Cấp số nhân là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số nhân và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này.
Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\) gọi là cấp số nhân; \(q\) gọi là công bội.
\( \bullet \) Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).
\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).
\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)
Phương pháp:
\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân \( \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\) không phụ thuộc vào n và \(q\) là công bội.
\( \bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).
\( \bullet \) Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(q\).
Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm \({u_1}\) biết:
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\)
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\)
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{({q^4} - 1)(q + 1)}}{{(q - 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} \right) = 11\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q(1 + q + {q^2}) = \frac{{39}}{{11}}\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}} \Leftrightarrow q = 3,q = \frac{1}{3}\).
Cho cấp số nhân \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\).
a) Viết năm số hạng đầu của cấp số.
b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số.
c) Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?
Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\)
a) Năm số hạng đầu của cấp số là:\({u_1} = 2,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}},{u_5} = \frac{2}{{81}}\).
b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số
\({S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} - 1}}{{\frac{1}{3} - 1}} = 3\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}\).
c) Ta có: \({u_n} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\)
Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số.
Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân
Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSN \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).
Ta có: \(1,{x^2},6 - {x^2}\) lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow {x^4} = 6 - {x^2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 .\)
Tìm \(x,y\) biết:
a) Các số \(x + 5y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số
\({\left( {y - 1} \right)^2},xy - 1,{\left( {x + 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.
b) Các số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số \(x + \frac{5}{3}y,y - 1,2x - 3y\) lập thành cấp số nhân.
a) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\{(x + 1)^2}{(y - 1)^2} = {(xy - 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được
\((x;y) = \left( { - \sqrt 3 ; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
b) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\(x + \frac{5}{3}y)(2x - 3y) = {(y - 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được
\((x;y) = \left( { - 3; - 1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right)\).
Cấp số nhân là một dãy số có tính chất đặc biệt. Bài giảng này sẽ cung cấp cho các em khái niệm cấp số nhân và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung phần này.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 3 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Dãy số \({u_n} = {4.3^n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Dãy số \({u_n} = 3n - 1\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 3 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 103 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 103 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 103 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 104 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 104 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 104 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.27 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.28 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.29 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.30 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.31 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.32 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.33 trang 131 SBT Toán 11
Bài tập 3.34 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.35 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.36 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 29 trang 120 SGK Toán 11 NC
Bài tập 30 trang 120 SGK Toán 11 NC
Bài tập 31 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 32 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 33 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 34 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 35 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 36 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 37 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 38 trang 121 SGK Toán 11 NC
Bài tập 39 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 40 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 41 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 42 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 43 trang 122 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Dãy số \({u_n} = {4.3^n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Dãy số \({u_n} = 3n - 1\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng còn lại của CSN đó.
Tìm x biết \(1,{x^2},6 - {x^2}\) lập thành cấp số nhân.
Tìm \(m\) để phương trình \({x^3} - 3m{x^2} + 4mx + m - 2 = 0\) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Cho cấp số nhân (un) có u1=5; u2 = 8. Tìm u4
Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3, số hạng thứ tư bằng 6. Tính tổng của cấp số nhân đó?
Cho tam giác ABC cân (AB=AC), có cạnh đáy BC, đường cao AH, cạnh bên AB theo thứ tự đo lập thành một cấp số nhân. Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó
Tìm các số (x,y) biết y < 0 và các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời các số \(x + \frac{5}{3}\), y -1, 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Chứng minh các dãy số \((\frac{3}{5}. 2^n)\) , \((\frac{5}{2^{n}})\), \(((-\frac{1}{2})^{n})\) là các cấp số nhân.
Cho cấp số nhân với công bội q.
a) Biết \(u_1 = 2, u_6 = 486\). Tìm q
b) Biết \(q =\frac{2}{3}\), \(u_4 =\frac{8}{21}\). Tìm \(u_1\)
c) Biết \(u_1 = 3, q = -2\). Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?
Tìm các số hạng của cấp số nhân có năm số hạng, biết:
a) \(u_3 = 3\) và \(u_5 = 27\);
b) \(u_4 - u_2 = 25\) và \(u_3 - u_1 = 50\)
Tìm cấp số nhân có sau số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.
Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia các cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông lại làm tiếp tục như trên để được hình vuông C2. Từ hình vuông C2 lại tiếp như trên để được hình vuông C3. Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông \(C_1, C_2, ...,C_n.\) Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân.
Cho dãy số (un) với un = (−3)2n−1
a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số;
b) Lập công thức truy hồi của dãy số;
c) Hỏi số -19683 là số hạng thứ mấy của dãy số ?
Cấp số nhân (un) có \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_5} = 51\\
{u_2} + {u_6} = 102
\end{array} \right.\)
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân :
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069?
c) Số 12288 là số hạng thứ mấy ?
Tìm số các số hạng của cấp số nhân (un) biết:
a) \(q = 2,{u_n} = 96,{S_n} = 189\) ;
b) \({u_1} = 2,{u_n} = \frac{1}{8},{S_n} = \frac{{31}}{8}\).
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un) biết
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_5} - {u_1} = 15\\
{u_4} - {u_2} = 6
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} - {u_4} + {u_5} = 10\\
{u_3} - {u_5} + {u_6} = 20
\end{array} \right.\)
Bốn số lập thành một cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận được một cấp số nhân. Tìm các số đó.
Viết bốn số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân.
Cho dãy số (un): \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 0\\
{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}},\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)
a) Lập dãy số (xn) với \({x_n} = \frac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}\). Chứng minh dãy số (xn) là cấp số nhân.
b) Tìm công thức tính xn, un theo n.
Hãy chọn dãy số là cấp số nhân trong các dãy số (un) sau:
A. \({u_n} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n} + 1}}\)
B. \({u_n} = 3n\)
C. \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{3}\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1}\\
{{u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 1} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n \ge 1}
\end{array}} \right.\)
Tổng Sn = 1 + 2 + 22 + ... + 2n bằng :
A. \(2^{n-1}-1\)
B. \(2^{n+1}-1\)
C. \(2^n-1\)
D. \(\frac{{\left( {1 + {2^n}} \right)n}}{2}\)
Cho cấp số nhân x, -3, y, -27. Khi đó:
A. x = -9; y = 81 B. x = 1; y = 9
C. x = 1; y = -9 D. x = 9; y = -15
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.
a. Dãy số 1, −2, 4, −8, 16, −32, 64
b. Dãy số (un) với un = n.6n+1
c. Dãy số (vn) với vn = (−1)n.32n
d. Dãy số (xn) với xn = (−4)2n+1.
Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng :
a. Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội 0
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm
b. Mỗi cấp số nhân có số hạng đầu dương và công bội q>1q>1 là một dãy số
Tăng
Giảm
Không tăng cũng không giảm
Cho cấp số nhân (un) có công bội q < 0. Biết u2 = 4 và u4 = 9, hãy tìm u1.
Một cấp số nhân có năm số hạng mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng \(\frac{1}{{16}}\). Hãy tìm cấp số nhân đó.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} \Leftrightarrow 96 = {u_1}{.2^{n - 1}}\)
Lại có: \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\) \( \Leftrightarrow 189 = \dfrac{{{u_1}\left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}}\) \( \Leftrightarrow 189 = {u_1}\left( {{2^n} - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{189}}{{96}} = \dfrac{{{2^n} - 1}}{{{2^{n - 1}}}}\) \( \Leftrightarrow {189.2^{n - 1}} = {96.2^{n - 1}}.2 - 96\) \( \Leftrightarrow {3.2^{n - 1}} = 96 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 32\) \( \Leftrightarrow n - 1 = 5 \Leftrightarrow n = 6\)
Vậy \(n = 6.\)
Câu trả lời của bạn
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}.{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 3\end{array} \right.\)
Vậy \({u_1} = 3,q = 2.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^{2\left( {n + 1} \right) - 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n - 1}}}}\) \( = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n - 1}}}} = 9\)
Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({u_1} = - 3,q = 9.\)
Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 3} \right)^{2n + 1}} - {\left( { - 3} \right)^{2n - 1}}\)\({\rm{ = }}{\left( { - 3} \right)^{2n}}\left[ {{{\left( { - 3} \right)}^1} - {{\left( { - 3} \right)}^{ - 1}}} \right]\) \( = {9^n}\left( { - \dfrac{8}{3}} \right) < 0\)
Vậy dãy số giảm.
Câu trả lời của bạn
Gọi 4 số cần tìm là \(x,y,z,t\) ta có :
Cấp số cộng \(x,y,z,t\)
Cấp số nhân \(x - 2,y - 6,z - 7,t - 2.\)
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + z = 2y\\y + t = 2z\\{\left( {y - 6} \right)^2} = \left( {x - 2} \right)\left( {z - 7} \right)\\{\left( {z - 7} \right)^2} = \left( {y - 6} \right)\left( {t - 2} \right).\end{array} \right.\)
Giải hệ ta được : \(x = 5,y = 12,z = 19,t = 26.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} = 10\\{u_1}{q^2} - {u_1}{q^4} + {u_1}{q^5} = 20\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} = 10\\q\left( {{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4}} \right) = 20\end{array} \right.\)
Lấy pt dưới chia cho pt trên vế với vế ta được q=2.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\2{u_1} - 8{u_1} + 16{u_1} = 10\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 1\end{array} \right.\)
Vậy \({u_1} = 1,q = 2.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^4} - {u_1} = 15\\{u_1}{q^3} - {u_1}q = 6\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {{q^4} - 1} \right) = 15\\{u_1}\left( {{q^3} - q} \right) = 6.\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Do (1) nên \(q \ne \pm 1,\) suy ra \(\dfrac{{15}}{6} = \dfrac{{{q^4} - 1}}{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}} = \dfrac{{{q^2} + 1}}{q}.\)
Biến đổi về phương trình \(2{q^2} - 5q + 2 = 0.\)
Giải ra được \(q = 2\) và \(q = \dfrac{1}{2}.\)
Nếu \(q = 2\) thì \({u_1} = 1.\)
Nếu \(q = \dfrac{1}{2}\) thì \({u_1} = - 16.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{8} = 2.{q^{n - 1}}\\\dfrac{{31}}{8} = \dfrac{{2\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\31\left( {q - 1} \right) = 16\left( {q.{q^{n - 1}} - 1} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\31\left( {q - 1} \right) = 16\left( {\dfrac{1}{{16}}q - 1} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\30q = 15\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \dfrac{1}{2}\\n - 1 = 4\end{array} \right. \Rightarrow n = 5\)
Vậy \(n = 5.\)
Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là cấp số nhân.
Câu trả lời của bạn
Từ giả thiết có
\({u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Lập tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}.\dfrac{{{u_n} + 3}}{{{u_n} - 1}}\) \( = \dfrac{{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1,}}\) thay vào (2) ta được
\(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\)\( = \dfrac{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}\) \( = \dfrac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = \dfrac{1}{5}.\)
Vậy \({x_{n + 1}} = \dfrac{1}{5}{x_n},\) ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = \dfrac{1}{5}\) và \({x_1} = - \dfrac{1}{3}.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có : \({u_1} = 5,{u_6} = 160\) \( \Rightarrow 160 = 5.{q^5} \Leftrightarrow q = 2\)
Vậy \({u_2} = 10,{u_3} = 20,{u_4} = 40,{u_5} = 80\)
Bốn số cần tìm là \(10,20,40,80.\)
Câu trả lời của bạn
Dãy \(1,2,{2^2},...,{2^n}\) là cấp số nhân gồm \(n + 1\) số hạng với \({u_1} = 1,q = 2\).
Khi đó \({S_n} = \dfrac{{1\left( {{2^{n + 1}} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = {2^{n + 1}} - 1\).
A. 1,3,5,7,9
B. -1,-3,1,3,5
C. 1,2,4,16,256
D. 1,2,4,8,16
Câu trả lời của bạn
Đáp án D (CSN với công bội là 2).
Câu trả lời của bạn
(a-c)2+(b-c)2+(b-d)2-(a-d)2=2b2+2c2-2ac-2bc-2bd+2ad
Vì a, b, c, d là một cấp số nhân nên ta có: b2=ac,b2=bd.
Khi đó ta có: (a-c)2+(b-c)2+(b-d)2-(a-d)2=2ad-2bc=0.
Câu trả lời của bạn
Khi xen vào giữa hai số -3 và 23 n số hạng thì ta được một CSC với công sai d = 2. Nên suy ra CSC trên có n + 2 số hạng và 23 là số hạng thứ n + 2.
Khi đó ta có: 23 = -3 + (n + 1)2 ⇒ n = 12
Câu trả lời của bạn
Vì dãy số -4, 1, 6, x theo thứ tự lập thành một CSC nên ta có: (x+1)/2=6 ⇔ x=11
Câu trả lời của bạn
Vì dãy số -4, x, -9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:
x2=36 ⇔ x = ±6.
Câu trả lời của bạn
Ta có: -2, x, -18 theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: x2=36 ⇔ x=±6.
Ta có: x, -18, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: x.y = 182
Nếu x = 6 ⇒ y = 54.
Nếu x = - 6 ⇒ y = -54.
Câu trả lời của bạn
Vì ba số 2x – 1, x, 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:
(2x-1)(2x+1)=x2 ⇔ 3x2=1 ⇔ x=±1/√3
Câu trả lời của bạn
\(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{8}{5};{u_4} = {u_1}.{q^3} = 5{\left( {\frac{8}{5}} \right)^3} = \frac{{512}}{{25}}\)
Dễ thấy un = 4n -5
Ta có: un+1 = 4(n + 1) - 5 = 4n - 1
⇒ u(n+1)=un+4 với n ≥ 1 ⇒ (un) là một cấp số cộng với công sai d = 4
Vậy \({u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}}\)
\(\begin{array}{l}
{S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {{u_1} + {u_{15}}} \right)\\
= \frac{{15}}{2}\left( {\left( { - 1} \right) + 55} \right) = 405
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
A. Dãy số un bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. Dãy số un bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. Dãy số un bị chặn.
D. Dãy số un không bị chặn.
Câu trả lời của bạn
Nếu n chẵn thì un = 52n+5 > 0 tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy un không bị chặn trên.
Nếu n lẻ thì un = -52n+5 < 0 giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) khi n tăng lên vô hạn nên dãy un không bị chặn dưới.
Vậy dãy số đã cho không bị chặn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *