Thông qua bài học các em sẽ nắm được các dạng Phương trình lượng gác cơ bản và công thức nghiệm của chúng. Cùng với hệ thống bài tập minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em nắm vững nội dung bài học. Đây là bài toán nền tảng để các em học tiếp những dạng phương trình lượng phức tạp hơn hay giải một số dạng bài tập có liên quan đến lượng giác khác.
\(\begin{array}{l} \oplus \,\,\,\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \,\,\,\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \oplus \,\,\,\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \oplus \tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\alpha \Leftrightarrow \,x\,{\rm{ = }}\,\alpha + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{\beta ^0} \Leftrightarrow \,x{\rm{ = }}{\beta ^0} + k{\rm{18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \tan x = a \Leftrightarrow x{\rm{ = }}\arctan a\, + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \oplus \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,\alpha \,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \cot x = \cot {\beta ^0} \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,{\beta ^0}{\rm{ + }}\,{\rm{k18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \cot x = a \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}{\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \,a\,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\).
b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}}\).
c) \(\sin 3x = \frac{1}{2}\).
d) \(\sin x = \frac{2}{3}\).
a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \Leftrightarrow \,\frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là: \(\,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{11\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\)
c) \(\sin 3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\).
d) \(\sin x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}\).
b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là: \({x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}\) và \({x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = c{\rm{os}}{45^0}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0}\\ x + {45^0} = - {45^0} + k{360^0} \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0}\\ x = - {90^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy phương trình có các nghiệm là: \({x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}\) và \({x = - {{90}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}.\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3}\).
b) \(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
b) \(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow\) \(\tan (x - {15^0}) = \tan {30^0}\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy các nghiệm của phương trình là \(x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\).
b) \(\cot 4x = - 3.\)
c) \(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\) \(\Leftrightarrow 4x = \frac{{2\pi }}{7}\, + \,k\pi \Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4};\,k \in \mathbb{Z}.\)
b) \(\cot 4x = - 3 \Leftrightarrow 4x = \arctan \left( { - 3} \right) + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
c) \(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\)
\(\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về phương trình lượng giác. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác,....các em cần tìm hiểu thêm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Giải phương trình \(\sin 4x = \sin \frac{\pi }{5}.\)
Giải phương trình \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{{18}}} \right) = \frac{2}{5}.\)
Giải phương trình \(\cos (x - 5) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với \( - \pi < x < \pi .\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 28 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 29 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 1.14 trang 23 SBT Toán 11
Bài tập 1.15 trang 23 SBT Toán 11
Bài tập 1.16 trang 24 SBT Toán 11
Bài tập 1.17 trang 24 SBT Toán 11
Bài tập 1.18 trang 24 SBT Toán 11
Bài tập 1.19 trang 24 SBT Toán 10
Bài tập 1.20 trang 24 SBT Toán 11
Bài tập 1.21 trang 24 SBT Toán 10
Bài tập 1.22 trang 24 SBT Toán 11
Bài tập 1.23 trang 24 SBT Toán 10
Bài tập 1.24 trang 25 SBT Toán 11
Bài tập 14 trang 28 SGK Toán 11 NC
Bài tập 15 trang 28 SGK Toán 11 NC
Bài tập 16 trang 28 SGK Toán 11 NC
Bài tập 17 trang 29 SGK Toán 11 NC
Bài tập 18 trang 29 SGK Toán 11 NC
Bài tập 19 trang 29 SGK Toán 11 NC
Bài tập 20 trang 29 SGK Toán 11 NC
Bài tập 21 trang 29 SGK Toán 11 NC
Bài tập 22 trang 30 SGK Toán 11 NC
Bài tập 23 trang 31 SGK Toán 11 NC
Bài tập 24 trang 32 SGK Toán 11 NC
Bài tập 25 trang 32 SGK Toán 11 NC
Bài tập 26 trang 32 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Giải phương trình \(\sin 4x = \sin \frac{\pi }{5}.\)
Giải phương trình \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{{18}}} \right) = \frac{2}{5}.\)
Giải phương trình \(\cos (x - 5) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với \( - \pi < x < \pi .\)
Giải phương trình \(\tan 3x = \tan \frac{{3\pi }}{5}.\)
Giải phương trình \(\cot 2x = \cot \left( { - \frac{1}{3}} \right).\)
Giải phương trình \(\cot \left( {\frac{x}{4} + {{20}^0}} \right) = - \sqrt 3 .\)
Giải phương trình \(\sin \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \cos 2x.\)
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thánh phố A có vĩ độ \({40^0}\) bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:
\(d(t) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12,t \in \mathbb{Z},0 < t \le 365\)
Thành phố A có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thánh phố A có vĩ độ \({40^0}\) bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:
\(d(t) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12,t \in \mathbb{Z},0 < t \le 365\)
Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ sáng mặt trời nhất?
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thánh phố A có vĩ độ \({40^0}\) bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:
\(d(t) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12,t \in \mathbb{Z},0 < t \le 365\)
Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ sáng mặt trời nhất?
Giải các phương trình sau:
a) \(\small sin (x + 2) =\frac{1}{3}\)
b) \(\small sin 3x = 1\)
c) \(\small sin (\frac{2x}{3} -\frac{\pi}{3}) =0\)
d) \(\small sin (2x + 20^0) =-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?
Giải các phương trình sau:
a) \(\small cos (x - 1) =\frac{2}{3}\)
b) \(\small cos 3x = cos 12^0\)
c) \(\small cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}\)
d) \(\begin{array}{l} \,\,{\cos ^2}2x = \frac{1}{4}
\end{array}\)
Giải phương trình sau
\(\small \frac{2cos2x}{1-sin2x}=0\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\small tan (x - 150) = \frac{\sqrt{3}}{3}\);
b) \(\small cot (3x - 1) = -\sqrt{3}\);
c) \(\small cos 2x . tan x = 0\);
d) \(\small sin 3x . cot x = 0\).
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số \(\small y = tan ( \frac{\pi}{4}- x)\) và \(\small y = tan2x\) bằng nhau?
Giải các phương trình sau:
a) \(sin 3x - cos 5x = 0\);
b) \(\small tan 3x . tan x = 1\).
Giải các phương trình:
a) \(\sin 3x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
b) \(\sin (2x - {15^o}) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
c) \(\sin (\frac{x}{2} + {10^o}) = - \frac{1}{2}\)
d) \(\sin 4x = \frac{2}{3}\)
Giải các phương trình:
a) \(\cos (x + 3) = \frac{1}{3}\)
b) \(\cos (3x - {45^o}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
c) \(\cos (2x + \frac{\pi }{3}) = - \frac{1}{2}\)
d) \((2 + \cos x)(3\cos 2x - 1) = 0\)
Giải các phương trình:
a) tan(2x+45o) = −1
b) \(\cot(x + \frac{\pi }{3}) = \sqrt 3 \)
c) \(\tan \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \tan \frac{\pi }{8}\)
d) \(\cot (\frac{x}{3} + {20^o}) = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)
Giải các phương trình
a) cos3x−sin2x = 0
b) tanx.tan2x = −1
c) sin3x+sin5x = 0
d) cot2x.cot3x = 1.
Nghiệm của phương trình \(\sin 5x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) là
A. \(\frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) và \(\frac{{4\pi }}{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) (\(k\in Z\))
B. \(\frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) và \(\frac{\pi }{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) (\(k\in Z\))
C. \(\frac{\pi }{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) và \(\frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) (\(k\in Z\))
D. \(\frac{\pi }{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) và \(\frac{{4\pi }}{{15}} + k\frac{{2\pi }}{5}\) (\(k\in Z\))
Nghiệm của phương trình \(\cot \left( {2x - {{30}^0}} \right) = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}\)
A. 30ο + k90ο (k ∈ Z )
B. 75ο + k90ο (k ∈ Z )
C. 45ο + k90ο (k ∈ Z )
D. - 75ο + k90ο (k ∈ Z )
Nghiệm của phương trình \(\tan x + \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 2 = 0\) là:
A. \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \) và \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) (\(k\in Z\))
B. \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \) (\(k\in Z\))
C. \(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \) (\(k\in Z\))
D. \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \) (\(k\in Z\))
Nghiệm của phương trình sin3x.cosx - sin4x = 0 là
A. \(k\pi \) và \(\frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)\)
B. \(\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
C. \(\frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
D. \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \) và \(\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Nghiệm của phương trình cos2x. cos4x = 1 thuộc đoạn [-π; π] là:
A. \( - \frac{\pi }{2}\), 0 và π B. 0, \(\frac{\pi }{2}\) và π
C. - π, 0 và π D. \( - \frac{\pi }{2}\), \( - \frac{\pi }{2}\) và π
Nghiệm của phương trình tanx. cot3x = -1 thuộc đoạn [0; \(\frac{{3\pi }}{2}\)] là:
A. \(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}\)
B. \(\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{4},\pi \)
C. \(\frac{\pi }{6},\frac{{3\pi }}{4},\frac{{5\pi }}{4}\)
D. \(\frac{\pi }{4},\frac{{3\pi }}{4},\frac{{5\pi }}{4}\)
Nghiệm lớn nhất của phương trình sin3x - cosx = 0 thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là:
A. \(\frac{{3\pi }}{2}\)
B. \(\frac{{4\pi }}{2}\)
C. \(\frac{{3\pi }}{2}\)
D. π
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin 4x = \sin \frac{\pi }{5}\)
b) \(\sin \left( {\frac{{x + \pi }}{5}} \right) = - \frac{1}{2}\)
c) \(\cos \frac{x}{2} = \cos \sqrt 2 \)
d) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{{18}}} \right) = \frac{2}{5}\)
a. Vẽ đồ thị của hàm số y = sinx rồi chỉ ra trên đồ thị đó các điểm có hoành độ thuộc khoảng (−π;4π) là nghiệm của mỗi phương trình sau :
1. \(\sin x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
2. sinx = 1
b. Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số y = cosx đối với mỗi phương trình sau
1. \(\cos x = \frac{1}{2}\)
2. cosx = −1.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\sin \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
3x - \frac{\pi }{6} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\
x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\sin \left( {3x - 2} \right) = - 1\\
\Leftrightarrow 3x - 2 = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow 3x = 2 - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{2}{3} - \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\sqrt 2 \cos \left( {2x - \frac{\pi }{5}} \right) = 1\\
\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - \frac{\pi }{5} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
2x - \frac{\pi }{5} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{{9\pi }}{{20}} + k2\pi \\
2x = - \frac{\pi }{{20}} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{9\pi }}{{40}} + k\pi \\
x = - \frac{\pi }{{40}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\sin 3x - \cos 2x = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin 3x - \sin \left( {{\pi \over 2} - 2x} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow 2\cos \left( {{x \over 2} + {\pi \over 4}} \right)\sin \left( {{{5x} \over 2} - {\pi \over 4}} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\sin \left( {\frac{{5x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\frac{{5x}}{2} - \frac{\pi }{4} = k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\frac{{5x}}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\tan \left( {2x + 3} \right) = \tan \frac{\pi }{3}\\
\Leftrightarrow 2x + 3 = \frac{\pi }{3} + k\pi \\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} - 3 + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} - \frac{3}{2} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\cos \left( {3x - {{15}^0}} \right) = \cos {150^0}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - {15^0} = {150^0} + k{360^0}\\
3x - {15^0} = - {150^0} + k{360^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = {165^0} + k{360^0}\\
3x = - {135^0} + k{360^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {55^0} + k{120^0}\\
x = - {45^0} + k{120^0}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(y = 2x + {\pi \over 6}\) thì:
\( - {\pi \over 3} < x < {\pi \over 6} \)\(\Leftrightarrow - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2}\)
Ta có phương trình (với ẩn y) \(\sin y = {2 \over 5}\) (1)
Với \( - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2},\) phương trình (1) có một nghiệm suy nhất là \(y = \arcsin {2 \over 5}.\)
Vậy với \( - {\pi \over 3} < x < {\pi \over 6},\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \(2x + {\pi \over 6} = \arcsin {2 \over 5}\)
Do đó nó cũng có một nghiệm duy nhất là \(x = {1 \over 2}\left( {\arcsin {2 \over 5} - {\pi \over 6}} \right)\)
Lấy giá trị gần đúng \(\arcsin {2 \over 5} \approx 0,412\) và \({\pi \over 6} \approx 0,524,\) ta được \(x \approx - 0,06.\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{6}} \right) + \cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{6}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 3x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sin \left( {3x - \frac{{5\pi }}{6}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{4} - 3x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin \left( { - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)\cos \left( {3x - \frac{{13\pi }}{{24}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \cos \left( {3x - \frac{{13\pi }}{{24}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 3x - \frac{{13\pi }}{{24}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\Leftrightarrow 3x = \frac{{25\pi }}{{24}} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{{25\pi }}{{72}} + \frac{{k\pi }}{3}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \cos 3x\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( { - \frac{\pi }{6} - x} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + x} \right)\\
\Leftrightarrow \cos 3x - \cos \left( {\frac{\pi }{6} + x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right)\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin \left( {2x + \frac{\pi }{{12}}} \right) = 0\\
\sin \left( {x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{{12}} = k\pi \\
x - \frac{\pi }{{12}} = k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(y = {x \over 2}\) thì:
\(2\pi < x < 4\pi \Leftrightarrow \pi < y < 2\pi \)
Ta có phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}.\)
Do \(0 < {{\sqrt 2 } \over 3} < 1\) nên phương trình \(\cos y = {{\sqrt 2 } \over 3}\) có duy nhất một nghiệm \(y = \alpha \) thuộc khoảng \(\left( {\pi ;2\pi } \right)\) (có thể thấy rõ điều này trên đường tròn lượng giác).
Vậy trong khoảng \(\left( {2\pi ;4\pi } \right),\) phương trình đã cho tương đương với phương trình \({x \over 2} = \alpha ,\)
Do đó có một nghiệm duy nhất \(x = 2\alpha .\)
Để tính giá trị gần đúng của \(\alpha ,\) ta làm như sau:
Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta tìm được số \(\beta \) thỏa mãn \(0 < \beta < \pi \) và \(\cos \beta = {{\sqrt 2 } \over 3}\).
(Cụ thể \(\beta = \arccos {{\sqrt 2 } \over 3} \approx 1,080\)).
Khi đó, dễ thấy \(2\pi - \beta \) thỏa mãn \(\pi < 2\pi - \beta < 2\pi \) và \(\cos \left( {\pi - \beta } \right) = \cos \beta = {{\sqrt 2 } \over 3},\) nghĩa là \(\alpha = 2\pi - \beta .\)
Vì \(\beta \approx 1,080\) nên giá trị gần đúng nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\alpha \approx 10,41.\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(y = {{3x - \pi } \over 5}.\)
Khi đó \( - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2}\) và phương trình đã cho có dạng \(\tan y = - 3.\)
Với điều kiện \( - {\pi \over 2} < y < {\pi \over 2}\), phương trình này có một nghiệm duy nhất \(y = \arctan \left( { - 3} \right).\)
Vì vậy \({{3x - \pi } \over 5} = \arctan \left( { - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)\)
Nên \(x = {1 \over 3}\left( {5\arctan \left( { - 3} \right) + \pi } \right)\) cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện \( - {\pi \over 2} < y < {{7\pi } \over 6}\)
Lấy giá trị gần đúng \(\arctan \left( { - 3} \right) \approx - 1,249\) , ta được \(x \approx - 1,03\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\cot \left( {{{45}^0} - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\
\Leftrightarrow \cot \left( {{{45}^0} - x} \right) = \cot {60^0}\\
\Leftrightarrow {45^0} - x = {60^0} + k{180^0}\\
\Leftrightarrow x = - {15^0} - k{180^0}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& \cos {x \over 2} = - \cos \left( {2x - {{30}^o}} \right)\cr &\Leftrightarrow \cos {x \over 2} + \cos \left( {x - {{30}^o}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\cos \left( {{{5x} \over 4} - {{15}^o}} \right)\cos \left( {{{15}^o} - {{3x} \over 4}} \right) = 0 \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{{5x}}{4} - {{15}^0}} \right) = 0\\
\cos \left( {{{15}^0} - \frac{{3x}}{4}} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{5x}}{4} - {15^0} = {90^0} + k{180^0}\\
{15^0} - \frac{{3x}}{4} = {90^0} + k{180^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{5x}}{4} = {105^0} + k{180^0}\\
\frac{{3x}}{4} = - {75^0} - k{180^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {84^0} + k{144^0}\\
x = - {100^0} - k{240^0}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\cos \left( {4x + {{2\pi } \over 5}} \right) + \cos \left( {3x - {\pi \over 4}} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow 2\cos \left( {{{7x} \over 2} + {{3\pi } \over {40}}} \right)\cos \left( {{x \over 2} + {{13\pi } \over {40}}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos \left( {\frac{{7x}}{2} + \frac{{3\pi }}{{40}}} \right) = 0\\
\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{{13\pi }}{{40}}} \right) = 0
\end{array} \right.\)
+) \(\cos \left( {{{7x} \over 2} + {{3\pi } \over {40}}} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow {{7x} \over 2} + {{3\pi } \over {40}} = {\pi \over 2} + k\pi \)
\(\Leftrightarrow x = {{17\pi } \over {140}} + k{{2\pi } \over 7}\)
+) \(\cos \left( {{x \over 2} + {{13\pi } \over {40}}} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow {x \over 2} + {{13\pi } \over {40}} = {\pi \over 2} + k\pi \)
\(\Leftrightarrow x = {{7\pi } \over {20}} + k2\pi \)
Vậy điều kiện xác định của hàm số đã cho là \(\cos \left( {4x + {{2\pi } \over 5}} \right) + \cos \left( {3x - {\pi \over 4}} \right) \ne 0\) tức là
\(x \ne {{17\pi } \over {140}} + k{{2\pi } \over 7}\left( {k \in Z} \right)\) và \(x \ne {{7\pi } \over {20}} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Vậy TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ {\frac{{17\pi }}{{140}} + \frac{{k2\pi }}{7},\frac{{7\pi }}{{20}} + k2\pi ,k \in Z} \right\}\)
Câu trả lời của bạn
đây nhé bạn
1/tanx=cotx=cosx/sinx
--> Sinx khác 0
tương đương x khác kpi( trường hợp đặc biết nhé bạn
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin ({45}^o)\)
Khi đó: \(\sin(2x-{15}^o)=\sin ({45}^o)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x-{15}^o = {45}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ 2x-{15}^o = {135}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {30}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ x = {75}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy nghiệm của phương trình là:
\(x = {30}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = {75}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\dfrac{2}{3}=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})\)
Khi đó: \(\sin 4x=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x= \pi-\arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\)
và \(x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(-\dfrac{1}{2}=\sin (-{30}^o)\)
Khi đó: \(\sin(\dfrac{x}{2}+{10}^o)=\sin (-{30}^o)\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2}+{10}^o = -{30}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ \dfrac{x}{2}+{10}^o = {210}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -{80}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ x = {400}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy nghiệm của phương trình là:
\(x = -{80}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\)
và \( x = {400}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin(\arcsin(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}))\)
\(=\sin (-\dfrac{\pi}{3})\)
Khi đó: \(\sin 3x=\sin (-\dfrac{\pi}{3})\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = -\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-({-\dfrac{\pi}{3}})+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\\ x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có các nghiệm là:
\(x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\)
Câu trả lời của bạn
\(\cos(x+3) =\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow x+3 = \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi \)
\(\Leftrightarrow x =-3 \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là
\(x =-3 \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *