Giả sử hai hàm số
đều liên tục trên đoạn và . Chứng minh rằng phương trình \(f(x) - f\left( {x + \frac{1}{2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạnĐặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( {x + \frac{1}{2}} \right)\). Ta có \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]\)
liên tục trên nên liên tục trên \(\begin{array}{l}
g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - f\left( {\frac{1}{2}} \right)\\
g\left( {\frac{1}{2}} \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) - f\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) - f\left( 1 \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) - f\left( 0 \right)
\end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}
g\left( 0 \right).g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right].\left[ {f\left( {\frac{1}{2}} \right) - f\left( 0 \right)} \right]\\
= - {\left[ {f\left( 0 \right) - f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right]^2} \le 0
\end{array}\)
Nếu \(g\left( 0 \right).g\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\) thì
hoặc \(x = \frac{1}{2}\) là nghiệm của phương trìnhNếu \(g\left( 0 \right).g\left( {\frac{1}{2}} \right) < 0\) thì phương trình
có nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)Vậy phương trình \(f\left( x \right) - f\left( {x + \frac{1}{2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]\).
-- Mod Toán 11