Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng
\(\frac{1}{{10}}\) độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó.Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu đến khi nó nằm yên trên mặt đất.
Mỗi khi chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng
Do đó, độ dài hành trình của quả bóng kể từ thời điểm rơi ban đầu đến
- thời điểm chạm đất lần thứ nhất là
- thời điểm chạm đất lần thứ hai là \({d_2} = 63 + 2.\frac{{63}}{{10}}\)
- thời điểm chạm đất lần thứ ba là \({d_3} = 63 + 2.\frac{{63}}{{10}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^2}}}\)
- thời điểm chạm đất lần thứ tư là \({d_4} = 63 + 2.\frac{{63}}{{10}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^2}}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^3}}}\)
….
- thời điểm chạm đất thứ
Do đó độ dài hành trình của quả bóng từ khi bắt đầu rơi đến khi nằm yên trên mặt đất là
\(\begin{array}{l}
d = 63 + 2.\frac{{63}}{{10}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^2}}} + 2.\frac{{63}}{{{{10}^3}}} + ... + 2.\frac{{63}}{{{{10}^{n - 1}}}} + ...\\
= 63 + 2.\frac{{63}}{{10}}\left( {1 + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{{{10}^2}}} + ...} \right) = 63 + \frac{{63}}{5}.S\,\,\,\left( m \right)\,
\end{array}\)
Ta có:
\(S = 1 + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^3}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{{10}}{9}\) (tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 1,q = \frac{1}{{10}}\))
Vậy \(d = 63 + \frac{{63}}{5}.\frac{{10}}{9} = 77\) (m).
-- Mod Toán 11