Nội dung bài Ôn tập cuối năm Đại số và Giải tích 11 sẽ giúp các em định hình lại toàn bộ chương trình, những kiến thức đã được học. Qua đó sẽ giúp các em nắm được những vấn đề kiến thức nền tảng, trọng tâm nhất để chuẩn bị cho chương trình lớp 12 và các kì thi THPT Quốc gia
Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}}\)
a) \(\lim \frac{{2n - 1}}{{3n + 2}} = \lim \frac{{n(2 - \frac{1}{n})}}{{n(3 + \frac{2}{n})}}\)\(= \lim \frac{{2 - \frac{1}{n}}}{{3 + \frac{2}{n}}}= \frac{2}{3}.\)
b)
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{1}{{{x^2}}})} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x(2 - \frac{1}{x})}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{2 - \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}. \end{array}\)
a) Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}}{\rm{ ,khi }}x \ne 2\\ 2m - 1{\rm{ ,khi }}x = 2. \end{array} \right.\)
Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x=2.
b) Chứng minh rằng phương trình \((5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1 = 0\) luôn có nghiệm x trong khoảng (0;1) với mọi giá trị m thuộc \(\mathbb{R}.\)
a) \(f(2)=2m-1.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 3x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(2x + 1)(x - 2)}}{{x - 2}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2x + 1) = 5.\)
Để f(x) liên tục tại x=2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\)\(\Leftrightarrow 2m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 3.\)
Vậy m=3 là giá trị cần tìm.
b) Đặt \(f(x) = (5{m^4} + 1){x^3} + (1 - 4{m^2}){x^2} + (1 - 2{m^2})x - 1\)
f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên f(x) liên tục trên đoạn [0;1].
Ta có: \(f(0) = - 1 < 0;\)\(f(1) = 5{m^4} - 6{m^2} + 2\)
Mà: \(5{m^4} - 6{m^2} + 2 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\) (tam thức bậc hai theo \(t=m^2\)).
Do đó: \(f(0).f(1) < 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)
a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: \(y = x.\cos x\) và \(y = \sqrt {{x^2} - 3x} .\)
b) Cho hàm số \(y = {x^3} - 5x + 3\)có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7.
a) \(y' = {\rm{ }}\left( {x.\cos x} \right)' = {\rm{ }}(x)'.\cos x + x.(\cos x)' = \cos x - x.\sin x.\)
\(y' = \left( {\sqrt {{x^2} - 3x} } \right)' = \frac{{({x^2} - 3x)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\)\(= \frac{{2x - 3}}{{2\sqrt {{x^2} - 3x} }}\).
b) Gọi d là tiếp tuyến thỏa đề,\(M({x_0};{y_0})\) là tiếp điểm của d và (C).
Suy ra phương trình tiếp tuyến d có dạng: \(y = y'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0}.\)
Theo đề bài hệ số góc bằng 7 nên ta có:
\(y'({x_0}) = 7 \Leftrightarrow 3x_0^2 - 5 = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {x_0} = - 2 \end{array} \right.\)
+ Với \(x_0=2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x - 13.\)
+ Với \(x_0=-2\). Ta có phương trình tiếp tuyến là \(y = 7x + 19.\)
Cho hàm số \(y = \sin 2x.\) Chứng minh \(y'\,'\,\, + \,\,4y = 0\).
\(y' = {\rm{ }}(\sin 2x)' = \cos 2x.{(2x)^\prime } = 2.\cos 2x.\)
\(y'' = (2.\cos 2x)' = 2.( - \sin 2x).(2x)' = - 4\sin 2x.\)
Suy ra: \(y'' + 4y = - 4.\sin 2x + 4.\sin 2x = 0\) (Điều phải chứng minh).
Bài viết trên đây đã thống kê và định hình lại chương trình Đại số và Giải tích 11. Để cũng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải bài tập, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 với những câu hỏi củng cố bám sát chương trình. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm giải đáp cho các em.
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Nêu định nghĩa các hàm số lượng giác. Chỉ rõ tập xác định và giá trị của từng hàm số đó.
Cho biết chu kì của mỗi hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
Nêu cách giải phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình asinx + bcosx = c.
Viết công thức tính số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử (n > 1). Nêu ví dụ.
Viết công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử. Cho ví dụ.
Viết công thức nhị thức Niutơn.
Phát biểu định nghĩa xác suất của biến cố.
Nêu rõ các bước chứng minh bằng quy nạp toán học và cho ví dụ
Phát biểu định nghĩa cấp số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.
Phát biểu định nghĩa cấp số nhân và công thức tổng n số hạng đầu tiên của một cập số nhân.
Dãy số Un thỏa mãn điều kiện gì thì được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực?
Viết công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
Định nghĩa hàm số có giới hạn \(+\infty\) khi \(x\rightarrow -\infty\).
Nêu các giới hạn đặc biệt của dãy số.
Nêu định nghĩa hàm liên túc tại một điểm, trên một khoảng. Nêu hình ảnh hình học của một hàm số liên tục trên một khoảng.
Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = xo.
Viết tất cả các quy tắc tính đạo hàm đã học.
Giả sử hàm số g = f(x) có đạo hàm tại xo. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g = f(x) tại điểm Mo (xo;f(xo)).
Cho hàm số \(y=\frac{5}{7+6sin2x}.\)
a) Tính \(A=\frac{5}{7+6sin2x}\), biết \(tana=0,2\).
b) Tính đạo hàm của hàm số đã cho.
c) Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số đã cho.
Giải các phương trình:
a) \(2sin\frac{x}{2}cos^2x-2sin\frac{x}{2}sin^2x=cos^2x-sin^2x;\)
b) \(3cosx+4sinx=5;\)
c) \(sinx+cosx=1+cosxsinx;\)
d) \(\sqrt{1-cosx}=sinx(x\in \left [ \pi ;3\pi \right ]);\)
e) \(\left ( cos\frac{x}{4} -2sinx \right )sinx+\left ( 1+sin\frac{\pi }{4}-2cosx \right )cosx=0.\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = \left( x \right)'{\cot ^2}x + x\left( {{{\cot }^2}x} \right)'\\
= {\cot ^2}x + x.2\cot x.\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\\
= {\cot ^2}x - 2x.\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\\
= {\cot ^2}x - \dfrac{{2x\cos x}}{{{{\sin }^3}x}}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y'\\
= \dfrac{{\left( {\sin \sqrt x } \right)'\cos 3x - \sin \sqrt x \left( {\cos 3x} \right)'}}{{{{\cos }^2}3x}}\\
= \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\cos \sqrt x \cos 3x - \sin \sqrt x .\left( { - 3\sin 3x} \right)}}{{{{\cos }^2}3x}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\cos \sqrt x \cos 3x + 3.2\sqrt x \sin \sqrt x \sin 3x}}{{2\sqrt x }}}}{{{{\cos }^2}3x}}\\
= \dfrac{{\cos \sqrt x \cos 3x + 6\sqrt x \sin \sqrt x \sin 3x}}{{2\sqrt x {{\cos }^2}3x}}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = 3{\left( {\sin 2x + 8} \right)^2}\left( {\sin 2x + 8} \right)'\\
= 3{\left( {\sin 2x + 8} \right)^2}\left( {2\cos 2x} \right)\\
= 6\cos 2x{\left( {\sin 2x + 8} \right)^2}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y'\\
= \left( {2{x^3} - 5} \right)'\tan x + \left( {2{x^3} - 5} \right)\left( {\tan x} \right)'\\
= 2.3{x^2}\tan x + \left( {2{x^3} - 5} \right).\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
= 6{x^2}\tan x + \dfrac{{2{x^3} - 5}}{{{{\cos }^2}x}}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(f\left( x \right) = {{1 - \cos 3x} \over 3} \Rightarrow f'\left( x \right) = \sin 3x.\) Ta có
\(f'\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left( {\cos 6x - 1} \right).\cot 3x = \sin 3x\) (điều kiện: \(\sin 3x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 3x \ne \pm 1\) )
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left( {\cos 6x - 1} \right).\cos 3x = {\sin ^2}3x \cr
& \Leftrightarrow \left( {1 - 2{{\sin }^2}3x - 1} \right).\cos 3x = {\sin ^2}3x \cr
& \Leftrightarrow {\sin ^2}3x.\left( {2\cos 3x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = - {1 \over 2}{\rm{ }}\left( {{\rm{vì}}\,\,\sin 3x \ne 0{\rm{ }}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \cos 3x = \cos {{2\pi } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow 3x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr
& \Leftrightarrow x = \pm {{2\pi } \over 9} + k{{2\pi } \over 3}{\rm{ }}\left( {k \in Z} \right). \cr} \)
Câu trả lời của bạn
\(f\left( x \right) = {1 \over 2}\cos 2x \Rightarrow f'\left( x \right) = - \sin 2x.\) Ta có
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = g\left( x \right) \cr
& \Leftrightarrow - \sin 2x = 1 - {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = {\left( {\cos 3x + \sin 3x} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = 1 + 2\sin 3x\cos 3x \cr
& \Leftrightarrow \sin 6x - \sin 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos 4x\sin 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 4x = 0 \hfill \cr
\sin 2x = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
2x = n\pi \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4} \hfill \cr
x = n{\pi \over 2} \hfill \cr} \right.\left( {k,n \in Z} \right). \cr}\)
Câu trả lời của bạn
\(f\left( x \right) = {1 \over 2}\sin 2x + 5\cos x \Rightarrow f'\left( x \right) = \cos 2x - 5\sin x.\) Ta có
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = g\left( x \right) \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x - 5\sin x = 3{\sin ^2}x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x + {3 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = \cos 2x - 3{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x + 3{\cos ^2}x = {\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x = - 2{\cos ^2}x - 4{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 5\sin x = - 2 - 2{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 = 0. \cr} \)
Đặt \(t = \sin x,t \in \left[ { - 1;1} \right],\) ta có phương trình \(2{t^2} + 5t + 2 = 0.\)
Giải phương trình \(t = - {1 \over 2}\) ta được (loại t = -2 ).
\(\eqalign{
& \sin x = - {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\left( {k \in Z} \right). \cr} \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} + 1}}\\
= \dfrac{{\sqrt {x + 1} + 1 - 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}}\\
= \dfrac{{\sqrt {x + 1} + 1}}{{\sqrt {x + 1} + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}}\\
= 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}}\\
f'\left( x \right) =0 - \dfrac{{ - \left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\left( {x + 1} \right)'}}{{2\sqrt {x + 1} }}}}{{{{\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} {{\left( {\sqrt {x + 1} + 1} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 {{\left( {\sqrt 1 + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{8}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = 2\left( {4x + 5} \right)\left( {4x + 5} \right)'\\
= 2\left( {4x + 5} \right).4\\
= 8\left( {4x + 5} \right)\\
\Rightarrow y'\left( 0 \right) = 8.\left( {4.0 + 5} \right) = 40
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
g\left( x \right) = \sin 4x\cos 4x\\
= \dfrac{1}{2}.2\sin 4x\cos 4x\\
= \dfrac{1}{2}\sin 8x\\
g'\left( x \right) = \dfrac{1}{2}.8\cos 8x = 4\cos 8x\\
g'\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = 4\cos \dfrac{{8\pi }}{3} = - 2
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = 6\left( {{x^8} - {x^5} + {x^2} - x + 1} \right) \cr
& = 6{x^2}\left( {{x^6} - {x^3} + {1 \over 4}} \right) + 3{x^2} + 6\left( {{{{x^2}} \over 4} - x + 1} \right) \cr
& = 6{x^2}{\left( {{x^3} - {1 \over 2}} \right)^2} + 3{x^2} + 6{\left( {{x \over 2} - 1} \right)^2} > 0,\forall x \in R. \cr} \)
Câu trả lời của bạn
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {a - 1} \right)x + 2.\)
\(\Delta ' = {\left( {a - 1} \right)^2} - 6 = {a^2} - 2a - 5.\) Ta phải có
\(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 5 < 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt 6 < a < 1 + \sqrt 6 .\)
Vậy \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in R\) nếu \(1 - \sqrt 6 < a < 1 + \sqrt 6 .\)
Câu trả lời của bạn
\(f'\left( x \right) = 2 + \cos x > 0,\forall x \in R.\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& g'\left( x \right) = \cos x - 2a\cos 2x - \cos 3x + 2a \cr
& = 2a - 2a\cos 2x + \left( {\cos x - \cos 3x} \right)\cr &= 2a\left( {1 - \cos 2x} \right) + \left( {\cos x - \cos 3x} \right)\cr & = 2a.2{\sin ^2}x + \left( { - 2\sin 2x\sin \left( { - x} \right)} \right)\cr &{\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 2\sin x\sin 2x \cr
& {\rm{ }} = 4a{\sin ^2}x + 4{\sin ^2}x\cos x \cr
& {\rm{ }} = 4{\sin ^2}x\left( {a + \cos x} \right). \cr} \)
Rõ ràng với a > 1 thì \(a + \cos x > 0\) và \({\sin ^2}x \ge 0\) với mọi \(x \in R\) nên với a > 1 thì \(g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R.\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 4x + 1\\y'\left( 0 \right) = 3.0 - 4.0 + 1 = 1\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 3{x^2}\) \( \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = 3\)
\({x_0} = - 1 \Rightarrow y\left( { - 1} \right) = 0\)
Phương trình tiếp tuyến \(y = 3\left( {x + 1} \right) + 0\) hay \(y = 3x + 3\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{2x - 0}}{{x - 0}} = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - 3x - 0}}{{x - 0}} = - 3\end{array}\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) \( \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{y\left( x \right) - y\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = \left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = \dfrac{\pi }{4}\) là:
\(k = y'\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{4}}}\) \( = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = 2\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x} \right)'\sin x - 2x\left( {\sin x} \right)'}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{{2\sin x - 2x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{{2x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{2}{{\sin x}} - \dfrac{{2x\cot x}}{{\sin x}}\\ = \dfrac{{2 - 2x\cot x}}{{\sin x}}\\ = \dfrac{{2\left( {1 - x\cot x} \right)}}{{\sin x}}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 3\sin x - \sqrt 3 \cos x\\f''\left( x \right) = - 3\cos x + \sqrt 3 \sin x\\f''\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 3\cos x + \sqrt 3 \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x = 3\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x = \sqrt 3 \cos x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 = \tan \dfrac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *