Cho dãy số (
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 2}},\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)
a) Chứng minh rằng
với mọib) Biết
có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.a) Chứng minh bằng quy nạp:
với mọi (1)Với
, ta có (đúng)Giả sử (1) đúng với
, nghĩa là , ta cần chứng minh (1) đúng vớiTa có \({u_{k + 1}} = \frac{{2{u_k} + 3}}{{{u_k} + 2}}\). Vì
nên \({u_{k + 1}} = \frac{{2{u_k} + 3}}{{{u_k} + 2}} > 0\)Do vậy (1) đúng với mọi
.b) Đặt \(\lim {u_n} = a\)
\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 2}} \Rightarrow lim{u_{n + 1}} = \lim \frac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 2}}\\
\Rightarrow a = \frac{{2a + 3}}{{a + 2}} \Rightarrow a = \pm \sqrt 3
\end{array}\)
Vì
với mọi n nên \(\lim {u_n} = a > 0.\)Vậy
-- Mod Toán 11