Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta luôn có:
a) \({1^2} + {2^2} + ... + {(n - 1)^2} + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
b) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{n}{{{3^n}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)
a) Bước 1: Với \(n = 1\) ta có:
\(VT = {1^2} = 1,{\rm{ }}VP = \frac{{1(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6} = 1 \Rightarrow VT = VP\)
\( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:
\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\) (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh:
\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 1)(2k + 3)}}{6}\) (2).
Thật vây:
\(VT(2) = \left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {k^2}} \right] + {(k + 1)^2}\)\(\mathop = \limits^{{\rm{do }}(1)} \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\)
\( = (k + 1)\left[ {\frac{{2{k^2} + k}}{6} + k + 1} \right] = \frac{{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)}}{6}\)
\( = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6} = VP(2)\)
\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \)đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
b) * Với \(n = 1\) ta có \(VT = 1 = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\)
* Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}}\) (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh
\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}}\) (2).
Thật vậy:\(VT(2) = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = VP(2)\)
\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng.
Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} + \sqrt {{u_{n - 1}}} {\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy tăng và bị chặn.
Ta chứng minh dãy \(({u_n})\) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp
* Dễ thấy: \({u_1} < {u_2} < {u_3}\).
* Giả sử \({u_{k - 1}} < {u_k}{\rm{ }}\forall k \ge 2\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} < {u_k}\). Thật vậy:
\({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k}} + \sqrt {{u_{k - 1}}} > \sqrt {{u_{k - 1}}} + \sqrt {{u_{k - 2}}} = {u_k}\)
Vậy \(({u_n})\) là dãy tăng.
Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được \({u_n} < 4{\rm{ }}\forall n\), hơn nữa \({u_n} > 0\)
Nên dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn.
Chứng minh rằng :
a) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSC thì \(9ab = 2{a^3} + 27c\)
b) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSN thì \(c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)
a) Giả sử phương trình có ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSC
Suy ra: \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\) (1)
Mặt khác: \({x^3} - a{x^2} + bx - c = (x - {x_1})(x - {x_2})(x - {x_3})\)
\( = {x^3} - ({x_1} + {x_2} + {x_3}){x^2} + ({x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1})x - {x_1}{x_2}{x_3}\)
Suy ra \({x_1} + {x_2} + {x_3} = a\) (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra \(3{x_2} = a\) hay \({x_2} = \frac{a}{3}\)
Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \frac{a}{3}\), tức là:
\({\left( {\frac{a}{3}} \right)^3} - a{\left( {\frac{a}{3}} \right)^2} + b\left( {\frac{a}{3}} \right) - c = 0 \Leftrightarrow - \frac{{2{a^3}}}{{27}} + \frac{{ba}}{3} - c = 0 \Leftrightarrow 9ab = 2{a^3} + 27c\)
Ta có đpcm.
b) Giả sử ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSN, suy ra \({x_1}{x_3} = x_2^2\)
Theo phân tích bài trên, ta có: \({x_1}{x_2}{x_3} = c \Rightarrow x_2^3 = c \Rightarrow {x_2} = \sqrt[3]{c}\)
Hay phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \sqrt[3]{c}\), tức là:
\({\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^3} - a{\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^2} + b\sqrt[3]{c} - c = 0 \Leftrightarrow b\sqrt[3]{c} = a\sqrt[3]{{{c^2}}} \Leftrightarrow c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)
Bài toán được chứng minh.
a) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\)
\(\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \cos A;\cos B;\cos C\) lập thành cấp số cộng.
b) Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng \(\cot \frac{A}{2};\cot \frac{B}{2};\cot \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \sin A;\sin B;\sin C\) lập thành cấp số cộng.
a) Ta có: \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng
\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} = 2\tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin (\frac{A}{2} + \frac{C}{2})}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{2} = \frac{{1 - \cos B}}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos A + \cos C} \right]\)
\( \Leftrightarrow \cos B = \frac{{\cos A + \cos C}}{2} \Leftrightarrow \cos A,\cos B,\cos C\) lập thành CSC.
b) Ta có: \(\cot \frac{A}{2} - \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{B}{2} - \cot \frac{C}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} - \cos \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} - \cos \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{{B - A}}{2}\cos \frac{{B + A}}{2} = \sin \frac{{C - B}}{2}.\cos \frac{{C + B}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin B - \sin A = \sin C - \sin B \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B\).
Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương IIIđể kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho một cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 1\) và tổng 100 số hạng đầu bằng \(24850\). Tính \(S = \frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\)
Dãy số \({u_n} = - 3n + 1\) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai?
Dãy số \({u_n} = \frac{2}{n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương III sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 9 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 10 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 11 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 12 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 13 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 14 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 15 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 16 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 17 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 18 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 19 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.37 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.38 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.39 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.40 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.41 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.42 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.43 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.44 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.45 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.46 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.47 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.48 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.49 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.50 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.51 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.52 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.53 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.54 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.55 trang 135 SBT Toán 11
Bài tập 3.56 trang 135 SBT Toán 11
Bài tập 44 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 45 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 46 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 47 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 48 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 49 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 50 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 51 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 52 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 53 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 54 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 55 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 56 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 57 trang 125 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Cho một cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 1\) và tổng 100 số hạng đầu bằng \(24850\). Tính \(S = \frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\)
Dãy số \({u_n} = - 3n + 1\) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai?
Dãy số \({u_n} = \frac{2}{n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {3^{\frac{n}{2} + 1}}.\) Tìm công bội của dãy số (un).
Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng \( - 9\) và tổng các bình phương của chúng bằng 29.
Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_7} - {u_3} = 8}\\{{u_2}.{u_7} = 75}\end{array}} \right.\). Tìm \({u_1},d\)?
Cho các số \(5x - y,{\rm{ }}2x + 3y,{\rm{ }}x + 2y\) lập thành cấp số cộng ; các số \({\left( {y + 1} \right)^2},xy + 1,{\left( {x - 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.Tính \(x,y\)
Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: \( - 1,3,19,53\). Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
Số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}?\)
Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?
Cho cấp số nhân có u1 < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:
a) q > 0
b) q < 0
Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.
Cho hai cấp số nhân có cùng có các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:
a) 13n -1 chia hết cho 6
b) 3n3 + 15n chia hết cho 9
Cho dãy số (un), biết u1 = 2, un+1= 2un – 1 (với n ≥ 1)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh: un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:
a) \(u_n=n+\frac{1}{n}\)
b) \(u_n=(-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}\)
c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un) biết:
a) \(\left\{\begin{matrix} 5u_1+10u_n=0\\ s_4=14 \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} u_7+u_{15}=60\\ u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170 \end{matrix}\right.\)
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân (un) biết:
a) \(\left\{\begin{matrix} u_6=192\\ u_7=384 \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} u_1-u_2=72\\ u_5-u_3=144 \end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{\begin{matrix} u_2+u_5-u_4=10\\ u_3+u_6-u_5=20 \end{matrix}\right.\)
Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp 4 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.
Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12 288m2. Tính diện tích mặt trên cùng.
Chứng minh rằng nếu các số a2, b2, c2 lập thành một cấp số cộng (abc ≠ 0) thì các số \(\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}\) cũng lập thành một cấp số cộng.
Cho dãy số (un), biết un = 3n. Hãy chọn phương án đúng:
a) Số hạng un+1 bằng:
A. 3n+1 B. 3n + 3 C. 3n.3 D. 3(n+1)
b) Số hạng u2n bằng:
A. 2.3n B. 9n C. 3n + 3 D. 6n
c) Số hạng un-1 bằng :
A. 3n -1 B. \(\frac{1}{3}.3^n\) C. 3n – 3 D. 3n – 1
d) Số hạng u2n-1 bằng:
A. 32.3n -1 B. 3n.3n-1 C. 32n – 1 D. 32n – 1
Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó là:
(A) \((-1)^{n+1}.sin\frac{\pi }{2}\)
(B) \((-1)^{2n}.(5^n+1)\)
(C) \(\frac{1}{\sqrt{n+1}+n}\)
(D) \(\frac{n}{n^2+1}\)
Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. x = -6, y = -2 B. x = 1, y = 7
C. x = 2, y = 8 D. x = 2, y = 10
Cho cấp số nhân -4, x, -9. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. x = 36 B. x = -6,5 C. x = 6 D. x -36
Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A. \(\frac{u_{10}+u_{20}}{2}=u_5+u_{10}\)
B. \(u_{90}+u_{210}=2 u_{150}\)
C. \(u_{10}.u_{30}=u_{20}\)
D. \(\frac{u_{10}.u_{30}}{2}=u_{20}\)
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:
(A) \(\left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_{n+1}=u^2_n \end{matrix}\right.\)
(B) \(\left\{\begin{matrix} u_1=-1\\ u_{n+1}=3u_n \end{matrix}\right.\)
(C) \(\left\{\begin{matrix} u_1=3\\ u_{n+1}=u_n+1 \end{matrix}\right.\)
(D) \(7,77,777,...,\underbrace{77...7}_{n \ chu \ so \ 7}\)
Chứng minh rằng
a) n5 − n chia hết cho 5 với mọi n ∈ N∗;
b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 ;
c) n3 − n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N∗;
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 1\) thì \({n^5} - n = {1^5} - 1 = 0 \vdots 5\) nên mệnh đề đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là \(\left( {{k^5} - k} \right) \vdots 5\). Ta sẽ chứng minh \(\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^5} - \left( {k + 1} \right)} \right] \vdots 5\).
Thật vậy,
\({\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right)\) \( = \left( {{k^5} + 5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k + 1} \right) - k - 1\)
\( = \left( {{k^5} - k} \right) + \left( {5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k} \right)\)
Vì \(\left( {{k^5} - k} \right) \vdots 5\) và \(\left( {5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k} \right) \vdots 5\) nên \({\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right) \vdots 5\)
Vậy ta có đpcm.
Câu trả lời của bạn
Đặt \({A_n} = {n^3} + {\left( {n + 1} \right)^3} + {\left( {n + 2} \right)^3},\) dễ thấy \({A_1} \vdots 9.\)
Giả sử đã có \({A_k} \vdots 9\) với \(k \ge 1.\) Ta phải chứng minh \({A_{k + 1}} \vdots 9.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + {\left( {k + 3} \right)^3}\\ = {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + \left( {{k^3} + 9{k^2} + 27k + 27} \right)\\ = {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + 9{k^2} + 27k + 27\\ = {A_k} + 9{k^2} + 27k + 27.\end{array}\)
Vì \({A_k} \vdots 9\) và \(9{k^2} + 27k + 27 \vdots 9\) nên \({A_{k + 1}} \vdots 9\).
Vậy ta có đpcm.
Câu trả lời của bạn
Đặt \({B_n} = {n^3} - n\).
Với \(n = 1\) thì \({B_1} = {1^3} - 1 = 0 \vdots 6\).
Giả sử ta có \({B_k} \vdots 6,k \ge 1\). Ta cần chứng minh \({B_{k + 1}} \vdots 6\).
Thật vậy, \({B_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right)\) \( = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 - k - 1\) \( = \left( {{k^3} - k} \right) + 3{k^2} + 3k\)\( = {B_k} + 3{k^2} + 3k \vdots 3\)
Vậy ta có đpcm.
Câu trả lời của bạn
Kiểm tra với \(n = 1,\) ta có \({A_1} = \dfrac{1}{{1.2.3}} = \dfrac{1}{6} = \dfrac{{1.\left( {1 + 3} \right)}}{{4.2.3}}\).
Giả sử ta có \({A_k} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{k\left( {k + 3} \right)}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\)
Ta cần chứng minh \({A_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 4} \right)}}{{4\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\)
Thật vậy,
\({A_{k + 1}} = {A_k} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{k\left( {k + 3} \right)}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\)
\( = \dfrac{{k{{\left( {k + 3} \right)}^2} + 4}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{{k^3} + 6{k^2} + 9k + 4}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{\left( {k + 4} \right){{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 4} \right)}}{{4\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu trả lời của bạn
Kiểm tra với \(n = 1\) ta có \({B_1} = \dfrac{{1.\left( {1 + 1} \right)}}{2} = 1 = \dfrac{{1\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 2} \right)}}{6}\) nên \(n = 1\) đúng.
Giả sử đã có \({B_k} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6}.\)
Ta cần chứng minh \({B_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{6}\)
Thật vậy,
\({B_{k + 1}} = {B_k} + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}\) \( = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6} + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}\) \( = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6}\) \( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{6}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu trả lời của bạn
Kiểm tra với \(n = 1\) ta có: \({S_1} = \sin x = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}.\sin x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\) nên đúng.
Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)}}{2}x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.\)
Ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\)
Thật vậy,
\({S_{k + 1}} = {S_k} + \sin \left( {k + 1} \right)x\) \( = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)}}{2}x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} + \sin \left( {k + 1} \right)x\) \( = \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 3} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)x}}{2}} \right)}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\)
\( = \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 3} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right)}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\) \( = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\)
Vậy \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}\left( {dpcm} \right).\)
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 4\) thì \({3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24.\)
Giả sử đã có \({3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)\) với \(k \ge 4.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta có
\({3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right)\) \({\rm{ = }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]\) \( + 2{k^2} + 2k - 3.\)
Do \(2{k^2} + 2k - 3 > 0\) nên \({3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right],\) chứng tỏ bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1.\)
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 8\) ta có: \({2^{8 - 3}} = {2^5} = 32 > 23 = 3.8 - 1\) nên đúng.
Giả sử ta có \({2^{k - 3}} > 3k - 1\,\,\left( 1 \right)\) với \(k \ge 8\), ta cần chứng minh \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3.\left( {k + 1} \right) - 1\)
Thật vậy, nhân cả hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(2\) ta có:
\({2^{k - 2}} > 3k.2 - 2\)\( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3k + 3 + 3k - 5\) \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) + 3k - 5\)
\( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1 + 3k - 4\) \( \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\)
Hay \({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1\) nên bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
Từ đó suy ra đpcm.
Câu trả lời của bạn
Gọi số hạng thứ hai của cấp số cộng là \({u_2},\)ta có
\({u_9} = {u_2} + 7d,{u_{44}} = {u_2} + 42d.\)
Tổng ba số là \(217\) nên \(\left( {{u_2} + 7d} \right) + {u_2} + \left( {{u_2} + 42d} \right) = 217\) \( \Leftrightarrow 3{u_2} + 49d = 217\)
Lại có: \({u_2}.{u_{44}} = u_9^2\)\( \Leftrightarrow {u_2}\left( {{u_2} + 42d} \right) = {\left( {{u_2} + 7d} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow 42{u_2}d = 14{u_2}d + 49{d^2}\) \( \Leftrightarrow 4{u_2}d = 7{d^2} \Leftrightarrow 4{u_2} = 7d\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}4{u_2} = 7d\\3{u_2} + 49d = 217\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 7\\d = 4\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} = 7 - 4 = 3\)
Tổng của CSC: \(820 = \dfrac{{n\left[ {2.3 + \left( {n - 1} \right).4} \right]}}{2}\) \( \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n - 1640 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\left( {TM} \right)\\n = - \dfrac{{41}}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(n = 20.\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{1}{3}\\
{u_2} = \frac{{\left( {1 + 1} \right){u_1}}}{{3.1}} = \frac{{2.\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{9}\\
{u_3} = \frac{{\left( {2 + 1} \right){u_2}}}{{3.2}} = \frac{{3.\frac{2}{9}}}{6} = \frac{1}{9}\\
{u_4} = \frac{{\left( {3 + 1} \right).{u_3}}}{{3.3}} = \frac{{4.\frac{1}{9}}}{9} = \frac{4}{{81}}\\
{u_5} = \frac{{\left( {4 + 1} \right).{u_4}}}{{3.4}} = \frac{{5.\frac{4}{{81}}}}{{12}} = \frac{5}{{243}}
\end{array}\)
Năm số hạng đầu là \(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{{81}},\dfrac{5}{{243}}.\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_2} = 2\\
{u_3} = 2{u_2} - {u_1} + 1 = 2.2 - 1 + 1 = 4\\
{u_4} = 2{u_3} - {u_2} + 1 = 2.4 - 2 + 1 = 7\\
{u_5} = 2{u_4} - {u_3} + 1 = 2.7 - 4 + 1 = 11
\end{array}\)
Năm số hạng đầu là \(1,2,4,7,11.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có : \({S_n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{{2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\)
\(2{S_n} = 1 + \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{{{2^2}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^{n - 1}}}}\)
\( \Rightarrow 2{S_n} - {S_n}\) \( = 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{n - 2}}}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\)
\( \Rightarrow {S_n} = 2 + \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 2}} - 1} \right)}}{{\dfrac{1}{2} - 1}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\) \( = 2 - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 2}} + 1 - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\) \( = 3 - \dfrac{{2n + 3}}{{{2^n}}}\)
Câu trả lời của bạn
Gọi 3 số đó là \(a - d,a,a + d\).
Ta có: \({a^2} = \left( {a - d} \right)\left( {a + d} \right)\) \( \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} - {d^2} \Leftrightarrow d = 0\)
Vậy ba số đó là \(a,a,a\) nên ta có đpcm.
Câu trả lời của bạn
Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là \({u_1}\) và công bội là \(q\)
Giả sử CSN có \(2n\) số hạng.
Ta có
\(\begin{array}{l}
{S_l} = {u_1} + {u_3} + ... + {u_{2n - 1}}\\
= {u_1} + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}.{q^{2n - 2}}\,\,(1)\\
{S_c} = {u_2} + {u_4} + ... + {u_{2n}}\\
= {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{2n - 1}}\,\,(2)
\end{array}\)
Nhân hai vế của (1) với q ta có
\(q{S_l} = {u_1}q + {u_1}{q^3} + ... +u_1q^{2n-1}= {S_c}\)
Vậy \(q = \dfrac{{{S_c}}}{{{S_l}}}.\)
Câu trả lời của bạn
Gọi số đo ba cạnh của tam giác vuông là \(x - d,x,x + d.\)
ĐK: \(x > 0\).
Dễ thấy cạnh lớn nhất là \(x+d\) nên là cạnh huyển.
Theo Pitago ta có \({\left( {x + d} \right)^2} = {\left( {x - d} \right)^2} + {x^2}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^2} + 2xd + {d^2} \\= {x^2} - 2xd + {d^2} + {x^2}\\
\Leftrightarrow {x^2} - 4xd = 0\\
\Leftrightarrow x\left( {x - 4d} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\left( {loai} \right)\\
x = 4d
\end{array} \right.
\end{array}\)
Như vậy có thể có tam giác vuông thoả mãn đầu bài, các cạnh của nó là \(3d,4d,5d.\)
Đặc biệt, nếu \(d = 1\) thì tam giác vuông có các cạnh là \(3, 4, 5\) (tam giác Ai Cập).
Câu trả lời của bạn
Gọi công sai của CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) là \(d\) và công bội của CSN \(\left( {{v_n}} \right)\) là \(q\).
Ta có: \({u_2} = 5 + d,{v_2} = 5q\) nên \(5 + d = 5q + 10\) \( \Leftrightarrow d = 5 + 5q\)
\({u_3} = 5 + 2d,{v_3} = 5{q^2}\) nên \(5 + 2d = 5{q^2}\)
Thay \(d = 5 + 5q\) vào phương trình trên được:
\(5 + 2\left( {5 + 5q} \right) = 5{q^2}\) \( \Leftrightarrow 5{q^2} - 10q - 15 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = - 1\end{array} \right.\)
Nếu \(q = 3\) thì \(d = 20\), ta có:
Cấp số cộng \(5,25,45.\)
Cấp số nhân \(5,15,45.\)
Nếu \(q = - 1\) thì \(d = 0\), ta có:
CSC: \(5;5;5\) và CSN: \(5; - 5;5\).
Câu trả lời của bạn
Nếu \(n = 2k + 1\) thì :
\({S_n} = {1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {\left( {2k + 1} \right)^2}\)
\( = - 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right) + {\left( {2k + 1} \right)^2}\)
Dãy tổng \( - 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right)\) là dãy tổng \(k\) số hạng đầu của cấp số cộng có \({u_1} = - 3,d = - 4\) nên \( - 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right)\) \( = \dfrac{{k\left[ {2.\left( { - 3} \right) + \left( {k - 1} \right).\left( { - 4} \right)} \right]}}{2} = k\left( { - 2k - 1} \right)\)
Do đó \({S_n} = k\left( { - 2k - 1} \right) + {\left( {2k + 1} \right)^2}\) \( = 2{k^2} + 3k + 1\)
Nếu \(n = 2k\) thì \({S_n} = {1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {\left( {2k - 1} \right)^2} - {\left( {2k} \right)^2}\)
\( = - 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right)\) \( = k\left( { - 2k - 1} \right) = - 2{k^2} - k\)
Vậy \({S_n} = \left\{ \begin{array}{l}2{k^2} + 3k + 1\,neu\,n = 2k + 1\\ - 2{k^2} - k\,neu\,n = 2k\end{array} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Nếu \(x = 0\) thì \(S = 0\)
Nếu \(x \ne 0\), chia cả hai vế của \({S_n}\) cho \(x\) ta được:
\(\dfrac{{{S_n}}}{x} = 1 + 2x + 3{x^3} + ... + n{x^{n - 1}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{S_n}}}{x} - {S_n} = 1 + x + {x^2} + ... + {x^{n - 1}} - n{x^n}\\ \Leftrightarrow \frac{{{S_n} - x{S_n}}}{x} = \frac{{{x^n} - 1}}{{x - 1}} - n{x^n} \\\Leftrightarrow \frac{{\left( {1 - x} \right){S_n}}}{x} = \frac{{{x^n} - 1 - n{x^n}\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} \\\Leftrightarrow \frac{{\left( {1 - x} \right){S_n}}}{x} = \frac{{{x^n} - 1 - n{x^{n + 1}} + n{x^n}}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{x}{S_n} = \frac{{\left( {n + 1} \right){x^n} - 1 - n{x^{n + 1}}}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{x}{S_n} = \frac{{n{x^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){x^n} + 1}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{n{x^{n + 2}} - n{x^{n + 1}} + x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Với \(a = 1,\) ta có \({S_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.\)
Giả sử \(a \ne 1.\) Nhân hai vế của hệ thức \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\) với \(a\) ta được:
\(a.{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + ... + n{a^n}\)
\( \Rightarrow {S_n} - a.{S_n} = 1 + a + {a^2} + ... + {a^{n - 1}} - n{a^n}\)
\( \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right){S_n} = \dfrac{{{a^n} - 1}}{{a - 1}} - n{a^n}\) \( = \dfrac{{{a^n} - 1 - n\left( {a - 1} \right){a^n}}}{{a - 1}}\) \( = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^n} - 1 - n{a^{n + 1}}}}{{a - 1}}\)
\( \Rightarrow \left( {a - 1} \right){S_n} = \dfrac{{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1}}{{a - 1}}\) \( \Leftrightarrow {S_n} = \dfrac{{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}.\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *