Chứng minh rằng phương trình
a) \({x^5} - 5x - 1 = 0\) có ít nhất ba nghiệm
b) \(m{(x - 1)^3}({x^2} - 4) + {x^4} - 3 = 0\) luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
c) \({x^3} - 3x = m\) có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của
a) Xét \(f\left( x \right) = {x^5} - 5x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên
Do đó hàm số liên tục trên các khoảng
vàTa có:
\(\begin{array}{l}
f\left( { - 2} \right) = - 23,f\left( { - 1} \right) = 3,f\left( 0 \right) = - 1,f\left( 2 \right) = 21\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( { - 2} \right)f\left( { - 1} \right) < 0\\
f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0\\
f\left( 0 \right)f\left( 2 \right) < 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
Do đó theo định lý 3, phương trình
có ít nhất ba nghiệm.b) Xét hàm số \(f\left( x \right) = m{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^4} - 3\) liên tục trên
Do đó hàm số liên tục trên các đoạn
vàTa có
\(\begin{array}{l}
f\left( { - 2} \right) = 13 > 0,\forall m\\
f\left( 1 \right) = - 2 < 0,\forall m\\
f\left( 2 \right) = 13 > 0,\forall m\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( { - 2} \right)f\left( 1 \right) < 0\\
f\left( 2 \right)f\left( 1 \right) < 0
\end{array} \right.\forall m
\end{array}\)
Do vậy phương trình
luôn có ít nhất hai nghiệm.c) Xét \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x - m\) liên tục trên
Do đó hàm số liên tục trên các đoạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f\left( { - 1} \right) = 2 - m > 0,\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\\
f\left( 1 \right) = - 2 - m < 0,\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\\
f\left( 2 \right) = 5 - m > 0,\forall m \in \left( { - 2;2} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right)f\left( 2 \right) < 0\\
f\left( { - 1} \right)f\left( 1 \right) < 0
\end{array} \right.,\forall m \in \left( { - 2;2} \right)
\end{array}\)
Vậy phương trình
luôn có hai nghiệm với mọi-- Mod Toán 11