Nội dung bài học sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em khái niệm mới trong chương giới hạn đó là Hàm số liên tục và các dạng toán liên quan. Cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết, các em sẽ dễ dàng nắm vững được nội dung bài học.
\( \bullet \) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\)
1) Hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\)
2) Hàm số \(y = f(x)\) không liên tục tại \({x_0}\) ta nói hàm số gián đoạn tại \({x_0}\)
\( \bullet \) \(y = f(x)\) liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
\( \bullet \) \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu nó liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).
Định lý 1:
a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
Định lý 2. Các hàm số \(y = f(x),{\rm{ }}y = g(x)\) liên tục tại \({x_0}\). Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tai x0, thương \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục nếu \(g({x_0}) \ne 0\).
Định lý 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Nếu \(f(a) \ne f(b)\) và M là một số nằm giữa \(f(a){\rm{ }},f(b)\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f(c) = M{\rm{ }}\)
Hệ quả: Cho hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).
Nếu \(f(a){\rm{ }}f(b) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f(c) = 0\).
Chú ý: Ta có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau :
Cho hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu \(f(a){\rm{ }}f(b) < 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((a;b)\).
Phương pháp:
\( \bullet \) Tìm giới hạn của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) và tính \(f({x_0})\)
\( \bullet \) Nếu tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) thì ta so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) với \(f({x_0})\).
Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại \({x_0}\) thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
2. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = l \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = l\).
3. Hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{ khi }}x \ne {x_0}\\k{\rm{ khi }}x = {x_0}\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k\).
4. Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x){\rm{ khi }}x \ge {x_0}\\{f_2}(x){\rm{ khi }}x < {x_0}\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {f_1}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {f_2}(x) = {f_1}({x_0})\).
Chú ý:
\( \bullet \) Hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{ khi }}x \ne {x_0}\\k{\rm{ khi }}x = {x_0}\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k\).
\( \bullet \) Hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{ khi }}x > {x_0}\\g(x){\rm{ khi }}x \le {x_0}\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } g(x)\).
Xét tính liên tục của hàm số sau tại \(x = 3\)
a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^3} - 27}}{{{x^2} - x - 6}}\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ne 3}\\{\frac{{10}}{3}\,\,\,{\rm{ khi}}\,\,x = 3}\end{array}} \right.\)
b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x - 3}}{{\sqrt {2x + 3} - 3}}\,\,\,{\rm{khi }}\,x < 3}\\{\,\,{{\left( {x - 1} \right)}^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,x \ge 3}\end{array}} \right.\)
a) Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\)
Ta có \(f(3) = \frac{{10}}{3}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} - 27}}{{{x^2} - x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)({x^2} + 3x + 9)}}{{(x - 3)(x + 2)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} + 3x + 9}}{{x + 2}} = \frac{{27}}{5} \ne f(3)\).
Vậy hàm số không liên tục tại \(x = 3\).
b) Ta có \(f(3) = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {(x - 1)^2} = 4\) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x - 3}}{{\sqrt {2x + 3} - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\sqrt {2x + 3} + 3}}{2} = 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x)\)
Vậy hàm số gián đoạn tại \(x = 3\).
Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra.
a) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1{\rm{ khi }}x \ne 1\\{\rm{2 khi }}x = 1\end{array} \right.\) tại điểm \({x_0} = 1\)
b) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {{x^2} - x - 2} \right|}}{{x + 1}}{\rm{ khi }}x \ne - 1\\1{\rm{ khi }}x = - 1{\rm{ }}\end{array} \right.\)
a) Ta có \(f(1) = 2\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 1) = 2 = f(1)\)
Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 1\).
b) Ta có \(f( - 1) = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{\left| {(x + 1)(x - 2)} \right|}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} (2 - x) = 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{\left| {(x + 1)(x - 2)} \right|}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} (x - 2) = - 3 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)\)
Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to - 1\).
Vậy hàm số gián đoạn tại \(x = - 1\).
Tìm \(a\) để hàm số sau liên tục tại \(x = 2\)
a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\frac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}}\,\,{\rm{ khi }}\,x \ne 2}\\{a\,\,\,{\rm{ khi }}\,\,x = 2}\end{array}} \right.\)
b) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}}\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,x < 2}\\{\,\,a{x^2} + x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ khi }}\,\,x \ge 2}\end{array}} \right.\)
a) Ta có \(f(2) = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{4x}} - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{4}{{\sqrt[3]{{{{(4x)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{4x}} + 4}} = \frac{1}{3}\)
Hàm số liên tục tại điểm \(x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}\).
b) Ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{({x^2} - 1)(x + 2)}}{{{x^2} + 2x + 4}} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {a{x^2} + x + 1} \right) = 4a + 3 = f(2)\)
Hàm số liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = f(2)\)
\( \Leftrightarrow 4a + 3 = 1 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}\).
Phương pháp:Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số:
a) \(f(x) = \tan 2x + \cos x\)
b) \(f(x) = \frac{{\sqrt {x - 1} + 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)
a) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Vậy hàm số liên tục trên \(D\)
b) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\{x^2} - 3x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)
Vậy hàm số liên tục trên \(\left( {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Xác định a để hàm số \(\,f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{a^2}\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2} - 2}}\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2}\\{\,\,\left( {1 - a} \right)x\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 2}\end{array}} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\)
Với \(x < 2 \Rightarrow \) hàm số liên tục
Với \(x > 2 \Rightarrow \) hàm số liên tục
Với \(x = 2\) ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (1 - a)x = 2(1 - a) = f(2)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{a^2}(x - 2)}}{{\sqrt {x + 2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {a^2}(\sqrt {x + 2} + 2) = 4{a^2}\)
Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại \(x = 2\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) \Leftrightarrow 4{a^2} = 2(1 - a) \Leftrightarrow a = - 1,a = \frac{1}{2}\).
Vậy \(a = - 1,a = \frac{1}{2}\) là những giá trị cần tìm.
Phương pháp:
\( \bullet \) Để chứng minh phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên D và có hai số \(a,b \in D\) sao cho \(f(a).f(b) < 0\).
\( \bullet \) Để chứng minh phương trình \(f(x) = 0\) có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau \(({a_i};{a_{i + 1}})\) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho \(f({a_i}).f({a_{i + 1}}) < 0\).
Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :
a) \({x^7} + 3{x^5} - 1 = 0\)
b) \({x^2}\sin x + x\cos x + 1 = 0\)
a) Ta có hàm số \(f(x) = {x^7} + 3{x^5} - 1\) liên tục trên R và \(f(0).f(1) = - 3 < 0\)
Suy ra phương trinh \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((0;1)\).
b) Ta có hàm số \(f(x) = {x^2}\sin x + x\cos x + 1\) liên tục trên R và \(f(0).f(\pi ) = - \pi < 0\). Suy ra phương trinh \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \((0;\pi )\).
Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt
a) \({x^3} - 3x + 1 = 0\)
b) \(2x + 6\sqrt[3]{{1 - x}} = 3\)
a) Hàm số \(f(x) = {x^3} - 3x + 1\), ta có hàm số liên tục trên R và
\(f( - 2) = - 1\,\,;\,\,\,f(0) = 1\,\,;\,\,f(1) = - 1\,\,;\,f(2) = 3\)
\( \Rightarrow f( - 2).f(0) = - 1 < 0\,,f(0).f(1) = - 1 < 0,f(1).f(2) = - 3 < 0\)
Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng
\(( - 2;0),(0;1),(1;2)\).
Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.
b) Phương trình \( \Leftrightarrow 2x - 3 = 6\sqrt[3]{{x - 1}} \Leftrightarrow {(2x - 3)^3} - 216(x - 1) = 0\)
Xét hàm số \(f(x) = {(2x - 3)^3} - 216(x - 1)\), ta có hàm số liên tục trên R và
\(f( - 4) = - 251,f(0) = 189,f(1) = - 1,f(7) = 35\)
Suy ra\( \Rightarrow f( - 4).f(0) < 0\,,f(0).f(1) < 0,f(1).f(7) < 0\)
Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng
\(( - 4;0),(0;1),(1;7)\).
Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.
Nội dung bài học sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em khái niệm mới trong chương giới hạn đó là Hàm số liên tục và các dạng toán liên quan. Cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết, các em sẽ dễ dàng nắm vững được nội dung bài học.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tổng của cấp số nhân vô hạn \(1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4};...;\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^{n - 1}}}};...\) có giá trị là bao nhiêu?
Dãy số nào sau đây có giới hạn là \( + \infty \)?
Dãy số nào sau đây có giới hạn là \( + \infty \)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 140 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 141 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 141 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 141 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 141 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 141 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4.32 trang 170 SBT Toán 11
Bài tập 4.33 trang 170 SBT Toán 11
Bài tập 4.34 trang 171 SBT Toán 11
Bài tập 4.35 trang 171 SBT Toán 10
Bài tập 4.36 trang 171 SBT Toán 11
Bài tập 4.37 trang 171 SBT Toán 11
Bài tập 4.38 trang 171 SBT Toán 11
Bài tập 4.39 trang 171 SBT Toán 11
Bài tập 4.40 trang 171 SBT Toán 11
Bài tập 4.41 trang 172 SBT Toán 11
Bài tập 4.42 trang 172 SBT Toán 11
Bài tập 4.43 trang 172 SBT Toán 11
Bài tập 4.44 trang 172 SBT Toán 11
Bài tập 4.45 trang 172 SBT Toán 11
Bài tập 4.46 trang 172 SBT Toán 11
Bài tập 46 trang 172 SGK Toán 11 NC
Bài tập 47 trang 172 SGK Toán 11 NC
Bài tập 48 trang 173 SGK Toán 11 NC
Bài tập 49 trang 173 SGK Toán 11 NC
Bài tập 50 trang 175 SGK Toán 11 NC
Bài tập 51 trang 175 SGK Toán 11 NC
Bài tập 52 trang 176 SGK Toán 11 NC
Bài tập 53 trang 176 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Tổng của cấp số nhân vô hạn \(1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4};...;\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{2^{n - 1}}}};...\) có giá trị là bao nhiêu?
Dãy số nào sau đây có giới hạn là \( + \infty \)?
Dãy số nào sau đây có giới hạn là \( + \infty \)
Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng -1?
Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng \( + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( 3 \right)\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 3x - 5} \right)\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^4} - 2x + 3}}{{5{x^4} + 3x + 1}}\) có giá trị là bao nhiêu?
Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = x^3 + 2x - 1\) tại \(x_0 = 3\).
a) Xét tính liên tục của hàm số \(y = g(x)\) tại \(x_0 = 2\), biết
\(g(x) =\left\{\begin{matrix} \frac{x^{3}-8}{x- 2}; &x\neq 2 \\ 5;& x=2 \end{matrix}\right.\).
b) Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại \(x_0 = 2\).
Cho hàm số \(f(x) =\left\{\begin{matrix} 3x + 2; & x<-1\\ x^{2}-1 & x \geq -1 \end{matrix}\right.\)
a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = f(x)\). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
Cho hàm số \(f(x) =\frac{x +1}{x^{2}+x-6}\) và \(g(x) = tanx + sin x\).
Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục.
Ý kiến sau đúng hay sai ?
"Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\) còn hàm số \(y = g(x)\) không liên tục tại x0, thì \(y = f(x) + g(x)\) là một hàm số không liên tục tại \(x_0\)."
Chứng minh rằng phương trình:
a) \(2x^3 + 6x + 1 = 0\) có ít nhất hai nghiệm;
b) \(cosx = x\) có nghiệm.
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{(x - 1)|x|}}{x}\)
Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.
Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên
Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên
Cho hàm số
Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = L\) thì hàm số
Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) \(f(x) = \sqrt {x + 5} \) tại
b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,x < 1\\
- 2x,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\) tại
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }},\,\,x \ne \sqrt 2 \\
2\sqrt 2 ,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \sqrt 2
\end{array} \right.\)
b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,x \ne 2\\
3,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 2
\end{array} \right.\)
Tìm giá trị của tham số
\frac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}},x \ne 1\\
{m^2},\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1
\end{array} \right.\) liên tục trên
Chứng minh rằng phương trình
a) \({x^5} - 3x - 7 = 0\) luôn có nghiệm;
b) \(\cos 2x = 2\sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{6};\pi } \right)\)
c) \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có nghiệm dương.
Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
a) \((1 - {m^2}){(x + 1)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)
b) \(m(2\cos x - \sqrt 2 ) = 2\sin 5x + 1\)
Chứng minh phương trình \({x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n} = 0\) luôn có nghiệm với
Cho hàm số
Cho hàm số
Cho hàm số
A.
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty \)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = a\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = f(a)\)
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x}},\,\,\,x \ne - 1\\
3x + a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = - 1
\end{array} \right.\)
Với giá trị nào của tham số a a thì hàm số f(x) liên tục tại x = −1 ?
A. | B. | C. | D. |
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Xét hàm số
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
x + 2,\,{\rm{nếu}} \le {\rm{0}} \hfill \cr
{1 \over {{x^2}}}{\rm\,{,nếu }}\,\,x > 0 \hfill \cr} \right.\)
- Trường hợp \(x \le 0\)
\(f\left( x \right) = x + 2\) là hàm đa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]
- Trường hợp x > 0
\(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}\) là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\) nên liên tục trên (0; 2).
Như vậy \(f\left( x \right)\) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)
Tuy nhiên, vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {{x^2}}} = + \infty \) nên hàm số \(f\left( x \right)\) không có giới hạn hữu hạn tại x = 0.
Do đó, nó không liên tục tại x = 0. Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2).
Câu trả lời của bạn
Vì hàm số liên tục trên (a; b] nên liên tục trên (a; b) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\) (1)
Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng (a; b), (b; c) và liên tục tại x = b (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} f\left( x \right) = f\left( b \right)\) ). Nghĩa là nó liên tục trên (a; c).
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5} \) có tập xác định là \({\rm{[}} - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty )\). Do đó, nó xác định trên khoảng \(\left( { - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\) chứa x = 4
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \sqrt {x + 5} = 3 = f\left( 4 \right)\) nên \(f\left( x \right)\) liên tục tại x = 4
Câu trả lời của bạn
Đặt \(g\left( x \right) = {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} - L\)
Suy ra \(g\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\)
Mặt khác, \(f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + L\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)\) nên
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + L\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)} \right] \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( {{x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} L\left( {x - {x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x - {x_0}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right). \cr} \)
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x_0\).
Câu trả lời của bạn
Trên \(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\) là hàm phân thức nên liên tục.
Tại \(x = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {\sqrt 1 + 1} \right)}} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)
Để hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì nó liên tục tại \(x = 1\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = {m^2} \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(m = \pm \dfrac{1}{2}\).
Câu trả lời của bạn
\(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr
3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\) có tập xác định là D = R
- Nếu \(x \ne 2\) thì \(g\left( x \right) = {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)
Tại x = 2 : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = - \infty \)
Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại x = 2
Kết luận : \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\) nhưng gián đoạn tại x = 2.
Câu trả lời của bạn
\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\) ;
Tập xác định của hàm số là D = R
- Nếu \(x \ne \sqrt 2 \) thì \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}\)
Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2 {\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)
- Tại \(x = \sqrt 2 \) :
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \over {x - \sqrt 2 }} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left( {x + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 = f\left( {\sqrt 2 } \right) \cr}\)
Vậy hàm số liên tục tại \(x = \sqrt 2 \)
Kết luận : \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R
Câu trả lời của bạn
Hàm số: \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 1 \hfill \cr
- 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) có tập xác định là R
Ta có, \(g\left( 1 \right) = - 2\) (1)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)} \over {1 - x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \sqrt {2 - x} - 1} \right) = - 2 \cr}\) (2)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x} \right) = - 2\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = - 2 = g\left( 1 \right)\)
Vậy g(x) liên tục tại x = 1.
Câu trả lời của bạn
\(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)
\(f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]
Ta có \(f\left( { - 1} \right) = - 1 < 0\) và \(f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 2 > 0\) nên \(f\left( { - 1} \right)f\left( { - 2} \right) < 0\) với mọi m.
Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m.
Nghĩa là, phương trình \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m.
Câu trả lời của bạn
Ta có,
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr
& \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr} \)
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 6x - 3\) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)
Ta có \(f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) = - 3.4 < 0\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình \({x^3} + 6x - 3 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm dương.
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) và \(\left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right]\)
Ta có:
\(f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)\) \( = \cos \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2 = \dfrac{7}{2}\)
\(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1\)
\(f\left( \pi \right) = 3\)
\( \Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right).f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
\(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right).f\left( \pi \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\).
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\pi } \right)\).
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} - 3x - 7\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = - 7,f\left( 2 \right) = 19\) \( \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 2 \right) < 0\)
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;2} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}\) xác định trên R
- Ta có
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right) \cr
& {\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n}\left( {1 + {{{a_1}} \over x} + {{{a_2}} \over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} \over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} \over {{x^n}}}} \right) = + \infty \cr} \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì mà \({x_n} \to + \infty \) ta luôn có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = + \infty \)
Do đó, \(f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì \(f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho \(f\left( a \right) > 1\) (1)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right) \cr
& {\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n}\left( {1 + {{{a_1}} \over x} + {{{a_2}} \over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} \over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} \over {{x^n}}}} \right) = - \infty \cr} \) (do n lẻ).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty\) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì mà \({x_n} \to - \infty \) ta luôn có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = - \infty \) hay \(\lim \left[ { - f\left( {{x_n}} \right)} \right] = + \infty \)
Do đó, \( - f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì \( - f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho \( - f\left( b \right) > 1\) hay \(f\left( b \right) < - 1\) (2)
- Từ (1) và (2) suy ra \(f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\)
Mặt khác, \(f\left( x \right)\) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]
Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có nghiệm.
Câu trả lời của bạn
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn [a; b] và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)
Ví dụ minh hoạ :
- \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right],f\left( { - 2} \right)f\left( 2 \right) = 9 > 0\)
Phương trình \({x^2} - 1 = 0\) có nghiệm \(x = \pm 1\) trong khoảng (-2; 2)
- \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) liên tục trên đoạn [-1; 1] và \(f\left( { - 1} \right)f\left( 1 \right) = 4 > 0\). Còn phương trình \({x^2} + 1 = 0\) lại vô nghiệm trong khoảng (-1; 1).
Câu trả lời của bạn
\(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right]\).
Hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) là hàm số lượng giác có TXĐ \(D = \mathbb{R}\) nên liên tục trên TXĐ \(\mathbb{R}\) nên cũng liên tục trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right]\)
Ta có:
\(f\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) \( = m\left( {2\cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right) - 2\sin \left( { - \dfrac{{5\pi }}{4}} \right) - 1\) \( = - 1 - \sqrt 2 < 0\)
\(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\) \( = m\left( {2\cos \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right) - 2\sin \left( {\dfrac{{5\pi }}{4}} \right) - 1\)\( = - 1 + \sqrt 2 > 0\)
\( \Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right).f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) < 0\)
Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)\) với mọi \(m\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 3.\left( { - 1} \right) + a = a - 3\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x + 2}}{x}\\ = \dfrac{{ - 1 + 2}}{{ - 1}}\\ = - 1\end{array}\)
Hàm số liên tục tại \(x = - 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow - 1 = a - 3 \Leftrightarrow a = 2\).
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [0;2] và f(0) + f(2)=4 chứng minh rằng phương trình f(x)=x2 luôn có nghiệm
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *