Sau khi đã làm quen với cách giải phương trình bậc nhất và bậc hai, thì bài này sẽ giới thiệu cho chúng ta về cách giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn.
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax +by = c, trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.
Ví dụ: Phương trình 3x - 2y = 6
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\
{a_2}x + {b_2}y = {c_2}
\end{array} \right.\,\,(a_1^2 + b_1^2 \ne 0,\,\,a_2^2 + b_2^2 \ne 0)\)
Tính các định thức: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{b_1}}\\{{c_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\), \({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right|\).
Xét định thức | Kết quả | |
\(D \ne 0\) | Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}} \right)\) | |
D=0 | \(D_x \ne 0\) hoặc \(D_y \ne 0\) | Hệ vô nghiệm |
\(D_x=D_y\) | Hệ có vô số nghiệm |
Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, dùng định thức.
Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 4y = 3\\7x - 9y = 8\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x - 4y = 8\end{array} \right.\)
a) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 4}\\7&{ - 9}\end{array}} \right| = - 17\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\8&{ - 9}\end{array}} \right| = 5,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\7&8\end{array}} \right| = 19\)
Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( { - \frac{5}{{17}}; - \frac{{19}}{{17}}} \right)\)
b) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\5&{ - 4}\end{array}} \right| = - 13\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\\8&{ - 4}\end{array}} \right| = - 52,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{11}\\5&8\end{array}} \right| = - 39\)
Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {4;3} \right)\)
Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)y - 5) = xy\\(x - 2)(y + 5) = xy\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - y} \right| = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3(x + y)}}{{x - y}} = - 7\\\frac{{5x - y}}{{y - x}} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)
a) Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}xy - 5x + 3y - 15 = xy\\xy + 5x - 2y - 10 = xy\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5x + 3y = 15}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\\{y = 25}\end{array}} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {12;25} \right)\)
b) Hệ phương trình tương đương với\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \pm \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) (1) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) (2)
Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 + 2\sqrt 2 } \right)\)
c) ĐKXĐ: \(x \ne y\)
Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}3(x + y) = - 7\left( {x - y} \right)\\3\left( {5x - y} \right) = 5\left( {y - x} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x - 4y = 0}\\{20x - 8y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) (không thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Phương pháp giải:
Sử dụng định thức: Tính \(D,\,{D_x},\,{D_y}\)
\( \bullet \) Nếu \(D \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)
\( \bullet \) Nếu \(D = 0\) thì ta xét \({D_x},\,{D_y}\)
Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{D_x} \ne 0}\\{{D_y} \ne 0}\end{array}} \right.\) khi đó phương trình vô nghiệm
Với \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trình là tập nghiệm của một trong hai phương trình có trong hệ.
Giải và biện luận hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right.\)
Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\4&{ - m}\end{array}} \right| = 4 - {m^2} = \left( {2 - m} \right)\left( {2 + m} \right)\)
\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ - 1}\\{m + 6}&{ - m}\end{array}} \right| = - 2{m^2} + m + 6 = \left( {2 - m} \right)\left( {2m + 3} \right)\)
\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\4&{m + 6}\end{array}} \right| = {m^2} - 2m = m\left( {m - 2} \right)\)
+ Khi \(m = 2\) ta có \({\rm{D}} = {D_x} = {D_y} = 0\) nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình \(2x - y = 4 \Leftrightarrow y = 2x - 4\). Do đó hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\).
+ Khi \(m = - 2\) ta có \(D = 0,\,{D_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm
Kết luận
\(m \ne 2\) và \(m \ne - 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; - \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)
\(m = 2\)hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\).
\(m = - 2\) hệ phương trình vô nghiệm
Trong phạm vi bài học DapAnHay giới thiệu đến các em cách giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 3 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = \frac{5}{8}\\\frac{1}{{x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = \frac{3}{8}\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2\left| {x - 6} \right| + 3\left| {y + 1} \right| = 5\\5\left| {x - 6} \right| - 4\left| {y + 1} \right| = 1\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Tìm m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(m + 1)x + 8y = 4m\\mx + (m + 3)y = 3m - 1\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 3 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 68 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 68 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 68 SGK Đại số 10
Bài tập 4 trang 68 SGK Đại số 10
Bài tập 5 trang 68 SGK Đại số 10
Bài tập 6 trang 68 SGK Đại số 10
Bài tập 7 trang 68 SGK Đại số 10
Bài tập 3.26 trang 73 SBT Toán 10
Bài tập 3.27 trang 73 SBT Toán 10
Bài tập 3.28 trang 74 SBT Toán 10
Bài tập 3.29 trang 74 SBT Toán 10
Bài tập 3.30 trang 74 SBT Toán 10
Bài tập 3.31 trang 74 SBT Toán 10
Bài tập 3.32 trang 74 SBT Toán 10
Bài tập 3.33 trang 75 SBT Toán 10
Bài tập 3.34 trang 75 SBT Toán 10
Bài tập 3.35 trang 75 SBT Toán 10
Bài tập 3.36 trang 75 SBT Toán 10
Bài tập 3.37 trang 75 SBT Toán 10
Bài tập 3.38 trang 76 SBT Toán 10
Bài tập 22 trang 84 SGK Toán 10 NC
Bài tập 23 trang 84 SBT Toán 10 NC
Bài tập 24 trang 84 SGK Toán 10 NC
Bài tập 25 trang 85 SGK Toán 10 NC
Bài tập 26 trang 85 SGK Toán 10 NC
Bài tập 27 trang 85 SGK Toán 10 NC
Bài tập 28 trang 85 SGK Toán 10 NC
Bài tập 29 trang 85 SGK Toán 10 NC
Bài tập 33 trang 94 SGK Toán 10 NC
Bài tập 34 trang 94 SGK Toán 10 NC
Bài tập 35 trang 94 SGK Toán 10 NC
Bài tập 36 trang 96 SGK Toán 10 NC
Bài tập 37 trang 97 SGK Toán 10 NC
Bài tập 38 trang 97 SGK Toán 10 NC
Bài tập 39 trang 97 SGK Toán 10 NC
Bài tập 40 trang 97 SGK Toán 10 NC
Bài tập 41 trang 97 SGK Toán 10 NC
Bài tập 42 trang 97 SGK Toán 10 NC
Bài tập 43 trang 97 SGK Toán 10 NC
Bài tập 44 trang 97 SGK Toán 10 NC
Bài tập 45 trang 100 SGK Toán 10 NC
Bài tập 46 trang 100 SGK Toán 10 NC
Bài tập 47 trang 100 SGK Toán 10 NC
Bài tập 48 trang 100 SGK Toán 10 NC
Bài tập 49 trang 100 SGK Toán 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = \frac{5}{8}\\\frac{1}{{x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = \frac{3}{8}\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2\left| {x - 6} \right| + 3\left| {y + 1} \right| = 5\\5\left| {x - 6} \right| - 4\left| {y + 1} \right| = 1\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Tìm m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(m + 1)x + 8y = 4m\\mx + (m + 3)y = 3m - 1\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất?
Tìm m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 4x + my = m + 1\\\left( {m + 6} \right)x + 2y = m + 3\end{array} \right.\) có vô số nghiệm:
Tùy theo giá trị của \(m\), hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P\left( {x;y} \right) = {\left( {mx + 2y - 2m} \right)^2} + {\left( {x + y - 3} \right)^2}\)
Hệ phương trình nào sau đây có vô số nghiệm?
Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm là (1;1)?
Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm là (1;1;-1)?
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - y + z = - 1\\
2x + y + 3z = 4\\
- x + 5y + z = 9
\end{array} \right.\0 có nghiệm là:
Tìm độ dài hai cạnh của một tam giác vuông, biết rằng: Khi ta tăng mỗi cạnh 2cm thì diện tích tăng 17 cm2; khi ta giảm chiều dài cạnh này 3cm và cạnh kia 1cm thì diện tích giảm 11cm2. Đáp án đúng là:
Giải các hệ phương trình
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
x - y = 2\\
{x^2} + {y^2} = 164
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 5xy + {y^2} = 7\\
2x + y = 1
\end{array} \right.\)
Giải các hệ phương trình
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\
xy + x + y = 5
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - x + y = 2\\
xy + x - y = - 1
\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x = 2y\\
{y^2} - 3y = 2x
\end{array} \right.\)
Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = S\\
xy = P
\end{array} \right.\)
(S và P là hai số cho trước)
Giải các hệ phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 208\\
xy = 96
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = 55\\
xy = 24
\end{array} \right.\)
Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :
a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; - 4)
b) f(2) = 6
c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *