Đạo hàm là khái niệm quan trọng bậc nhất của Giải tích học, nó xuất hiện trong hầu hết các dạng toán ở phân môn Giải tích trong chương trình phổ thông và có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống. Nội dung bài học sẽ bước đầu giúp các em tìm hiểu về khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm cùng với các dạng toán tính đạo hàm bằng cách sử dụng định nghĩa, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi kèm là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp làm bài.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\)và \(x_0 \in (a;b)\), đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) là: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}.\)
Nếu kí hiệu \(\Delta x = x - {x_0};\,\,\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\) thì:
\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì liên tục tại điểm đó.
Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\) ta thực hiện như sau:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị (C):
\(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)
Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C):\)
Bước 1: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k=f'(x_0)\)
Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y=f(x) khi biết hệ số k, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).
Bước 2: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Bước 3: Giải phương trình \(k=f'(x_0)\) tìm \(x_0\), rồi tìm \(y_0=f(x_0).\)
Bước 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: \(y = k(x - {x_0}) + {y_0}.\)
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\) tại \(x_0=-1.\)
b) \(f(x)=sinx\) tại \(x_0=\frac{\pi}{6}.\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}.\)
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\)
\(\Delta x = x + 1 \Rightarrow x = - 1 + \Delta x\) và \(\Delta y = f( - 1 + \Delta x) - f( - 1) = 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\)
Vậy: \(f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x - 1} \right) = - 1.\)
b) \(f(x)=sinx\)
\(\Delta x = x - \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6} + \Delta x\)
\(\Delta y = f\left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)\)
\(f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}\)
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}}\\ = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right).1 = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}. \end{array}\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} } \right).\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} }}. \end{array}\)
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {(x - 1)^2}\,khi\,\,x \ge 0\\ {(x + 1)^2}\,khi\,\,x < 0 \end{array} \right..\) Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x=0 nhưng không có đạo hàm tại x=0.
Chứng minh hàm số liên tục tại x=0:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {(x - 1)^2} = 1 = f(0)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {(x + 1)^2} = 1 = f(0) \end{array}\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0)\) nên hàm số liên tục tại x=0.
Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x=0:
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{{{\left( {\Delta x - 1} \right)}^2} - 1}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \left( {\Delta x - 2} \right) = - 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{{{\left( {\Delta x + 1} \right)}^2} - 1}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \left( {\Delta x + 2} \right) = 2\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}}\)
Nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}}\).
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1;2).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y=x^2-2x+3\) biết:
i) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x-2y+5=0.\)
ii) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+4y=0.\)
a) Ta có:
\(\begin{array}{l} f'({x_0}) = f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^2} - 4x + 4) = 9. \end{array}\)
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;-2) là k=f'(-1)=9.
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;2) là: \(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7.\)
b) Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số \(y=x^2-2x+3\):
\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left[ {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - 2(x + \Delta x) + 3} \right] - \left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]}}{{\Delta x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2x + \Delta x} \right).\Delta x - 2.\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2x + \Delta x - 2} \right) = 2x - 2.\)
i) Đường thẳng \(4x - 2y + 5 = 0 \Leftrightarrow y = 2x + \frac{5}{2}\) có hệ số góc k'=2.
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x-2y+5=0 nên có hệ số góc k=2.
Ta có: \(f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = f(2) = 3.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 2(x - 2) + 3 \Rightarrow y = 2x - 1.\)
ii) Đường thẳng \(x + 4y = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{1}{4}x\) có hệ số góc \(k'=-\frac{1}{4}.\)
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+4y=0 nên: \(k.k' = - 1 \Rightarrow k = 4.\)
Ta có: \(f'({x_0}) = 4 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = f(3) = 6.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 4(x - 3) + 6 \Rightarrow y = 4x - 6.\)
Trong phạm vi bài học chỉ có thể giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất của bài học Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hàm số f(x)=x2+2x,có ∆x là số gia của đối số tại x=1, ∆y là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó ∆y bằng:
Cho hàm số \(f(x) = \sqrt {3x - 2} \), có ∆x là số gia của đối số tại x=2. Khi đó \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) bằng:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}\). Đạo hàm của hàm số đã cho tại x=1 là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 157 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5.1 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.2 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.3 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.4 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.5 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.6 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.7 trang 199 SBT Toán 11
Bài tập 5.8 trang 199 SBT Toán 11
Bài tập 5.9 trang 199 SBT Toán 11
Bài tập 5.10 trang 199 SBT Toán 11
Bài tập 5.11 trang 199 SBT Toán 11
Bài tập 1 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 2 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 3 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 4 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 5 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 6 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 7 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 8 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 9 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 10 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 11 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 12 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 13 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 14 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 15 trang 195 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Cho hàm số f(x)=x2+2x,có ∆x là số gia của đối số tại x=1, ∆y là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó ∆y bằng:
Cho hàm số \(f(x) = \sqrt {3x - 2} \), có ∆x là số gia của đối số tại x=2. Khi đó \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) bằng:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}\). Đạo hàm của hàm số đã cho tại x=1 là:
Số gia của hàm số f(x)=2x2-1 tại xo=1 ứng với số gia ∆x=0,1 bằng:
Cho hàm số y =\(\sqrt x \), ∆x là số gia của đối số tại x. Khi đó \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) bằng:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=-x3 tại điểm có hoành độ bằng -1 là:
Cho hàm số
\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}},x > 1\\
x - 1,x \le 1
\end{array} \right.\)
Khẳng định nào trong các khẳng định sau?
Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình
\(S = \frac{1}{2}{t^2}\)
(t là thời gian tính bằng giây (s), S là đường đi tính bằng mét). Tính vận tốc (m/s) của chất điểm tại thời điểm to = 5(s)
Cho biết điện lượng truyền trong dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q(t)=2t2+t, trong đó t được tính bằng giây (s) và Q được tính theo Culong (C). Tính cường độ dòng điện tại thời điểm t=4s.
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}\) (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \(A\left( {1; - \frac{1}{2}} \right)\) là:
Tìm số gia của hàm số \(f(x) = x^3\), biết rằng :
a) \(x_0 = 1; \Delta x = 1\)
b) \(x_0 = 1; \Delta x = -0,1\)
Tính \(\Delta y\) và của các hàm số sau theo x và \(\Delta x\) :
a) \(y = 2x - 5\);
b) \(y = x^2 - 1\);
c) \(y = 2x^3\);
d) \(y = \frac{1}{x}\).
Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) \(y = x^2 + x\) tại \(x_0 = 1\);
b) \(y = \frac{1}{x}\) tại \(x_0 = 2\);
c) \(y =\frac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\).
Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = (x - 1)^2\) nếu \(x \geq 0\) và \(f(x) = -x^2\) nếu \(x < 0\)
không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).
Cho đường cong \(y = x^3.\) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong trong các trường hợp:
a) Tại điểm có tọa độ (-1;-1);
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2;
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y =\frac{1}{x}\):
a) Tại điểm \((\frac{1}{2} ; 2)\)
b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(- \frac{1}{4}\).
Một vật rơi tự do theo phương trình \(s=\frac{1}{2}gt^2,\) trong đó g ≈ 9,8 m/s2 là gia tốc trọng trường.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t=5s) đến t + ∆t, biết rằng ∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s.
b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s.
Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 3x - 5\)
b) \(y = 4{x^2} - 0,6x + 7\)
c) \(y = 4x - {x^2}\)
d) \(y = \sqrt {3x + 1} \)
e) \(y = \frac{1}{{x - 2}}\)
f) \(y = \frac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }}\)
Cho \(f(x) = \sqrt[3]{{x - 1}}\). Tính f′(0), f′(1)
Cho \(\varphi (x) = \frac{8}{x}\). Chứng minh rằng \(\varphi '( - 2) = \varphi '(2)\)
Chứng minh rằng hàm số \(y = |x - 1|\) không có đạo hàm tại
Chứng minh rằng hàm số
\(y = signx = \left\{ \begin{array}{l}
1,\,\,\,\,\,\,x > 0\\
0,\,\,\,\,\,\,x = 0\\
- 1,\,\,\,\,x < 0
\end{array} \right.\)
không có đạo hàm tại x = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (−1;−2)
b) \(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ x = −2
c) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5
Cho \(f(x) = 3{x^2} - 4x + 9\)
Tìm \(\frac{{{\rm{\Delta }}f(x)}}{{{\rm{\Delta }}x}}\) tại
A. \(2 - 3{\rm{\Delta }}x\)
B.
C. \(1 + 3{\rm{\Delta }}x\)
D. \( - 2 + 5{\rm{\Delta }}x\)
Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Tìm \(\frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}}\) tại \(x = \frac{\pi }{4}\)
A. \(\frac{{ - 2{{\sin }^2}{\rm{\Delta }}x}}{{{\rm{\Delta }}x}}\)
B. \(\frac{{{{\sin }^{}}{\rm{\Delta }}x}}{{{\rm{\Delta }}x}}\)
C. \(\frac{{2{{\sin }^2}{\rm{\Delta }}x}}{{{\rm{\Delta }}x}}\)
D. \(\frac{{3{{\sin }^2}{\rm{\Delta }}x}}{{{\rm{\Delta }}x}}\)
Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}
x,\,\,\,\,x < 0\\
{x^2},\,\,x \ge 0
\end{array} \right.\)
Hãy tính
a) \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to {0^ + }} \frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}}\) tại
b) \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta }}x \to {0^ - }} \frac{{{\rm{\Delta }}y}}{{{\rm{\Delta }}x}}\) tại
A. a) -1 và b) 1 | B. a) 1 và b) 1 | C. a) 0 và b) 0 | D. a) 0 và b) 1 |
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 5}}{{x + 2}}\) tại điểm có hoành độ
A. \(y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{2}\)
B. \(y = x + \frac{5}{2}\)
C. \(y = \frac{3}{4}x + 1\)
D. \(y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2}\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \sqrt {2x + 1} \) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(\frac{1}{3}\)
A. \(y = \frac{x}{2} + \frac{5}{3}\)
B. \(y = \frac{x}{3} - \frac{5}{3}\)
C. \(y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}\)
D. \(y = x - 1\)
Tìm số gia của hàm số y = x2 − 1 tại điểm x0 = 1 ứng với số gia ∆x, biết
a. ∆x = 1
b. ∆x = -0,1.
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0
\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = 2x + 1,{x_0} = 2\\
b)\,\,y = {x^2} + 3x,{x_0} = 1
\end{array}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = 3\left( {x + \Delta x} \right) - 5 - \left( {3x - 5} \right)\\ = 3x + 3\Delta x - 5 - 3x + 5\\ = 3\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \left[ {4{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - 0,6\left( {x + \Delta x} \right) + 7} \right]\\ - \left( {4{x^2} - 0,6x + 7} \right)\\ = 8x\Delta x + 4{\left( {\Delta x} \right)^2} - 0,6\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 8x + 4\Delta x - 0,6\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 8x - 0,6\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = \dfrac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{2 - \left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }}\) \( = \dfrac{2}{{1 - \sqrt x }} - 1\)
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{2}{{1 - \sqrt {x + \Delta x} }} - 1 - \left( {\dfrac{2}{{1 - \sqrt x }} - 1} \right)\\ = \dfrac{2}{{1 - \sqrt {x + \Delta x} }} - \dfrac{2}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right) - 2\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt {x + \Delta x} - \sqrt x } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + \Delta x - x} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\Delta x}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^2}}}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{1}{{x + \Delta x - 2}} - \dfrac{1}{{x - 2}}\\ = \dfrac{{x - 2 - x - \Delta x + 2}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - \Delta x}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + 0 - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} - \sqrt {3x + 1} \\ = \dfrac{{3\left( {x + \Delta x} \right) + 1 - \left( {3x + 1} \right)}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{{3\Delta x}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + 0} \right) + 1} + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \left[ {4\left( {x + \Delta x} \right) - {{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}} \right] - \left( {4x - {x^2}} \right)\\ = 4\Delta x - 2x\Delta x - {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 4 - 2x - \Delta x\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 4 - 2x\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\)\( \Rightarrow f'\left( { - 1} \right) = 9\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) là:
\(y = f'\left( { - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 2\) \( \Leftrightarrow y = 9\left( {x + 1} \right) - 2\) \( \Leftrightarrow y = 9x + 7\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{x - 1}} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left| {x - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{ - x + 1}}{{x - 1}} = - 1\end{array}\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\) \( \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)
Do đó không tồn tại \(f'\left( 1 \right)\).
Lại có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 1 - 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left| {x - 1} \right|\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x + 1} \right) = - 1 + 1 = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 0 = f\left( 1 \right)\end{array}\)
Do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\)
Vậy ta có đpcm.
Câu trả lời của bạn
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{8}{{x + \Delta x}} - \dfrac{8}{x}\\ = \dfrac{{8\left[ {x - \left( {x + \Delta x} \right)} \right]}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 8\Delta x}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 8}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{ - 8}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 8}}{{x\left( {x + 0} \right)}} = \dfrac{{ - 8}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( x \right) = - \dfrac{8}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( 2 \right) = - \dfrac{8}{{{2^2}}} = - 2\\\varphi '\left( { - 2} \right) = - \dfrac{8}{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}} = - 2\\ \Rightarrow \varphi '\left( 2 \right) = \varphi '\left( { - 2} \right)\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {0 + \Delta x} \right) - f\left( 0 \right)\\ = \sqrt[3]{{0 + \Delta x - 1}} - \sqrt[3]{{0 - 1}}\\ = \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}{{\Delta x}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta x - 1 + 1}}{{\Delta x\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}\\ = \dfrac{1}{{1 + 1 + 1}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0=1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\ = \sqrt[3]{{1 + \Delta x - 1}} - \sqrt[3]{{1 - 1}}\\ = \sqrt[3]{{\Delta x}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x}}}}{{\Delta x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x}}} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\Delta x}}} \right)}^2}}} = + \infty \end{array}\)
Do đó không tồn tại \(f'\left( 1 \right)\).
Câu trả lời của bạn
Tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {\dfrac{\pi }{4} + \Delta x} \right) - f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\\ = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + 2\Delta x} \right) - \sin \dfrac{\pi }{2}\\ = \cos \left( {2\Delta x} \right) - 1\\ = 1 - 2{\sin ^2}\Delta x - 1\\ = - 2{\sin ^2}\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 2{{\sin }^2}\Delta x}}{{\Delta x}}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - 1} \right) = - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\end{array}\)
Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) nên hàm số không liên tục tại \(x = 0\).
Do đó không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
Gọi điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm, khi đó \(f'\left( {{x_0}} \right) = k = - 5\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} = - 5\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 2 = 1\\{x_0} - 2 = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 7\\{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
Tại điểm \(\left( {3;7} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - 5\left( {x - 3} \right) + 7\) hay \(y = - 5x + 22\)
Tại điểm \(\left( {1; - 3} \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = - 5\left( {x - 1} \right) - 3\) hay \(y = - 5x + 2\)
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là \(y = - 5x + 2;y = - 5x + 22.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x\) \( \Rightarrow f'\left( { - 2} \right) = 4.{\left( { - 2} \right)^3} - 4.\left( { - 2} \right) \) \(= - 24\)
\(x = - 2 \Rightarrow y = f\left( { - 2} \right) = 8\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( { - 2;8} \right)\) là:
\(y = f'\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + 8\) \( = - 24\left( {x + 2} \right) + 8 = - 24x - 40\)
Vậy \(y = - 24x - 40\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{x + 2}}\) \( = \dfrac{{\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 1}}{{x + 2}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1}}{{x + 2}}\) \( = x + 2 + \dfrac{1}{{x + 2}}\)
\( \Rightarrow y' = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
Tại \(x = 0\) thì \(y'\left( 0 \right) = 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {0 + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{4}\) và \(y\left( 0 \right) = 0 + 2 + \dfrac{1}{{0 + 2}} = \dfrac{5}{2}\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y = \dfrac{3}{4}\left( {x - 0} \right) + \dfrac{5}{2}\) hay \(y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{2}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\)
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm, ta có
\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = k = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {2{x_0} + 1} }} = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{x_0} + 1} = 3\\ \Leftrightarrow 2{x_0} + 1 = 9\\ \Leftrightarrow {x_0} = 4\\ \Rightarrow {y_0} = 3\end{array}\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y = \dfrac{1}{3}\left( {x - 4} \right) + 3\) hay \(y = \dfrac{x}{3} + \dfrac{5}{3}\).
Câu trả lời của bạn
Với \(x > 0\) thì \(y = {x^2}\)
Tại \(x = 0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = {\left( {0 + \Delta x} \right)^2} - {0^2} = {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2}}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \left( {\Delta x} \right) = 0\end{array}\)
phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số y = (x ^ 3)/3 - 2x ^ 2 + 3x + 1 biết tiếp tuyển vuông góc với đường thẳng d : y = x + 2
Câu trả lời của bạn
cho mình hỏi câu này
Câu trả lời của bạn
dit me may`
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *