Nội dung bài ôn tập Chương Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ nội dung đã học trong chương 1 thông qua sơ đồ hệ thống hóa kiến thức và các bài tập ở mức độ khó cao hơn. Bên cạnh đó thông qua nội dung bài học, các em sẽ được tìm hiểu thêm một số dạng phương trình lượng giác đặc trưng không được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11.
Dạng phương trình:
\(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d{\rm{ (1) }}\)
(a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)
Phương pháp giải:
Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không
Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)
\( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0\) \(\left( {1'} \right)\)
Đặt \(t = \tan x\)
Phương trình \(\left( {1'} \right)\) trở thành: \((a - d){t^2} + bt + c - d = 0{\rm{ (2)}}\)
Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo \(t = \tan x\)
\({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\); \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\); \(\sin x\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}\)
Phương trình (1) trở thành:
\(a\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right) + b\frac{{\sin 2x}}{2} + c\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) = d\)
\( \Leftrightarrow b\sin 2x + (c - a)\cos 2x = 2d - a - c\)
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.
Dạng phương trình:
\(a\sin {}^3x + b{\sin ^2}x\cos x + c\sin x{\cos ^2}x + d\sin x + e\cos x + fc{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x = 0{\rm{ (1) }}\)
(a, b, c, d, e, f: có ít nhất 2 hệ số khác không).
Phương pháp giải:
Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)có là nghiệm của (1) hay không
Xét\(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^3}x\) ta được:
\(a{\tan ^3}x + b{\tan ^2}x + c\tan x + d\tan x(1 + {\tan ^2}x) + e(1 + {\tan ^2}x) + f = 0\)
\( \Leftrightarrow (a + d){\tan ^3}x + (b + e){\tan ^2}x + (c + d)\tan x + e + f = 0\) \(\left( {{\rm{1'}}} \right)\)
Đặt \(t = \tan x\)
Phương trình \(\left( {{\rm{1'}}} \right)\) trở thành:
\((a + d){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^3} + (b + e){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + (c + d){\mathop{\rm t}\nolimits} + e + f = 0\) (2)
Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo \(t = \tan x\)
Phương pháp giải
Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \) (*)
Suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)
Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} + 2at + 2c - b = 0\)
Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiên (*) suy ra t
Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x
Chú ý: Ta cũng có thể đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và làm tương tự như trên.
Phương pháp giải
Đặt \(t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\)
Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \) (*)
Suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\)
Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} - 2at - 2c - b = 0\)
Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện (*) suy ra t
Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x
Phương pháp giải
Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)
Đặt \(t = \tan x + \cot x\), điều kiện \(\left| t \right| \ge 2\)
Suy ra \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\)
Phương trình trở thành:
\(a({t^2} - 2) + bt + c = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c - 2a = 0\)
Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (*), suy ra t
Giải phương trình \(\tan x + \cot x = t\)
Cách 1:
Ta có \(\tan x + \frac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x - t.\tan x + 1 = 0\)
Đây là phương trình bậc hai theo tanx
Cách 2:
Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{2}{t}\)
Đây là phương trình cơ bản của sin2x
Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)
Đặt \(t = \tan x - \cot x\). Khi đó \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2\)
Phương trình trở thành:
\(a({t^2} + 2) + bt + c = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0\)
Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t
Giải phương trình \(\tan x - \cot x = t\)
Cách 1:
Ta có \(\tan x - \frac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x - t\tan x - 1 = 0\)
Đây là phương trình bậc hai theo tanx
Cách 2:
Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t\)
\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = t \Leftrightarrow \cot 2x = - \frac{t}{2}\)
Đây là phương trình cơ bản của cot2x.
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)
b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)
c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)
d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \sin 7x\sin 5x\)
e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)
a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Khi đó (1)\( \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + \sin x} \right) + {\cos ^2}x = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin x + 1 = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = - 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
So sánh với điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là \(x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)
Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ne \pm 1\) (*)
Khi đó (2)\( \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\sin x\cos x}}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 4x\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 4x \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0\)
Đặt: \(t = \cos 2x,t \in \left( { - 1;1} \right)\)
Bất phương trình trở thành: \(2{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1\,(loai){\rm{ }}}\\{t = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)
Với \(\cos 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \), \(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)
\( \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \sin 2x - \frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow 1 - \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2} = \sin 2x - \frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 3 = 0\)
Đặt \(t = \sin 2x,t \in \left[ { - 1;1} \right],\) Bất phương trình trở thành:
\({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\,(loai)\end{array} \right.\)
Với \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (3) là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \sin 7x\sin 5x\)
\( \Leftrightarrow \left( {\cos 7x\cos 5x + \sin 7x\sin 5x} \right) - \sqrt 3 \sin 2x = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi {\rm{ }}}\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array},} \right.{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Vậy nghiệm của (4) là \(x = k\pi \), \(x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{(1 - \cos 2x)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left[ {1 + \cos (2x + \frac{\pi }{2})} \right]}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow {(1 - \cos 2x)^2} + {(1 - \sin 2x)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (5) là \(x = k\pi \), \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Nội dung bài ôn tập Chương Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác sẽ giúp các em có cái nhìn tổng quan về toàn bộ nội dung đã học trong chương 1 thông qua sơ đồ hệ thống hóa kiến thức và các bài tập ở mức độ khó cao hơn. Bên cạnh đó thông qua nội dung bài học, các em sẽ được tìm hiểu thêm một số dạng phương trình lượng giác đặc trưng không được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11.
Nội dung bài giảng đã giúp các em có các nhìn tổng quát về nội dung của chương 1 Giải tích lớp 12 và ôn tập phương pháp giải một số dạng bài tập trọng tâm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương I Ứng dụng hàm số lượng giác để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
Tìm các nghiệm của phương trình \(2\sin 2x - \sqrt 3 = 0\) trong đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right].\)
Cho phương trình \(\frac{{\cos x + \sqrt 2 }}{{\tan x}} = 0\,(*).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương I sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 40 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 40 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 9 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 10 trang 41 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 1.39 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.40 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.41 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.42 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.43 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.44 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.45 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.46 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.47 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.48 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.49 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.50 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.51 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập1.52 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.53 trang 40 SBT Toán 11
Bài tập 1.54 trang 41 SBT Toán 11
Bài tập 1.55 trang 41 SBT Toán 11
Bài tập 1.56 trang 41 SBT Toán 11
Bài tập 1.57 trang 41 SBT Toán 11
Bài tập 1.58 trang 41 SBT Toán 11
Bài tập 43 trang 47 SGK Toán 11 NC
Bài tập 44 trang 47 SGK Toán 11 NC
Bài tập 45 trang 47 SGK Toán 11 NC
Bài tập 46 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 47 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 48 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 49 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 50 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 51 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 52 trang 48 SGK Toán 11 NC
Bài tập 53 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 54 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 55 trang 49 SBT Toán 11 NC
Bài tập 56 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 57 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 58 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 59 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 60 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 61 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 62 trang 49 SGK Toán 11 NC
Bài tập 63 trang 49 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
Tìm các nghiệm của phương trình \(2\sin 2x - \sqrt 3 = 0\) trong đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right].\)
Cho phương trình \(\frac{{\cos x + \sqrt 2 }}{{\tan x}} = 0\,(*).\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tìm tập hợp tất cả giá trị của m để phương trình \(3 - 2\sin 2x = - m\) có nghiệm.
Giải phương trình \(\cos x + \sqrt 3 \sin x = \sqrt 3 .\)
Giải phương trình \(\sin 2x + {\sin ^2}x = 1.\)
Giải phương trình \({\cos ^2}x - \cos 2x = - 2{\sin ^2}x.\)
Giải phương trình \(2\cos (x - {75^0}) - \sqrt 2 = 0.\)
Giải phương trình \(\cos 3x.\sin 2x + \cos 3x - \sin 2x - 1 = 0.\)
Giải phương trình \(2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x = - 4.\)
a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?
b) Hàm số \(y=tan\left ( x+\frac{\pi }{5} \right )\) có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?
Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sin x, tìm các giá trị của x trên đoạn \(\left [ -\frac{3\pi }{2};2\pi \right ]\) để hàm số đó:
a) Nhận giá trị bằng -1.
b) Nhận giá trị âm.
Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
a) \(y=\sqrt{2(1+cosx)}+1\)
b) \(y=3sin(x-\frac{\pi }{6})-2\)
Giải các phương trình sau:
a) \(sin(x+1)=\frac{2}{3}\)
b) \(sin^22x=\frac{1}{2}\)
c) \(cot^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{3}\)
d) \(tan \left ( \frac{x}{12} +12x \right )=-\sqrt{3}\)
Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
b) 25sin2x + 15sin2x + 9 cos2x = 25
c) 2 sin x + cosx = 1
d) sinx + 1,5 cotx = 0
Phương trình cosx = sin x có số nghiệm thuộc đoạn [\(-\pi;\pi\)]
(A). 2 (B). 4 (C). 5 (D). 6
Phương trình \(\frac{cos4x}{cos2x}=tan2x\) có số nghiệm thuộc khoảng \(\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\) là:
A. 2 B. 3 C. 4 D .5
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x + sin2x = cosx + 2 cos2 x là:
A.\(\frac{\pi }{6}\) B.\(\frac{2\pi }{3}\) C. \(\frac{\pi }{4}\) D. \(\frac{\pi }{3}\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2tan2x + 5tanx + 3 = 0 là:
A. \(-\frac{\pi }{3}\) B. \(-\frac{\pi }{4}\) C. \(-\frac{\pi }{6}\) D. \(-\frac{5\pi }{6}\)
Phương trình 2tanx – 2 cotx – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng \(\left ( -\frac{\pi }{2}; \pi \right )\) là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Tìm tập xác định của các hàm số
a) \(y = \frac{{2 - \cos x}}{{1 + \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)}}\)
b) \(y = \frac{{\tan x + \cot x}}{{1 - \sin 2x}}\)
Xác định tính chẵn lẻ của hàm số
a) \(y = {\sin ^3}x - \tan x\)
b) \(y = \frac{{\cos x + {{\cot }^2}x}}{{\sin x}}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
a) \(y = 3 - 4\sin x\)
b) \(y = 2\sqrt {\cos x} \)
Vẽ đồ thị của các hàm số
a) \(y = \sin 2x + 1\)
b) \(y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)
Giải phương trình sau : 2tanx+3cotx = 4.
Giải phương trình sau : 2cos2x−3sin2x+sin2x = 1.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Tìm GTNN và GTLN của hàm số:
\(y=4sin^2x-4sinx+3\)
Câu trả lời của bạn
TXĐ: D=R
y=4sin2x-4sinx+1+2
=(2sinx-1)2+2
Ta có:
-1\(\le\)sinx\(\le\)1
<=>-2\(\le\)2sinx\(\le\)2
<=>-3\(\le\)2sinx-1\(\le\)1
<=>0\(\le\)(2sinx-1)2\(\le\)1
<=>2\(\le\)(2sinx-1)2+2\(\le\)3
<=>2\(\le\)y\(\le\)11
=>Maxy=3<=>sinx=1<=>x=\(\dfrac{\Pi}{2}\)+k2\(\Pi\)
Miny=2<=>sinx=1/2<=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\Pi}{6}+k2\Pi\\x=\dfrac{5\Pi}{6}+k2\Pi\end{matrix}\right.\)
CMR:
a. 1/\(\sqrt{2}\)<= 2/\(\sqrt{5+3cos4x}\) <= \(\sqrt{2}\)
b. 2<= 6/\(\sqrt{2sin^2x+3cos^2x}\) <= 3
Câu trả lời của bạn
a/ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le\dfrac{2}{\sqrt{5+3cos4x}}\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}\ge\sqrt{5+3cos4x}\ge\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow8\ge5+3cos4x\ge2\)
\(\Leftrightarrow1\ge cos4x\ge-1\) (đúng)
1) \(\dfrac{\sqrt{3}\cos x-2}{2\sin x-1}=0\)
2) \(\dfrac{\sqrt{3}\tan x-1}{2\cos x+\sqrt{3}}=0\)
Câu trả lời của bạn
Bài 1:
PT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{3}\cos x=2\\ 2\sin x-1\neq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \cos x=\frac{2}{\sqrt{3}}>1\\ \sin x\neq \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý do \(\cos x\leq 1\) )
Do đó pt vô nghiệm
Bài 2:
PT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \cos x\neq \frac{-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{\pi}{6}+k\pi=\frac{-5\pi}{6}+(k+1)\pi\\ x\neq \pm \frac{5}{6}\pi+2t\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow k+1\) lẻ, hay $k$ chẵn. Do đó:
\( x=\frac{\pi}{6}+2m\pi \) với \(m\in\mathbb{Z}\) nào đó
tìm GTLN của biểu thức
y=cos^2(x)-sinx
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta có:
\(y=\cos ^2x-\sin x=1-\sin ^2x-\sin x\)
\(=\frac{5}{4}-(\sin ^2x+\sin x+\frac{1}{4})\)
\(=\frac{5}{4}-(\sin x+\frac{1}{2})^2\)
Thấy rằng \((\sin x+\frac{1}{2})^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{4}-(\sin x+\frac{1}{2})^2\leq \frac{5}{4}\Rightarrow y_{\max}=\frac{5}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\sin x=\frac{-1}{2}\Rightarrow x=\frac{-\pi}{6}+2k\pi \) or \(x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi \) (tất nhiên với $k$ nguyên)
Tìm TXD
a) y= sin\(\sqrt{x^2-2x}\)
b) y= \(\dfrac{2sinx}{cos2x-1}\)
Câu trả lời của bạn
\(a,y\)\(=sin\sqrt{x^2-2x}\)
Đkxđ: \(\sqrt{x^2-2x}\in R\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x\le0\\x\ge2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow D:(-\infty;0]\cup[2;+\infty)\)
\(b,y\)\(=\dfrac{2sinx}{cos2x-1}\)
Đkxđ: cos2x-1\(\in R\)
\(\Leftrightarrow cos2x-1\ne0\)
\(\Leftrightarrow x\ne\dfrac{k\pi}{2}\)
\(\Rightarrow D:R\backslash\left\{\dfrac{k\pi}{2};k\in\right\}\)
\(\dfrac{\left(1-2sinx\right)cosx}{\left(1+2sinx\right)\left(1-sinx\right)}\)=\(\sqrt{3}\)
Câu trả lời của bạn
\(pt\Leftrightarrow\dfrac{\left(1-2\sin x\right)\cos x}{1-\sin^2x}=\sqrt{3}\Leftrightarrow\dfrac{1-2\sin x}{\sqrt{3}\cos x}=1\)
\(\Leftrightarrow1-2\sin x=\sqrt{3}\cos x\Leftrightarrow\sqrt{3}\cos x+2\sin x=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\cos x+\dfrac{2}{\sqrt{7}}\sin x=1\)
\(\Leftrightarrow\cos a\cdot\cos x+\sin a\cdot\sin x=1\) với \(a=\sin^{-1}\dfrac{2}{\sqrt{7}}=\cos^{-1}\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\)
\(\Leftrightarrow\cos\left(a-x\right)=1\Leftrightarrow a-x=k2\pi\)
\(\Leftrightarrow x=a-k2\pi\Leftrightarrow x=a+m2\pi\left(m\in Z\right)\)
P.s: lâu lâu pick thử bài lượng phát, nguy cơ đúng 80% nhé :)
y=\(\dfrac{Sinx}{cosx+m}\)xác định m để TXĐ D=R
Câu trả lời của bạn
hàm số đã cho có TXĐ là D=R khi và chỉ khi pt cosx+m= vô nghiệm <=>m\(\notin\)[-1;1]
a; \(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x^5+1}{x^3+1}\)
b; \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{x^n-a^n}{x-a}\)
c; \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x+x^2+.............+x^n-n}{x-1}\)
d; \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}\)
Câu trả lời của bạn
a) lim= - 1/0 = - vô cùng
d) lim x(x^99-2)+1/ x(x^49-2)+1 =lim (x^99-2)/(x^49-2)=1
1. tan(2x + 10°) + cotx =0
2. tan(2x + 45°) . tan(180° - x/2) =1
3. cot(3x + 45°) - tan20° =0
Câu trả lời của bạn
tan(2x+10o)+cot(x)=0
<=> tan(2x+10o)+tan(90o-x)=0
<=>tan(x+100o)*[1-tan(2x-10o)*tan(90o-x)]=0
*tan(x+100o)=0 => x=....
*1-tan(2x-10o)*tan(90o-x)=0
<=> tan(2x-10o)=tanx <=> x=....
Giải phương trình: 2sin2x + 2cos4x = 2cos2x + sinx.cosx
Câu trả lời của bạn
ta có : \(2sin^2x+2cos^4x=2cos^2x+sinx.cosx\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x+2cos^2x\left(cos^2x-1\right)-sinx.cosx=0\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x-2cos^2x.sin^2x-sinx.cosx=0\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x\left(1-cos^2x\right)-sinx.cosx=0\)
\(\Leftrightarrow2sin^4x-sinx.cosx=sinx\left(2sin^3x-cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\2sin^3x-cosx=0\end{matrix}\right.\)
tới đây bn giải như phương trình dạng bình thường nha :)
Tìm số thực m lớn nhất để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ R
m (|sin x| + |cos x| + 1) ≤ |sin 2x| + |sin x| + |cos x| − 2018
Câu trả lời của bạn
.
Bạn Hoàng Ngọc Long trả lời linh tinh còn ở nhiều câu hỏi khác nữa cơ. Mình báo cáo sai phạm nhiều rồi nhưng chưa được xử lí.
1/ 2sinxcos(+x) - 3sin(-x)cosx + sin(+x)cosx = 0
2/ 4sin2xcos (2x - ) + 4sin (+2x)cos2x + 2sin (-2x) cos(+2x) = 1
3/ 4 (sin4x + cos4x) + sin4x = 2
4/ 6sinx - 2cos3x =
Câu trả lời của bạn
Giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y= 3cos2x - 4cosx - căn3 sinx + 19/4
Câu trả lời của bạn
Giải phương trình \(3\cos ^{2}x+\sin x-1=\cos x+\sin 2x-\sin ^{2}x.\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình đã cho tương đương với \(2\cos ^{2}x-\cos x+\sin x-2\sin x\cos x=0\)
\(\Leftrightarrow (2\cos x-1)(\cos x-\sin x)=0\)
+ \(\cos x-\sin x=0\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi,(k\in Z)\)
+ \(2\cos x-1=0\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi,(k\in Z)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi;x=\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi,(k\in Z)\)
Giải phương trình \(\sin x(2\sin x+1)=\cos x(2\cos x+\sqrt{3}).\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình đã cho tương đương với
\(\sin x-\sqrt{3}\cos x=2(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)\Leftrightarrow \sin x-\sqrt{3}\cos 2x=2\cos 2x\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\cos 2x\)
\(\Leftrightarrow \sin (x-\frac{\pi}{3})=\sin (\frac{\pi}{2}-2x)\)
+ \(x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi\Leftrightarrow x=\frac{5\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3},(k\in Z).\)
+ \(x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2x+k2\pi\Leftrightarrow x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi,(k\in Z)\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: \(x=\frac{5\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3},x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi,k\in Z\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Giải phương trình \(2sin^3x-cos2x+cosx=0\)
Câu trả lời của bạn
PT\(\Leftrightarrow 2sin^3x-(1-2sin^2x)+cosx=0\Leftrightarrow 2sin^2x(1+sinx)-(1-cosx)=0\)
\(\Leftrightarrow (1-cosx)[2(1+cosx)(1+sinx)-1]=0\)
\(\Leftrightarrow (1-cosx)[2(sinx+cosx)+2sinxcosx+1]=0\)
\(1-cosx=0\Leftrightarrow cosx=1\Leftrightarrow x=2k\pi\)
\(2(sinx+cosx)+2sinxcosx+1=0\Leftrightarrow 2(sinx+cosx)+(sinx+cosx)^2=0\)
\(\bigg \lbrack\begin{matrix} sinx+cosx=0\\ sinx+cosx=-2 \end{matrix}\)
\(sinx+cosx=-2\) bị loại
\(sinx+cosx=0\Leftrightarrow tanx=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\)
Vậy phương trình có nghiệm: \(x=2k\pi\) và \(x=\frac{-\pi}{4}+k\pi(k\in Z)\)
Giải phương trình: \(\sqrt{3}sin2x-cos2x=4sinx-1\)
Câu trả lời của bạn
\(\sqrt{3}sin2x-cos2x=4sinx-1\Leftrightarrow 2\sqrt{3}sinx.cosx+1-cos2x-4sinx=0\)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{3}sinxcosx+2sin^2x-4sinx=0\Leftrightarrow 2sinx(\sqrt{3}cosx+sinx-2)\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sinx=0\\ \sqrt{3}cosx+sinx=2 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sinx=0\\ sin\left ( x+\frac{\pi}{3} \right )=1 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=k\pi\\ x=\frac{\pi}{6}+k2\pi \end{matrix}\)
Giải phương trình: \(4\sin ^{2}\frac{x}{2}-\sqrt{3}\cos 2x=1+2\cos ^{2}(x-\frac{3\pi }{4})\)
Câu trả lời của bạn
PT \(\Leftrightarrow 2(1-\cos x)-\sqrt{3}\cos 2x=2-\cos (2x-\frac{3\pi }{2})\)
\(\Leftrightarrow \sin 2x-\sqrt{3}\sin 2x=2\cos 2x\)
\(\Leftrightarrow \sin(2x-\frac{3\pi }{2})=\cos x\)
\(\Leftrightarrow \sin(2x-\frac{3\pi }{2})=\sin (\frac{\pi }{2}-x)\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}\\x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{matrix}(k\in Z)\)
Giải phương trình: \(\frac{2sin^2x+3\sqrt{2sinx-sin2x+1}}{(sinx+cosx)^2}=-1\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện \(x\neq -\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in Z\)
Phương trình tương đương với:
\(\frac{2sin^2x+3\sqrt{2}sinx-sin2x+1}{1+sin2x}=-1\)
\(\Leftrightarrow 2sin^2x+3\sqrt{2}sinx-sin2x+1=-1-sin2x\)
\(\Leftrightarrow 2sin^2x+3\sqrt{2}sinx+2=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sinx=-\sqrt{2}\\ sinx=\frac{-\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow sinx=\frac{-\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \end{matrix}, k\in Z\)
So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là: \(x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi, k\in Z\)
Giải phương trình: \(\sqrt{2}\sin 2x=\frac{\sin x-\cos 3x+2\cos 2x\cos x}{\tan \left ( \frac{\pi }{4}-x \right )\tan \left ( \frac{\pi }{4}+x \right )}.\)
Câu trả lời của bạn
Giải phương trình \(\sqrt{2}\sin 2x=\frac{\sin x-\cos 3x+2\cos 2x\cos x}{\tan \left ( \frac{\pi }{4}-x \right )\tan \left ( \frac{\pi }{4}+x \right )}.\; \; (1)\)
Điều kiện:
\(\left\{\begin{matrix} \tan \left ( \frac{\pi }{4}-x \right )\tan \left ( \frac{\pi }{4}+x \right )\neq 0\\ \cos \left ( \frac{\pi }{4}-x \right )\cos \left ( \frac{\pi}{4}+x \right )\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac{\pi}{4}-x\neq k\pi\\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\frac{\pi}{4}+x\neq k\pi \\\frac{1}{2}(\cos 2x+\cos\frac{\pi}{2})\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi}{4}-k\pi\\x\neq-\frac{\pi}{4}+k\pi \\ x\neq\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\neq\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)
\(\tan\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )\tan\left ( \frac{\pi}{4}+x \right )=\frac{\sin\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )\sin\left ( \frac{\pi}{4}+x \right )}{\cos\left ( \frac{\pi}{4}-x \right )\cos\left ( \frac{\pi}{4}+x \right )}=\frac{\frac{1}{2}(\cos2x-\cos\frac{\pi}{2})}{\frac{1}{2}(\cos2x+\cos\frac{\pi}{2})}=1\)
\((1)\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin2x=\sin x-\cos3x+2\cos2x\cos x\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin 2x=\sin x-\cos 3x+\cos x+\cos 3x\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin2x=\sqrt{2}\sin\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )\)
\(\Leftrightarrow \sin2x=\sin\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} 2x=x+\frac{\pi}{4}+k2\pi\\2x=\pi-(x+\frac{\pi}{4})+k2\pi \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{4}+k\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\)
Kết hợp với điều kiện đã cho có nghiệm là:
\(x=\frac{11\pi}{12}+k2\pi,x=-\frac{5\pi}{12}+k2\pi(k\in Z)\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *