Ở bài 1, các em đã được tìm hiều về khái niệm đạo hàm và phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa. Khuyết điểm của phương pháp này là rất khó áp dụng với các hàm số phức tạp, và phải trải qua nhiều công đoạn tính toán. Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.
Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1\)) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)'} = n{x^{n - 1}}.\)
Nhận xét:
Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt x\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
Mở rộng:
Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)'=ku'.\)
Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)'} = - \frac{{ - v'}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\)
Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với \(u=u(x)\) thì ta có: \(y'_u=y'_u.u'_x.\)
Hệ quả:
a) Cho hàm số f(x)=x6. Tính f'(x) và f'(1).
b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt x\) tại x=9.
a) Ta có: \(f'(x) = 6{x^5},\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy: \(f'(1) = 6.\)
b) Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)
Tại x=9 ta có: \(f'(9) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}.\)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x.\)
b) \(y=(x^2+1)(3-2x^2).\)
c) \(y=(x^2+3)^5.\)
a) \(y' = \left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x} \right)' = {x^2} - 4x + 3.\)
b) \(y' = \left[ {({x^2} + 1)(3 - 2{x^2})} \right]' = ({x^2} + 1)'(3 - 2{x^2}) + ({x^2} + 1)(3 - 2{x^2})'\)
\(= 2x(3 - 2{x^2}) - 4x({x^2} + 1) = - 8{x^3} + 2x.\)
c) \(y' = \left[ {{{({x^2} + 3)}^5}} \right]' = 5{({x^2} + 3)^4}({x^2} + 3)' = 10x{({x^2} + 3)^4}.\)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{x}.\)
b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\)
c) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} - 2}}.\)
a) \(y' = \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{x}} \right)' = \left( {\frac{1}{4}x} \right)' + \left( {\frac{1}{x}} \right)' = \frac{1}{4} - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{4{x^2}}}.\)
b) \(y' = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)' = \frac{{(2x + 1)'(x + 1) - (2x + 1)(x + 1)'}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)
c) \(y' = \left( {\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} - 2}}} \right)' = \frac{{( - {x^2} + 2x + 3)'({x^3} - 2) - ( - {x^2} + 2x + 3)({x^3} - 2)'}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}}\)
\(= \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)({x^3} - 2) - 3{x^2}( - {x^2} + 2x + 3)}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}} = \frac{{{x^4} - 4{x^3} - 9{x^2} + 4x - 4}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}}.\)
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{2}{x} + 5\sqrt x .\)
b) \(y = (x - 2)\sqrt {{x^2} + 1}\)
c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) với a là hằng số.
a) \(y' = \left( {\frac{2}{x} + 5\sqrt x } \right)' = \left( {\frac{2}{x}} \right)' + \left( {5\sqrt x } \right)' = - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{5}{{2\sqrt x }} = \frac{{5x\sqrt x - 4}}{{2{x^2}}}.\)
b) \(y = \left[ {(x - 2)\sqrt {{x^2} + 1} } \right]' = (x - 2)'\sqrt {{x^2} + 1} + (x - 2)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\)
\(= \sqrt {{x^2} + 1} + \left( {x - 2} \right)\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{x(x - 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)
c) \(y' = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)' = \frac{{\left( x \right)'\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x.\frac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}.\)
Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{7}{{{x^3}}} + \frac{6}{{{x^5}}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = \left( {5 - 3x} \right)\left( {\frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - 4} \right)\) bằng biểu thức nào dưới đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{5 - 2x - 3{x^2}}}{{3x - 2}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 162 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 162 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 163 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 163 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 163 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5.12 trang 202 SBT Toán 11
Bài tập 5.13 trang 202 SBT Toán 11
Bài tập 5.14 trang 202 SBT Toán 11
Bài tập 5.15 trang 202 SBT Toán 11
Bài tập 5.16 trang 202 SBT Toán 11
Bài tập 5.17 trang 202 SBT Toán 11
Bài tập 5.18 trang 202 SBT Toán 11
Bài tập 5.19 trang 202 SBT Toán 11
Bài tập 5.20 trang 202 SBT Toán 11
Bài tập 5.21 trang 203 SBT Toán 11
Bài tập 5.22 trang 203 SBT Toán 11
Bài tập 5.23 trang 203 SBT Toán 11
Bài tập 5.24 trang 203 SBT Toán 11
Bài tập 5.25 trang 203 SBT Toán 11
Bài tập 5.26 trang 203 SBT Toán 11
Bài tập 5.27 trang 203 SBT Toán 11
Bài tập 5.28 trang 203 SBT Toán 11
Bài tập 5.29 trang 203 SBT Toán 11
Bài tập 5.30 trang 203 SBT Toán 11
Bài tập 5.31 trang 204 SBT Toán 11
Bài tập 5.32 trang 204 SBT Toán 11
Bài tập 5.33 trang 204 SBT Toán 11
Bài tập 5.34 trang 204 SBT Toán 11
Bài tập 5.35 trang 204 SBT Toán 11
Bài tập 5.36 trang 204 SBT Toán 11
Bài tập 5.37 trang 205 SBT Toán 11
Bài tập 5.38 trang 205 SBT Toán 11
Bài tập 5.39 trang 205 SBT Toán 11
Bài tập 16 trang 204 SGK Toán 11 NC
Bài tập 17 trang 204 SGK Toán 11 NC
Bài tập 18 trang 204 SGK Toán 11 NC
Bài tập 19 trang 204 SGK Toán 11 NC
Bài tập 20 trang 204 SGK Toán 11 NC
Bài tập 21 trang 204 SGK Toán 11 NC
Bài tập 22 trang 205 SGK Toán 11 NC
Bài tập 23 trang 205 SGK Toán 11 NC
Bài tập 24 trang 205 SGK Toán 11 NC
Bài tập 25 trang 205 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{7}{{{x^3}}} + \frac{6}{{{x^5}}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = \left( {5 - 3x} \right)\left( {\frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - 4} \right)\) bằng biểu thức nào dưới đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{5 - 2x - 3{x^2}}}{{3x - 2}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {{x^3} - \frac{4}{{\sqrt x }}} \right)^5}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số f(t)=a3-3at2-5t3(với a là hằng số) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số
\(f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)
(a là hằng số) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số y=x(2x+1)(3x-2)2 bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số
\(f(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^3} - 8}}\)
bằng biểu thức nào sau đây?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + mx - 5\)
Tập hợp các giá trị của m thoả mãn f' (x) ≤ 0,∀x ∈ R
Cho hàm số \(f(x) = x - 2\sqrt {{x^2} + 12} \)
Tập nghiệm của bất phương trình f'(x) ≤ 0 là:
Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 7 + x - x^2\) tại \(x_0 = 1\);
b) \(y = x^3 - 2x + 1\) tại \(x_0 = 2\).
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = x^5 - 4 x^3 + 2x - 3\);
b) \(y =\frac{1}{4}-\frac{1}{3}x+x^2-0,5x^4\);
c) \(y =\frac{x^{4}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{4x^{2}}{5}-1\)
d) \(y = 3x^5(8 - 3x^2).\)
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = (x^7 - 5x^2)^3\);
b) \(y = (x^2 + 1)(5 - 3x^2)\);
c) \(y = \frac{2x}{x^{2}-1}\);
d) \(y =\frac{3-5x}{x^{2}-x+1}\);
e) \(y =\left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{3}\) (m, n là các hằng số).
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = x^2 - x\sqrt{x} + 1\);
b) \(y = \sqrt{(2 - 5x - x^2)};\)
c) \(y =\frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) ( a là hằng số);
d) \(y = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}\).
Cho \(y = x^3 -3x^2 + 2\). Tìm x để :
a) \(y' > 0\)
b) \(y' < 3\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = - 9{x^3} + 0,2{x^2} - 0,14x + 5\)
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{5}{{{x^3}}} - \frac{6}{{7{x^4}}}\)
Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = (9 - 2x)(2{x^3} - 9{x^2} + 1)\)
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{5 - 3x - {x^2}}}{{x - 2}}\)
Tính đạo hàm của hàm số: \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right)2{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}\)
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {a + \frac{b}{x} + \frac{c}{{{x^2}}}} \right)^4}\)
Rút gọn \({f\left( x \right) = \left[ {\frac{{x - 1}}{{2(\sqrt x + 1)}} + 1} \right].\frac{2}{{\sqrt x + 1}}:{{\left( {\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} - x + 2}}} \right)}^2}}\) và tìm
Cho \(f(x) = 2{x^3} + x - \sqrt 2 ,\,\,g(x) = 3{x^2} + x + \sqrt 2 \)
Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\)
Cho \(f(x) = 2{x^3} - {x^2} + \sqrt 3 ,\,\,g(x) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - \sqrt 3 \)
Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\)
Cho hàm số \(f(x) = x - 2\sqrt {{x^2} + 12} \). Giải bất phương trình \(f'(x) \le 0\)
Giải các bất phương trình
a) \(f'(x) > 0\) với \(f(x) = \frac{1}{7}{x^7} - \frac{9}{4}{x^4} + 8x - 3\)
b) \(g'(x) \le 0\) với \(g(x) = \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}\)
Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x \in R\)
a) \(f'(x) > 0\) với \(f(x) = \frac{m}{3}{x^3} - 3{x^2} + mx - 5\)
b) \(g'(x) < 0\) với \(g(x) = \frac{m}{3}{x^3} - \frac{m}{2}{x^2} + (m + 1)x - 15\)
Cho \(f(x) = \frac{2}{x},\,\,g(x) = \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}\). Giải bất phương trình \(f(x) \le g'(x)\)
Tính
Tính \(\varphi '(2)\), biết rằng \(\varphi (x) = \frac{{(x - 2)(8 - x)}}{{{x^2}}}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = \left( { - 9{x^3} + 0,2{x^2} - 0,14x + 5} \right)'\\
= - 9.3{x^2} + 0,2.2x - 0,14.1 + 0\\
= - 27{x^2} + 0,4x - 0,14
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\dfrac{2}{x} - \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{5}{{{x^3}}} - \dfrac{6}{{7{x^4}}}} \right)'\\
= \left( {\dfrac{2}{x}} \right)' - \left( {\dfrac{4}{{{x^2}}}} \right)' + \left( {\dfrac{5}{{{x^3}}}} \right)' - \left( {\dfrac{6}{{7{x^4}}}} \right)'\\
= - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{{ - 4\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} + \dfrac{{ - 5\left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}} - \dfrac{{ - 6\left( {{x^4}} \right)'}}{{7{x^8}}}\\
= - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{4.2x}}{{{x^4}}} - \dfrac{{5.3{x^2}}}{{{x^6}}} + \dfrac{{6.4{x^3}}}{{7{x^8}}}\\
= - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{8}{{{x^3}}} - \dfrac{{15}}{{{x^4}}} + \dfrac{{24}}{{7{x^5}}}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = \left( {9 - 2x} \right)'\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)\\
+ \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)'\\
= - 2\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)\\
+ \left( {9 - 2x} \right)\left( {6{x^2} - 18x} \right)\\
= - 4{x^3} + 18{x^2} - 2\\
+ 54{x^2} - 12{x^3} - 162x + 36{x^2}\\
= - 16{x^3} + 108{x^2} - 162x - 2
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = \dfrac{{\left( {5 - 3x - {x^2}} \right)'\left( {x - 2} \right) - \left( {5 - 3x - {x^2}} \right)\left( {x - 2} \right)'}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{\left( { - 3 - 2x} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {5 - 3x - {x^2}} \right).1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{ - 3x - 2{x^2} + 6 + 4x - 5 + 3x + {x^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{ - {x^2} + 4x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y' = \left( {{x^2} + 1} \right)'{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}\\
+ \left( {{x^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}} \right]'{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}\\
+ \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^3}} \right]'\\
= 2x{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}\\
+ \left( {{x^2} + 1} \right)\left[ {2\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right)'} \right]{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}\\
+ \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\left[ {3{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^2}\left( {{x^4} + 1} \right)'} \right]\\
= 2x{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}\\
+ \left( {{x^2} + 1} \right)\left[ {2\left( {{x^3} + 1} \right).3{x^2}} \right]{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}\\
+ \left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\left[ {3{{\left( {{x^4} + 1} \right)}^2}.4{x^3}} \right]\\
= 2x{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}\\
+ 6{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right){\left( {{x^4} + 1} \right)^3}\\
+ 12{x^3}\left( {{x^2} + 1} \right){\left( {{x^3} + 1} \right)^2}{\left( {{x^4} + 1} \right)^2}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)'\\
= 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}.\left( { - \dfrac{b}{{{x^2}}} + \dfrac{{ - c\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}}} \right)\\
= 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}\left( { - \dfrac{b}{{{x^2}}} - \dfrac{{2cx}}{{{x^4}}}} \right)\\
= - 4{\left( {a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{{{x^2}}}} \right)^3}\left( {\dfrac{b}{{{x^2}}} + \dfrac{{2c}}{{{x^3}}}} \right)
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left( {\frac{{x - 1}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:{\left( {\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} - x + 2}}} \right)^2}\\ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:{\left( {\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x - 2} \left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} } \right)}}} \right)^2}\\ = \left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{2} + 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:{\left( {\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }} + \frac{{\sqrt {x - 2} }}{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} }}} \right)^2}\\ = \frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{2}.\frac{2}{{\sqrt x + 1}}\\:\left( {x - 2} \right){\left( {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} + \sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }}{{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} } \right)\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x - 2} } \right)}}} \right)^2}\\ = \frac{{\sqrt x + 1}}{2}.\frac{2}{{\sqrt x + 1}}:\left[ {\left( {x - 2} \right).{{\left( {\frac{{2\sqrt {x + 2} }}{{x + 2 - x + 2}}} \right)}^2}} \right]\\ = 1:\left[ {\left( {x - 2} \right).{{\left( {\frac{{\sqrt {x + 2} }}{2}} \right)}^2}} \right]\\ = 1:\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{4}\\ = \frac{4}{{{x^2} - 4}}\end{array}\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 4\left( {{x^2} - 4} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}}}\) \( = \frac{{ - 4.2x}}{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}}} = - \frac{{8x}}{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^2}}}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \left( {2{x^3} + x - \sqrt 2 } \right)'\\
= 2.3{x^2} + 1 - 0 = 6{x^2} + 1\\
g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + x + \sqrt 2 } \right)'\\
= 3.2x + 1 + 0 = 6x + 1\\
f'\left( x \right) > g'\left( x \right) \Leftrightarrow 6{x^2} + 1 > 6x + 1\\
\Leftrightarrow 6{x^2} - 6x > 0 \Leftrightarrow 6x\left( {x - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(S=\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \left( {2{x^3} - {x^2} + \sqrt 3 } \right)'\\
= 2.3{x^2} - 2x + 0 = 6{x^2} - 2x\\
g'\left( x \right) = \left( {{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} - \sqrt 3 } \right)'\\
= 3.{x^2} + \frac{{2x}}{2} - 0 = 3{x^2} + x\\
f'\left( x \right) > g'\left( x \right) \Leftrightarrow 6{x^2} - 2x > 3{x^2} + x\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 3x > 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 1} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(S=\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = 5{x^4} - 4.3{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2}\\ = 5{x^4} - 12{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = - 6.\dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{3}{{{x^2}}}\\ = - \dfrac{3}{{\sqrt x }} - \dfrac{3}{{{x^2}}}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x - 3} \right)'\left( {x + 4} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)'}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + 4} \right) - \left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{11}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = \left( x \right)'.\sqrt {1 + {x^2}} + x.\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + x.\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \sqrt {1 + {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \dfrac{{1 + {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \dfrac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{{ - 2\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} + \dfrac{{ - 3\left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}}\\ = - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{{2.2x}}{{{x^4}}} - \dfrac{{3.3{x^2}}}{{{x^6}}}\\ = - \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{{x^3}}} - \dfrac{9}{{{x^4}}}\\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) = - 1 - 4 - 9 = - 14\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}h'\left( x \right)\\ = \dfrac{{\left( x \right)'.\sqrt {4 - {x^2}} - x.\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} - x.\dfrac{{\left( {4 - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} - x.\dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}}\\ = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}}\\ = \dfrac{{4 - {x^2} + {x^2}}}{{\left( {4 - {x^2}} \right)\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ = \dfrac{4}{{\left( {4 - {x^2}} \right)\sqrt {4 - {x^2}} }}\\ \Rightarrow h'\left( 0 \right) = \dfrac{4}{{\left( {4 - 0} \right)\sqrt {4 - 0} }} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = 1 - {{2x} \over {\sqrt {{x^2} + 12} }} \le 0{\rm{ }} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} \le 2x \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 12 \le 4{x^2} \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{x^2} \ge 12 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} \ge 4 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2. \cr}\)
Đáp số: \({\rm{[}}2; + \infty ).\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{m}{3}.3{x^2} - 3.2x + m\) \( = m{x^2} - 6x + m\)
\(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\\Delta ' = 9 - {m^2} < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3\)
Vậy \(m > 3\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right)\\ = \dfrac{{\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)'\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)'}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 5x + 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2{x^2} - 5x - 4x + 10 - {x^2} + 5x - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \le 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 6 \le 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + 2 \le 0\left( {VN} \right)\\{\left( {x - 2} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy bpt \(g'\left( x \right) \le 0\) vô nghiệm.
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{7}.7{x^6} - \dfrac{9}{4}.4{x^3} + 8\) \( = {x^6} - 9{x^3} + 8\)
\(f'\left( x \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {x^6} - 9{x^3} + 8 > 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{x^3} - 8} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} > 8\\{x^3} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 1\end{array} \right.\)
Vậy x < 1 hoặc x > 2
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(g'\left( x \right) = \dfrac{m}{3}.3{x^2} - \dfrac{m}{2}.2x + \left( {m + 1} \right)\) \( = m{x^2} - mx + \left( {m + 1} \right)\)
\(g'\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta = {m^2} - 4m\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 3{m^2} - 4m < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m < - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - \dfrac{4}{3}\)
Vậy \(m < - \dfrac{4}{3}\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *