{u_{n + 1}} > {u_n}\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *