Nội dung bài học giới thiệu đến các em khái niệm đạo hàm cấp hai của hàm số và mở rộng ra khái niệm đạo hàm cấp cao. Bên cạnh đó còn có những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp tính đạo hàm cấp hai của hàm số.
Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)
Khi đó \(y'=f'(x)\) xác định một hàm sô trên (a;b).
Nếu hàm số \(y'=f'(x)\) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) tại x.
Kí hiệu: \(y''\) hoặc \(f''(x).\)
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\) và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\)
\({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n - 1)}}(x){\rm{]}}'\)
Đạo hàm cấp hai \(f''(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(S=f(t)\) tại thời điểm t.
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {(2x - 3)^5}.\)
b) \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\).
c) \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)
a) Ta có:
\(f'(x) =\left [ \left ( 2x-3 \right )^5 \right ]'= 5.(2x - 3)'{(2x - 3)^4} = 10{(2x - 3)^4}.\)
\(f''(x) = \left[ {10{{\left( {2x - 3} \right)}^4}} \right]' = 10.4.(2x - 3)'(2x - 3) = 80{(2x - 3)^3}.\)
b) Ta có:
\(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{x}\)
\(f'(x) = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)
\(f''(x) = \left[ {1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}.\)
c) Ta có: \(f'(x) = \left( {x\sqrt {1 + {x^2}} } \right)' = \sqrt {1 + {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)
\(\begin{array}{l} f''(x) = \left[ {\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]' = \frac{{(2{x^2} + 1)'\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{4x({x^2} + 1) - x(2{x^2} + 1)}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}. \end{array}\)
Trong phạm vi bài học đã giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Đạo hàm cấp hai nói riêng và đạo hàm cấp cao nói chung. Bên cạnh đó còn có những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp tính đạo hàm cấp hai của hàm số.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^4} - 2{x^3} - 5x + \sin x\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{1}{{2x - 3}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?
Đạo hàm cấp hai của hàm số y=cosx.cos2x.cos3x bằng biểu thức nào dưới đây?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 174 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 174 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5.93 trang 215 SBT Toán 11
Bài tập 5.94 trang 215 SBT Toán 11
Bài tập 5.95 trang 215 SBT Toán 11
Bài tập 5.96 trang 215 SBT Toán 11
Bài tập 5.97 trang 215 SBT Toán 11
Bài tập 5.98 trang 215 SBT Toán 11
Bài tập 5.99 trang 215 SBT Toán 11
Bài tập 5.100 trang 215 SBT Toán 11
Bài tập 5.101 trang 215 SBT Toán 11
Bài tập 5.102 trang 215 SBT Toán 11
Bài tập 5.103 trang 216 SBT Toán 11
Bài tập 5.104 trang 216 SBT Toán 11
Bài tập 5.105 trang 216 SBT Toán 11
Bài tập 5.106 trang 216 SBT Toán 11
Bài tập 5.107 trang 216 SBT Toán 11
Bài tập 5.108 trang 216 SBT Toán 11
Bài tập 5.109 trang 216 SBT Toán 11
Bài tập 5.110 trang 216 SBT Toán 11
Bài tập 5.111 trang 216 SBT Toán 11
Bài tập 42 trang 216 SGK Toán 11 NC
Bài tập 43 trang 216 SGK Toán 11 NC
Bài tập 44 trang 216 SGK Toán 11 NC
Bài tập 45 trang 219 SGK Toán 11 NC
Bài tập 46 trang 219 SGK Toán 11 NC
Bài tập 47 trang 219 SGK Toán 11 NC
Bài tập 48 trang 219 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^4} - 2{x^3} - 5x + \sin x\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{1}{{2x - 3}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?
Đạo hàm cấp hai của hàm số y=cosx.cos2x.cos3x bằng biểu thức nào dưới đây?
Một chất điểm chuyển động thẳng, quãng đường đi được xác định bởi phương trình S=t3-4t2-2t+1 , t tính bằng giây (s), S tính bằng mét. Gia tốc (m/s2) chuyển động của chất điểm khi t=3s là:
Đạo hầm cấp hai của hàm số y=cos2x là:
Cho hàm số y=xsinx. Tìm hệ thức đúng:
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(f(x) = \frac{4}{5}{x^5} - 3{x^2} - x + 4\) là:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - 2{x^2} + 3x}}{{1 - x}}\). Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
Đạo hàm cấp hai của hàm số y=tanx+cotx+sinx+cosx bằng:
Cho hàm số \(y = f(x) = \sin 2x\). Hãy chọn đẳng thức đúng:
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) \(f(x)=(x+10)^6, f''(2);\)
b) \(f(x)=sin3x,f'(-\frac{\pi }{2}),f''(0),f''(\frac{\pi }{18}).\)
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{1}{1-x}\)
b) \(y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\)
c) \(y= tanx.\)
d) \(y= cos^2x.\)
Tìm đạo hàm cấp hai của \(y = \sin 5x\cos 2x\)
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}\)
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} - 1}}\)
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {x^2}\sin x\)
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \left( {1 - {x^2}} \right)\cos x\)
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sin x\sin 2x\sin 3x\)
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = x\cos 2x\)
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt x }}\)
Cho hàm số \(f(x) = \sin 3x\). Tính \(f''\left( { - \frac{\pi }{2}} \right),f''\left( 0 \right),f''\left( {\frac{\pi }{{18}}} \right)\)
Cho hàm số \(g\left( t \right) = {\cos ^2}2t\). Tính \(g'''\left( { - \frac{\pi }{2}} \right);g'''\left( { - \frac{\pi }{{24}}} \right);g'''\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\)
Cho \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\). Tìm
Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\)
Cho hàm số \(y = \sin 3x\cos x\). Tìm
Tìm đạo hàm cấp hai
Tìm
C. \(\frac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\)
Cho hàm số \(f(x) = \cos 3x\). Tính (f''\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\)
A. -1 | B. -2 | C. \(\frac{1}{3}\) | D. 9 |
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Vì f '(x) = 15(x+1)2 + 4 ; f ''(x) = 30(x+1) ⇒ f ''(x) = 0 ⇔ x = -1
Câu trả lời của bạn
y ' = 2sin2x(2cos2x) = 2sin4x; y '' = 8cos4x; y ''' = -32sin4x
y(4) = -128cos4x ⇒ y(4)(π/6) = 64\(\sqrt 3 \)
Câu trả lời của bạn
y ''' = -8cos2x, y(4) = 16sin2x
Suy ra y ''' (π/3)= --8cos(2π/3) = 4; y(4)(π/4) = 16sin(π/2) = 16
Câu trả lời của bạn
y’ = 3x3 - 6x2 - 5 + cosx.
Do đó y” = 9x2 - 12x - sinx
A. cos2x + 4cos4x + 9cos6x
B. – cos2x - 4cos4x – 9cos6x
C. – cosx - 4cos2x - 9cos3x
D. (-1/4)cos2x + (1/4)cos4x + (-1/4)cos6x
Câu trả lời của bạn
Ta có: y = (1/2)(cos3x+cosx)cos3x = (1/4)(cos6x+1+cos4x+cos2x)
Khi đó y ’’ = - cos2x - 4cos4x – 9cos6x
Câu trả lời của bạn
Ta có y' = 2cos2x ⇒ y '' = -4sin2x
Câu trả lời của bạn
y' = 5(2x+5)4.2 = 10(2x+5)4; y'' = 80(2x+5)3; y ''' = 480(2x+5)2
Câu trả lời của bạn
y = x6 + 3x4 + 3x2 + 1; y’ = 6x5 + 12x3 + 6x
y" = 30x4 + 36x2 + 6; y”’ = 120x3 + 72x = 24(5x2 + 3).
A. y(10)(1) = 0.
B. y(10)(1) = 10a + b.
C. y(10)(1) = 5a.
D. y(10)(1) = 10a.
Câu trả lời của bạn
y’ = 5a(ax + b)4 ; y” = 20a2(ax + b)3
y’” = 60a3(ax + b)2 ; y(4) = 120a4(ax + b)
y(5) = 120a5; y(6) = 0 ⇒ y(10) = 0
Do đó y(10)(1) = 0.
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1\\
t = 3
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \gamma \left( 3 \right) = 12m/{s^2}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Gia tốc chuyển động tại t = 3s là s”(3)
Ta có: s’(t) = 54 và s’’(t) = 0
Vậy vật chuyển động với gia tốc là 0 nên tại t = 3 thì a = 0.
Câu trả lời của bạn
f’(x) = 15(x + 1)2 + 4 ;
f”(x) = 30(x + 1) ⇔ f”(x) = 0 ⇔ x = -1.
Ai giúp mình câu này với ạ
Câu trả lời của bạn
Giúp mình câu 10 với ạ
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
y' = (x3 - 5x2 + 4x)' = 3x2 - 10x + 4
(y')'=(3x2 - 10x + 4)' = 6x - 10
Câu trả lời của bạn
\(s'' = ({1 \over 2}g{t^2})'' = (gt)' = g = 9,8\,(m/{s^2})\)
Câu trả lời của bạn
y' = (sin3x )' = 3cos3x
(y')'=(3 cos3x )' = -9sin3x
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{1}{{1 - x}}\\
\Rightarrow y' = \dfrac{{ - \left( {1 - x} \right)'}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}= \dfrac{-({ - 1})}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow y'' = - \dfrac{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}} \\=-\dfrac{{2\left( {1 - x} \right)\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\\
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\,\,y = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - x} }}\\
\Rightarrow y' = - \dfrac{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}}} = - \dfrac{{\dfrac{{\left( {1 - x} \right)'}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}}\\= - \dfrac{{\dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}} = \dfrac{1}{{2{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^3}}}\\
\Rightarrow y'' = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - \left[ {{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^3}} \right]'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^6}}} \\= - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}.\left( {\sqrt {1 - x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^6}}}\\= - \dfrac{{3\left( {1 - x} \right).\dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{2{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^6}}} = \dfrac{3}{{4{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^5}}}\\
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(f'(x) = (3x)'.\cos 3x = 3\cos 3x\),
\(f"(x) = 3.[-(3x)'.\sin 3x] = -9\sin 3x\)
\(\Rightarrow f"\left ( -\dfrac{\pi }{2} \right ) = -9\sin \left ( -\dfrac{3\pi }{2} \right ) = -9\);
\(f"(0) = -9sin0 = 0\);
\(f" \left ( \dfrac{\pi }{18} \right ) = -9\sin\left ( \dfrac{\pi }{6} \right ) = -\dfrac{9}{2}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *