Nội dung bài ôn tập Chương Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ nội dung đã học trong chương 1 thông qua sơ đồ hệ thống hóa kiến thức và các bài tập ở mức độ khó cao hơn. Bên cạnh đó thông qua nội dung bài học, các em sẽ được tìm hiểu thêm một số dạng phương trình lượng giác đặc trưng không được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11.
Dạng phương trình:
\(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d{\rm{ (1) }}\)
(a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)
Phương pháp giải:
Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không
Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)
\( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0\) \(\left( {1'} \right)\)
Đặt \(t = \tan x\)
Phương trình \(\left( {1'} \right)\) trở thành: \((a - d){t^2} + bt + c - d = 0{\rm{ (2)}}\)
Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo \(t = \tan x\)
\({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\); \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\); \(\sin x\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}\)
Phương trình (1) trở thành:
\(a\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right) + b\frac{{\sin 2x}}{2} + c\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) = d\)
\( \Leftrightarrow b\sin 2x + (c - a)\cos 2x = 2d - a - c\)
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.
Dạng phương trình:
\(a\sin {}^3x + b{\sin ^2}x\cos x + c\sin x{\cos ^2}x + d\sin x + e\cos x + fc{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x = 0{\rm{ (1) }}\)
(a, b, c, d, e, f: có ít nhất 2 hệ số khác không).
Phương pháp giải:
Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)có là nghiệm của (1) hay không
Xét\(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^3}x\) ta được:
\(a{\tan ^3}x + b{\tan ^2}x + c\tan x + d\tan x(1 + {\tan ^2}x) + e(1 + {\tan ^2}x) + f = 0\)
\( \Leftrightarrow (a + d){\tan ^3}x + (b + e){\tan ^2}x + (c + d)\tan x + e + f = 0\) \(\left( {{\rm{1'}}} \right)\)
Đặt \(t = \tan x\)
Phương trình \(\left( {{\rm{1'}}} \right)\) trở thành:
\((a + d){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^3} + (b + e){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + (c + d){\mathop{\rm t}\nolimits} + e + f = 0\) (2)
Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo \(t = \tan x\)
Phương pháp giải
Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \) (*)
Suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)
Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} + 2at + 2c - b = 0\)
Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiên (*) suy ra t
Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x
Chú ý: Ta cũng có thể đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và làm tương tự như trên.
Phương pháp giải
Đặt \(t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\)
Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \) (*)
Suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\)
Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} - 2at - 2c - b = 0\)
Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện (*) suy ra t
Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x
Phương pháp giải
Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)
Đặt \(t = \tan x + \cot x\), điều kiện \(\left| t \right| \ge 2\)
Suy ra \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\)
Phương trình trở thành:
\(a({t^2} - 2) + bt + c = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c - 2a = 0\)
Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (*), suy ra t
Giải phương trình \(\tan x + \cot x = t\)
Cách 1:
Ta có \(\tan x + \frac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x - t.\tan x + 1 = 0\)
Đây là phương trình bậc hai theo tanx
Cách 2:
Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{2}{t}\)
Đây là phương trình cơ bản của sin2x
Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)
Đặt \(t = \tan x - \cot x\). Khi đó \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2\)
Phương trình trở thành:
\(a({t^2} + 2) + bt + c = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0\)
Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t
Giải phương trình \(\tan x - \cot x = t\)
Cách 1:
Ta có \(\tan x - \frac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x - t\tan x - 1 = 0\)
Đây là phương trình bậc hai theo tanx
Cách 2:
Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t\)
\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = t \Leftrightarrow \cot 2x = - \frac{t}{2}\)
Đây là phương trình cơ bản của cot2x.
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)
b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)
c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)
d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \sin 7x\sin 5x\)
e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)
a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Khi đó (1)\( \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + \sin x} \right) + {\cos ^2}x = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin x + 1 = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
So sánh với điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là \(x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)
Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ne \pm 1\) (*)
Khi đó (2)\( \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\sin x\cos x}}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 4x\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 4x \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0\)
Đặt: \(t = \cos 2x,t \in \left( { - 1;1} \right)\)
Bất phương trình trở thành: \(2{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1\,(loai){\rm{ }}}\\{t = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)
Với \(\cos 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \), \(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)
\( \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \sin 2x - \frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow 1 - \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2} = \sin 2x - \frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 3 = 0\)
Đặt \(t = \sin 2x,t \in \left[ { - 1;1} \right],\) Bất phương trình trở thành:
\({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\,(loai)\end{array} \right.\)
Với \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (3) là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \sin 7x\sin 5x\)
\( \Leftrightarrow \left( {\cos 7x\cos 5x + \sin 7x\sin 5x} \right) - \sqrt 3 \sin 2x = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi {\rm{ }}}\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array},} \right.{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Vậy nghiệm của (4) là \(x = k\pi \), \(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{(1 - \cos 2x)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left[ {1 + \cos (2x + \frac{\pi }{2})} \right]}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow {(1 - \cos 2x)^2} + {(1 - \sin 2x)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (5) là \(x = k\pi \), \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Nội dung bài ôn tập Chương Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ nội dung đã học trong chương 1 thông qua sơ đồ hệ thống hóa kiến thức và các bài tập ở mức độ khó cao hơn. Bên cạnh đó thông qua nội dung bài học, các em sẽ được tìm hiểu thêm một số dạng phương trình lượng giác đặc trưng không được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11.
Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 Giải tích lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương I Ứng dụng hàm số lượng giác để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
Tìm các nghiệm của phương trình \(2\sin 2x - \sqrt 3 = 0\) trong đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right].\)
Cho phương trình \(\frac{{\cos x + \sqrt 2 }}{{\tan x}} = 0\,(*).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương I sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 40 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 40 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 9 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 10 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 1.39 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.40 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.41 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.42 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.43 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.44 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.45 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.46 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.47 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.48 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.49 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.50 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.51 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập1.52 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.53 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.54 trang 41 SBT Toán 11
Bài tập 1.55 trang 41 SBT Toán 11
Bài tập 1.56 trang 41 SBT Toán 11
Bài tập 1.57 trang 41 SBT Toán 11
Bài tập 1.58 trang 41 SBT Toán 11
Bài tập 43 trang 47 SGK Toán 11 NC
Bài tập 44 trang 47 SGK Toán 11 NC
Bài tập 45 trang 47 SGK Toán 11 NC
Bài tập 46 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 47 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 48 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 49 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 50 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 51 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 52 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 53 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 54 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 55 trang 49 SBT Toán 11 NC
Bài tập 56 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 57 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 58 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 59 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 60 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 61 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 62 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 63 trang 49 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
Tìm các nghiệm của phương trình \(2\sin 2x - \sqrt 3 = 0\) trong đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right].\)
Cho phương trình \(\frac{{\cos x + \sqrt 2 }}{{\tan x}} = 0\,(*).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tập hợp tất cả giá trị của m để phương trình \(3 - 2\sin 2x = - m\) có nghiệm.
Giải phương trình \(\cos x + \sqrt 3 \sin x = \sqrt 3 .\)
Giải phương trình \(\sin 2x + {\sin ^2}x = 1.\)
Giải phương trình \({\cos ^2}x - \cos 2x = - 2{\sin ^2}x.\)
Giải phương trình \(2\cos (x - {75^0}) - \sqrt 2 = 0.\)
Giải phương trình \(\cos 3x.\sin 2x + \cos 3x - \sin 2x - 1 = 0.\)
Giải phương trình \(2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x = - 4.\)
a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?
b) Hàm số \(y=tan\left ( x+\frac{\pi }{5} \right )\) có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?
Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sin x, tìm các giá trị của x trên đoạn \(\left [ -\frac{3\pi }{2};2\pi \right ]\) để hàm số đó:
a) Nhận giá trị bằng -1.
b) Nhận giá trị âm.
Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
a) \(y=\sqrt{2(1+cosx)}+1\)
b) \(y=3sin(x-\frac{\pi }{6})-2\)
Giải các phương trình sau:
a) \(sin(x+1)=\frac{2}{3}\)
b) \(sin^22x=\frac{1}{2}\)
c) \(cot^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{3}\)
d) \(tan \left ( \frac{x}{12} +12x \right )=-\sqrt{3}\)
Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
b) 25sin2x + 15sin2x + 9 cos2x = 25
c) 2 sin x + cosx = 1
d) sinx + 1,5 cotx = 0
Phương trình cosx = sin x có số nghiệm thuộc đoạn [\(-\pi;\pi\)]
(A). 2 (B). 4 (C). 5 (D). 6
Phương trình \(\frac{cos4x}{cos2x}=tan2x\) có số nghiệm thuộc khoảng \(\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\) là:
A. 2 B. 3 C. 4 D .5
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x + sin2x = cosx + 2 cos2 x là:
A.\(\frac{\pi }{6}\) B.\(\frac{2\pi }{3}\) C. \(\frac{\pi }{4}\) D. \(\frac{\pi }{3}\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2tan2x + 5tanx + 3 = 0 là:
A. \(-\frac{\pi }{3}\) B. \(-\frac{\pi }{4}\) C. \(-\frac{\pi }{6}\) D. \(-\frac{5\pi }{6}\)
Phương trình 2tanx – 2 cotx – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng \(\left ( -\frac{\pi }{2}; \pi \right )\) là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Tìm tập xác định của các hàm số
a) \(y = \frac{{2 - \cos x}}{{1 + \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)}}\)
b) \(y = \frac{{\tan x + \cot x}}{{1 - \sin 2x}}\)
Xác định tính chẵn lẻ của hàm số
a) \(y = {\sin ^3}x - \tan x\)
b) \(y = \frac{{\cos x + {{\cot }^2}x}}{{\sin x}}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a) \(y = 3 - 4\sin x\)
b) \(y = 2\sqrt {\cos x} \)
Vẽ đồ thị của các hàm số
a) \(y = \sin 2x + 1\)
b) \(y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)
Giải phương trình sau : 2tanx+3cotx = 4.
Giải phương trình sau : 2cos2x−3sin2x+sin2x = 1.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
2sin2x - 3sinx + 1 = cos3x
Câu trả lời của bạn
Số nghiệm của phương trình cot(x + pi/4 )+ 1=0 trên khoảng (-pi ; 3pi) là
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos {\left({x-\dfrac{\pi}{3}}\right)}\ne0\\\tan {\left({x-\dfrac{\pi}{3}}\right)}\ne -1\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-\dfrac{\pi}{3}\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x-\dfrac{\pi}{3}\ne -\dfrac{\pi}{4}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ne\dfrac{5\pi}{6}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x\ne \dfrac{\pi}{12}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash\)
\( \left[ {\left\{ {\dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\} \cup \left\{ {\dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}} \right]\).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(- 1 \le \sin x \le 1\)
\(\Leftrightarrow - 4 \le -4\sin x \le 4\)
\(\Leftrightarrow 3- 4 \le 3-4\sin x \le 3+4\)
\(\Leftrightarrow -1 \le y \le 7\)
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(7\) tại \(\sin x=-1\) và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(-1\) tại \(\sin x=1\)
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
Khi đó tập xác định là \(D=\mathbb{R}\backslash{\left\{{k\pi,k\in\mathbb{Z}}\right\}}\)
Ta có: \(f( - x) =\dfrac{\cos (-x)+{\cot}^2 (-x)}{\sin (-x)}\)
\(=\dfrac{\cos x+{(-\cot x)}^2}{-\sin x}\)
\(=\dfrac{\cos x+{\cot}^2 x}{-\sin x}\)
\(=-\dfrac{\cos x+{\cot}^2 x}{\sin x}\)
\(=- f(x)\)
Vậy \(y=\dfrac{\cos x+{\cot}^2 x}{\sin x}\) là hàm số lẻ.
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne0\\\sin x\ne 0\\\sin 2x\ne 1\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x\ne0\\\sin 2x\ne 1\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}\\2x\ne \dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\ne k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x\ne \dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash\)
\(\left[ {\left\{ {k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}} \right\} \cup \left\{ {\dfrac{\pi}{4}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}} \right]\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
Khi đó tập xác định là: \(D=\mathbb{R}\backslash{\left\{{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}}\right\}}\) là tập đối xứng.
Ta có: \(f( - x) ={\sin}^3 (-x)-\tan (-x)\)
\(=-{\sin}^3 x-(-\tan x)\)
\(=-({\sin}^3 x-\tan x)\)
\(=- f(x)\)
Vậy \(y={\sin}^3 x-\tan x\) là hàm số lẻ.
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\cos x\ge 0\)
Ta có: \(- 1 \le \cos x \le 1\)
\(\Leftrightarrow 0\le\sqrt{\cos x}\le 1\)
\(\Leftrightarrow -1\le-\sqrt{\cos x}\le 0\)
\(\Leftrightarrow 2-1\le2-\sqrt{\cos x}\le 2\)
\(\Leftrightarrow 1\le y\le 2\)
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(2\) tại \(\cos x=0\) và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là \(1\) tại \(\cos x=1\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({\sin}^2x-{\cos}^2x=\cos 4x\)
\(\Leftrightarrow -\cos 2x=\cos 4x\)
\(\Leftrightarrow 2\cos 3x\cos x=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 3x = 0\\\cos x= 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\\x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\\ x= \dfrac{\pi}{2}+k\pi,\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\cos 3x-\cos 5x=\sin x\)
\(\Leftrightarrow \sin x+\cos 5x-\cos 3x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin x-2\sin\dfrac{5x+3x}{2}\sin\dfrac{5x-3x}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow \sin x-2\sin 4x\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin x(1-2\sin 4x)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\\sin 4x= \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\\4x= \dfrac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\4x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\\x= \dfrac{\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{5\pi}{24}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(3{\sin}^2 x+4\cos x-2=0\)
\(\Leftrightarrow 3(1-{\cos}^2 x)+4\cos x-2=0\)
\(\Leftrightarrow 3{\cos}^2 x-4\cos x-1=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}\\\cos x=\dfrac{2+\sqrt{7}}{3}>1\text{(loại)}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow x=\pm\arccos{\left({\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}}\right)}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(2{\cos}^2 x-3\sin 2x+{\sin}^2 x=1\)
\(\Leftrightarrow 2{\cos}^2 x-6\sin x\cos x+{\sin}^2 x=1\)
Với \(\cos x=0\) thỏa mãn phương trình nên phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
Với \(\cos x\ne 0\), chia hai vế phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được
\(2-6\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{1}{{\cos}^2 x}\)
\(\Leftrightarrow 2-6\tan x+{\tan}^2 x={\tan}^2 x+1\)
\(\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1}{6}\)
\(\Leftrightarrow x=\arctan\dfrac{1}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\arctan\dfrac{1}{6}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({\sin}^2 x+{\sin}^2 2x={\sin}^2 3x\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos 2x}{2}+\dfrac{1-\cos 4x}{2}=\dfrac{1-\cos 6x}{2}\)
\(\Leftrightarrow 1-\cos 4x+\cos 6x-\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow 2{\sin}^2 2x-2\sin 4x\sin 2x=0\)
\(\Leftrightarrow 2\sin 2x(\sin 2x-\sin 4x)=0\)
\(\Leftrightarrow 2\sin 2x(-2)\cos 3x\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin 2x\cos 3x\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\\cos 3x= 0\\\sin x=0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x = 0\\\cos 3x= 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\\3x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy nghiệm của phương là \(x = k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
Với \(\cos x=0\) ta thấy \(VT=2\ne1=VP\) nên không là nghiệm của phương trình.
Với \(\cos x\ne 0\) chia hai vế phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được
\(2\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}+\dfrac{\sin x}{\cos x}-1=\dfrac{3}{{\cos}^2 x}\)
\(\Leftrightarrow 2{\tan}^2 x+\tan x-1=3({\tan}^2+1)\)
\(\Leftrightarrow {\tan}^2 x-\tan x+4=0 \text{(vô nghiệm)}\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\cos x\ne 0\) và \(\sin x\ne 0\)
Ta có: \(2\tan x+3\cot x=4\)
\(\Leftrightarrow 2\tan x+3\dfrac{1}{\tan x}=4\)
\(\Leftrightarrow 2{\tan}^2 x+3=4\tan x\text{(vô nghiệm)}\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow 4\sin 3x+\sin 5x-\)
\(2\dfrac{1}{2}\left[ {\sin (x - 2x) + \sin (x + 2x)} \right]=0\)
\(\Leftrightarrow 4\sin 3x+\sin 5x-\)
\(\left[ {\sin (- x) + \sin 3x} \right]=0\)
\(\Leftrightarrow 3\sin 3x+\sin 5x+\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow 3\sin 3x+\)
\(2\sin\dfrac{{5x + x}}{2}\cos \dfrac{{5x - x}}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow 3\sin 3x+2\sin 3x\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin 3x(3+2\cos 2x)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} \sin 3x = 0\\\cos 2x=-\dfrac{3}{2}<-1\text{(loại)}\end{array} \right. \)
\(\sin 3x=0\Leftrightarrow 3x = k\pi,k\in\mathbb{Z}\)
\(x=k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=k\dfrac{\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y={\cos}^6 x-{\sin}^6 x\le{\cos}^6 x\le 1\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(1\) đạt được khi \(\cos x=1, \sin x=0\) \(\Leftrightarrow x=k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)
Hàm số \(y={\cos}^6 x-{\sin}^6 x\ge -{\sin}^6 x\ge -1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-1\) đạt được khi \(\cos x=0, \sin x=1\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0\); \(\cos x \ne 0\) và \(\tan x \ne - 1\).
Ta có: \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\);
\(\begin{array}{l}\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\ = 2\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} - 1\\ = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\);
\(\begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\ = 1 - \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\);
\(\begin{array}{l} - \dfrac{1}{2}\sin 2x = - \sin x\cos x\\ = - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}{\cos ^2}x = - \tan x\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\)
Phương trình \(\cot x - 1 \)
\(=\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\tan x}} - 1 \)
\(=\dfrac{{\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}}}{{1 + \tan x}} + \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm \tan x}\nolimits} }{{{{\tan }^2}x + 1}}\)
Đặt \(t = \tan x\) ta được \(\dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{\dfrac{{1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} }} + \dfrac{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm t}\nolimits} }{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{{t^2} - t}}{{{t^2} + 1}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - t}}{t} = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{t(t - 1)}}{{{t^2} + 1}}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - t = 0\\\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{{{t^2} + 1}} - \dfrac{t}{{{t^2} + 1}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\{t^2} + 1 = (1 - t)t\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\2{t^2} - t + 1 = 0\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(3\sin x-4\cos x=1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\sin x-\dfrac{4}{5}\cos x=\dfrac{1}{5}\)
Đặt \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\) và \(\sin\alpha =\dfrac{4}{5}\) ta được
\(\cos \alpha\sin x-\sin \alpha\cos x=\dfrac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow \sin (x-\alpha)=\dfrac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x-\alpha = \arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x-\alpha=\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x=\alpha +\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\alpha+\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\alpha +\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\alpha+\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(t=\cos x-\sin x\)
\(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\)
Do \(-1\le\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\le 1\) nên \(-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\le \sqrt{2}\)
Khi đó \(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\)
Ta có \(t^2={\cos}^2 x-2\cos x\sin x+{\sin}^2 x\)
\(=1-2\cos x\sin x\)
Suy ra \(\sin x\cos x=\dfrac{1-t^2}{2}\) thay vào phương trình ta được
\(3t-\dfrac{1-t^2}{2}=-3\)
\(\Leftrightarrow 6t-1+t^2=-6\)
\(\Leftrightarrow t^2+6t+5=0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-5<-\sqrt{2}\text{(loại)}\\ t =-1\end{array} \right.\)
Với \(t=-1\Leftrightarrow \cos x-\sin x=-1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\cos(\dfrac{\pi}{4}+x)=-1\)
\(\Leftrightarrow \cos(\dfrac{\pi}{4}+x)=\cos\dfrac{3\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{4}+x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\ x=-\pi+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm là \( x=k2\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \( x =-\pi+k2\pi=\pi+l2\pi,k,l\in\mathbb{Z} \)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *