Vi phân là một khái niệm mới được xây dựng trên nền tảng đạo hàm. Yêu cầu của học này các em chỉ cần nắm được khái niệm và biết tính vi phân của một hàm số. Đây là dạng toán nền tảng để các em làm các bài toán nguyên hàm, tích phân trong chương trình Giải tích 12. Bài giảng còn cung cấp những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng giải các bài toán liên quan đến vi phân.
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)
Giả sử \(\Delta x\) là số gia của x sao cho \(x + \Delta x \in (a;b).\)
Vi phân của hàm số \(y=f(x)\) tại x là \(dy = df(x) = f'(x)dx.\)
\(f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)
Phương pháp:
Phương pháp:
Tìm vi phân của các hàm số sau:
a) \(f(x) = \sin x - x\cos x\).
b) \(f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\).
c) \(f(x) = x{\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) tại \(x=\frac{\pi}{2}.\)
a) \(f'(x) = cosx - (cosx - xsinx) = xsinx\) nên \(df(x) = x\sin xdx.\)
b) \(f'(x) = - \frac{3}{{{x^4}}}\) nên \(df(x) = - \frac{3}{{{x^4}}}dx.\)
c) \(f'(x) = cosx - x\sin x \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}\) nên \(df\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}dx.\)
Tính gần đúng các giá trị sau:
a) \(\sqrt {4,01}\).
b) \(\sin {29^0}\).
a) Đặt \(f(x) = \sqrt x .\)
Chọn \(x_0=4\) và \(\Delta x=0,01\) thì \(4,01=4+0,01=x_0+\Delta x.\)
\(f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt x}\Rightarrow f'(4)=\frac{1}{2 \sqrt 4}=\frac{1}{4}.\)
\(f(4)=2.\)
Vậy: \(\sqrt {4,01} = f(4 + 0,01) \approx f(4) + f'(4).0,01 = 2,0025.\)
b) Đặt \(f(x)=sin x,\) chọn \(x_0=30^0\) và \(\Delta x=-1^0=-\frac{-\pi}{180}.\)
Ta có: \(29^0=30^0-1^0=x_0+\Delta x.\)
\(f'(x)=cos x,f'(30^0)=cos (30^0)=\frac{\sqrt 3}{2};f(30^0)=sin 30^0=\frac{1}{2}.\)
Vậy: \(sin 29^0 = f(30^0-1^0) \approx f(30^0)+f'(30^0).\left (- \frac{\pi}{180} \right )\approx 0,4849.\)
Trong phạm vi bài học đã giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Vi phân. Yêu cầu của học này các em chỉ cần nắm được khái niệm và biết tính vi phân của một hàm số. Đây là dạng toán nền tảng để các em làm các bài toán nguyên hàm, tích phân trong chương trình Giải tích 12
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm vi phân của hàm số y = xsinx+cosx
Tìm vi phân của hàm số \(y = {\tan ^2}\sqrt {{x^2} + 1} \)
Tìm vi phân của hàm số y= cos3(1-x)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 171 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 171 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5.82 trang 212 SBT Toán 11
Bài tập 5.83 trang 213 SBT Toán 11
Bài tập 5.84 trang 213 SBT Toán 11
Bài tập 5.85 trang 213 SBT Toán 11
Bài tập 5.86 trang 213 SBT Toán 11
Bài tập 5.87 trang 213 SBT Toán 11
Bài tập 5.88 trang 213 SBT Toán 11
Bài tập 5.89 trang 213 SBT Toán 11
Bài tập 5.90 trang 213 SBT Toán 11
Bài tập 5.91 trang 213 SBT Toán 11
Bài tập 5.92 trang 213 SBT Toán 11
Bài tập 39 trang 215 SGK Toán 11 NC
Bài tập 40 trang 216 SGK Toán 11 NC
Bài tập 41 trang 216 SGK Toán 11 NC
Bài tập 43 trang 216 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Tìm vi phân của hàm số y = xsinx+cosx
Tìm vi phân của hàm số \(y = {\tan ^2}\sqrt {{x^2} + 1} \)
Tìm vi phân của hàm số y= cos3(1-x)
Cho hàm số f(x) = x2 - x + 2. Tính ∆ f(1)và df(1) nếu ∆x = 0,1.
Tìm vi phân của hàm số y= (2x+1)5
\(\frac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{d\left( {\cos x} \right)}}\) băng:
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{1 - 2x}}\). Vi phân của hàm số tại x = -3 là:
Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{x}\). Biểu thức \(0,01.f'\left( {0,01} \right)\) là số nào?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} \). Chọn câu đúng:
Vi phân của \(y = \cot \left( {2017x} \right)\) là:
Tìm vi phân của các hàm số sau:
a) \(y =\frac{\sqrt{x}}{a+b}\) (a, b là hằng số);
b) \(y = (x^2 + 4x + 1)(x^2 - \sqrt{x}).\)
Tìm dy, biết:
a) \(y = tan^2x\);
b) \(y =\frac{cosx}{1-x^{2}}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 2x + 1\)
Hãy tính \({\rm{\Delta }}f\left( 1 \right),df\left( 1 \right)\) và so sánh chúng, nếu:
a) \({{\rm{\Delta }}x = 1}\)
b) \({{\rm{\Delta }}x = 0,1}\)
c) \({{\rm{\Delta }}x = 0,01}\)
Tìm vi phân của các hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2}}}\,\)
Tìm vi phân của hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\)
Tìm vi phân của hàm số \(y = {\sin ^2}x\)
Tìm vi phân của hàm số \(y = \frac{{\tan \sqrt x }}{{\sqrt x }}\)
Tìm \(\frac{{d(\tan x)}}{{d(\cot x)}}\)
Chứng minh rằng vi phân dy và số gia
Chứng minh rằng với
\(\sqrt {{a^2} + x} \approx a + \frac{x}{{2a}}\,\,(a > 0)\)
Áp dụng công thức trên, hãy tính gần đúng các số sau:
a)
Cho \(y = \frac{1}{{{x^3}}}\). Hãy viết
B. \(\frac{{ - 3}}{{{x^4}}}dx\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}\sqrt x \) Khẳng định nào sau đây là sai?
A. f(x) liên tục tại x = 0
B. f(x) có đạo hàm tại x = 0
C. f(x) không có vi phân tại x = 0
D. f(x) có đạo hàm tại x = 1
Tìm \(d(\sin 3x)\)
Tính vi phân của hàm số f(x) = sin2x tại điểm x = π/3 ứng với ∆x = 0,01 ; ∆x = 0,001.
Tính vi phân của các hàm số sau :
a. \(y = \frac{{\sqrt x }}{{a + b}}\) (a và b là các hằng số)
b. \(y = x\sin x\)
c. \(y = {x^2} + {\sin ^2}x\)
d. \(y = {\tan ^3}x\)
Áp dụng công thức (2), tìm giá trị gần đúng của các số sau (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)\frac{1}{{0,9995}}}\\
{b)\sqrt {0,996} }\\
{c)\cos {{45}^0}30\prime }
\end{array}\)
Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có:
a) Nếu \(f(x) = \frac{1}{x}\) thì \({f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)
b) Nếu f(x) = cos x thì \({f^{(4n)}}(x) = cosx.\)
c) Nếu f(x) = sin ax (a là hằng số) thì \({f^{(4n)}}(x) = {a^{4n}}sinax\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Với
\(\begin{array}{l}\Delta x = 0,1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) = 0,1 + 3.0,{1^2} + 0,{1^3}\\ = 0,131\\df\left( 1 \right) = 0,1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) > df\left( 1 \right)\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = 2\sin x\left( {\sin x} \right)'\\
= 2\sin x\cos x\\
= \sin 2x\\
\Rightarrow dy = y'dx = \sin 2xdx
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y'\\
= \dfrac{{\left( {x + 2} \right)'\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{x - 1 - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y' = \dfrac{{ - \left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} = \dfrac{{ - 2x}}{{{x^4}}} = - \dfrac{2}{{{x^3}}}\\
\Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{2}{{{x^3}}}dx
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{ - \left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}} = \dfrac{{ - 3{x^2}}}{{{x^6}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{x^4}}}\\ \Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{3}{{{x^4}}}dx\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{d\left( {\tan x} \right)}}{{d\left( {\cot x} \right)}} = \dfrac{{\left( {\tan x} \right)'dx}}{{\left( {\cot x} \right)'dx}}\\
= \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{ - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}}} = - \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\\
= - {\tan ^2}x
\end{array}\)
\(\left( {x \ne k{\pi \over 2},k \in Z} \right).\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y'\\
= \dfrac{{\left( {\tan \sqrt x } \right)'.\sqrt x - \tan \sqrt x .\left( {\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{\left( {\sqrt x } \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\sqrt x }}.\sqrt x - \tan \sqrt x .\dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{x}\\
= \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x }}{{{{\cos }^2}\sqrt x }} - \dfrac{{\tan \sqrt x }}{{2\sqrt x }}}}{x}\\
= \dfrac{{\dfrac{1}{{2{{\cos }^2}\sqrt x }} - \dfrac{{\tan \sqrt x }}{{2\sqrt x }}}}{x}\\
= \dfrac{{\dfrac{{\sqrt x - \tan \sqrt x .{{\cos }^2}\sqrt x }}{{2\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}}}{x}\\
= \dfrac{{\sqrt x - \dfrac{{\sin \sqrt x }}{{\cos \sqrt x }}.{{\cos }^2}\sqrt x }}{{2x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\
= \dfrac{{\sqrt x - \sin \sqrt x \cos \sqrt x }}{{2x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\
= \dfrac{{2\sqrt x - 2\sin \sqrt x \cos \sqrt x }}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\
= \dfrac{{2\sqrt x - \sin \left( {2\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\
\Rightarrow dy = y'dx\\
= \dfrac{{2\sqrt x - \sin \left( {2\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}dx
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(y = ax + b \Rightarrow y' = a\) và \(dy = adx = a\Delta x\) ;
\(\Delta y = a\left( {x + \Delta x} \right) + b - \left[ {ax + b} \right] = a\Delta x.\)
Vậy \(dy = \Delta y.\)
Câu trả lời của bạn
y’ = sinx + xcosx – sinx = xcosx
do đó dy = xcosxdx
Câu trả lời của bạn
Ta có
dy =(x3-5x+6)'dx = (3x2-5)dx
Câu trả lời của bạn
Cho hàm số y = sinx – 3cosx. Tính vi phân của hàm số.
Câu trả lời của bạn
Ta có: Δf(1) = f(1+ 0.1) - f(1) = 0.11 và df(1) = f '(1).Δx = 0.1
Câu trả lời của bạn
dy = f '(x)dx = 5(2x+1)4.2dx = 10(2x+1)4dx
Câu trả lời của bạn
dy = f '(x)dx = 3cos2(1-x)(cos(1-x))' dx
= -3cos2(1-x)sin(1-x) (1-x)' dx
= 3cos2(1-x)sin(1-x)dx
Câu trả lời của bạn
dy = f '(x)dx = 6sin2(2x+1)cos(2x+1)dx
Câu trả lời của bạn
dy = (3x2 + 4x)dx
A. dy = (3x2-18x+12)dx
B. dy = (-3x2-18x+12)dx
C. dy = -(3x2-18x+12)dx
D. dy = (-3x2+18x-12)dx
Câu trả lời của bạn
dy = (x3-9x2+12x-5)'dx = (3x2-18x+12)dx
A. dy = 2(x – 1)dx
B. dy = (x-1)2 dx
C. dy = 2(x – 1)
D. dy = (2x – 1)dx
Câu trả lời của bạn
Ta có dy = f '(x)dx = 2(x-1)dx
Câu trả lời của bạn
dy = 30(3x+1)9dx
Câu trả lời của bạn
dy = d(sin2x ) = (sin2x )'dx = cosx.2sinxdx = sin2xdx
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *