DapAnHay mời các em học sinh tham khảo bài Tích của một số với một vectơ bên dưới đây, thông qua bài giảng này các em dễ dàng hệ thống lại toàn bộ kiến thức đã học, bên cạnh đó các em còn nắm được phương pháp giải các bài tập và vận dụng vào giải các bài tập tương tự. Chúc các em có một tiết học thật hay và thật vui khi đến lớp!
+) Tích của một số thực \(k\) với một vecto \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vecto, kí kiệu là \(k\overrightarrow a .\) +) Vecto \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\) |
---|
+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) và \(k\;\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
Ví dụ: Cho B là trung điểm của đoạn thảng AC. Tìm số k trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow {CA} = k\overrightarrow {CB} \)
b) \(\overrightarrow {CA} = k\overrightarrow {AB} \)
Giải
Ta có: \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) là hai vectơ cùng phương và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {CB} } \right|\)
Suy ra \(\overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow {CB} \). Vậy k = 2
b) Ta có: \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} \) là hai vectơ ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AB} } \right|{\rm{ }}\)
Suy ra: \(\overrightarrow {CA} = - 2\overrightarrow {AB} \). Vậy k = -2
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực \(k,t\) ta luôn có:
\(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a = k\overrightarrow a + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a = - \,\overrightarrow a \end{array}\)
Ví dụ: Thực hiện các phép toán vecto sau:
\(\begin{array}{l}
a)5\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\\
b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a \\
c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right)\\
d)\overrightarrow c - 2\overrightarrow c
\end{array}\)
Giải
\(\begin{array}{l}
a)5\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right) = 5\overrightarrow u + 5\overrightarrow v \\
b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a = x\overrightarrow a + 2\overrightarrow a \\
c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right) = \left( { - 3.4} \right)\overrightarrow e = - 12\overrightarrow e \\
d)\overrightarrow c - 2\overrightarrow c = \left( {1 - 2} \right)\overrightarrow c = \left( { - 1} \right)\overrightarrow c = - \overrightarrow c
\end{array}\)
- Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với điểm M bất kì.
- Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MG} \) với điểm M bất kì.
* Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng.
- Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (\(\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \)) cùng phương là có một số thực k để \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \).
- Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \).
Ví dụ: Cho tam giác OAB. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho \(AM = \frac{2}{3}AB\). Kẻ MH // OB, MK // OA (Hình sau).
Giả sử \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \).
a) Biểu thị \(\overrightarrow {OH}\) theo \(\overrightarrow {a}\) và \(\overrightarrow {OK}\) theo \(\overrightarrow {b}\).
b) Biểu thị \(\overrightarrow {OM}\) theo \(\overrightarrow {a}\) và \(\overrightarrow {b}\).
Giải
a) Ta có: MH // OB, MK // OA suy ra
\(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3},\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)
Vì \(\overrightarrow {OH}\) và \(\overrightarrow {OA}\) cùng hướng và \(OH = \frac{1}{3}OA\) nên
\(\overrightarrow {OH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} = \frac{1}{3}\overrightarrow a \)
Vì \(\overrightarrow {OK}\) và \(\overrightarrow {OB}\) cùng hướng và \(OK = \frac{2}{3}OB\) nên
\(\overrightarrow {OK} = \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} = \frac{2}{3}\overrightarrow b \)
b) Vì tứ giác OHMK là hình bình hành nên
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{3}\overrightarrow b \).
Câu 1: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh \(3\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} \)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(3\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = 3\overrightarrow {AB} + 3.\left( {2\overrightarrow {BC} } \right) - \left[ {2\overrightarrow {AB} + 2.\left( {3\overrightarrow {BC} } \right)} \right]\)
\( = 3\overrightarrow {AB} + 6.\overrightarrow {BC} - \left( {2\overrightarrow {AB} + 6.\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = 3\overrightarrow {AB} + 6.\overrightarrow {BC} - 2\overrightarrow {AB} - 6.\overrightarrow {BC} \)
\( = \left( {3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {6.\overrightarrow {BC} - 6.\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\)
Câu 2: Ở hình sau, tìm k trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow {AC} = k.\overrightarrow {AD} \)
b) \(\overrightarrow {BD} = k.\overrightarrow {DC} \)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \)là hai vecto cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \frac{3}{4}\left| {\overrightarrow {AD} } \right|\)
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} .\) Vậy \(k = \frac{3}{4}.\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {DC} \)là hai vecto ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {DC} } \right|\)
Suy ra \(\overrightarrow {BD} = - 3\overrightarrow {DC} .\) Vậy \(k = - 3.\)
Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:
- Nêu được định nghĩa và tính chất của tích vectơ với một số.
- Nêu được tính chất trung điểm của đoạn thẳng và tính chất trọng tâm của tam giác.
- Xác định được vectơ khi cho trước số thực k và vectơ .
- Vận dụng được tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác để giải bài toán đơn giản.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho \(\Delta \)ABC . Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho \(2 C I=3 B I\) và J là điểm trên tia đối của BC sao cho \(5 J B=2 J C\). Tính \(\overrightarrow{A I}, \overrightarrow{A J}\) theo \(\vec{a}=\overrightarrow{A B}, \vec{b}=\overrightarrow{A C}\).
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho \(A M=\frac{1}{3} A B, C N=\frac{1}{2} C D\) . Gọi G là trọng tâm của \(\Delta B M N\). Hãy phân tích \(\overrightarrow{A G}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}\).
Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để \(I J / / A E\) ?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 5để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 88 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 2 trang 88 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 1 trang 89 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 2 trang 89 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 3 trang 90 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 4 trang 90 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 3 trang 90 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 5 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 6 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 4 trang 91 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 1 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 2 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 3 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 4 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 5 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 6 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 7 trang 92 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Cho \(\Delta \)ABC . Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho \(2 C I=3 B I\) và J là điểm trên tia đối của BC sao cho \(5 J B=2 J C\). Tính \(\overrightarrow{A I}, \overrightarrow{A J}\) theo \(\vec{a}=\overrightarrow{A B}, \vec{b}=\overrightarrow{A C}\).
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho \(A M=\frac{1}{3} A B, C N=\frac{1}{2} C D\) . Gọi G là trọng tâm của \(\Delta B M N\). Hãy phân tích \(\overrightarrow{A G}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}\).
Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để \(I J / / A E\) ?
Cho \(\Delta A B C\). Lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow{M B}=3 \overrightarrow{M C}, \overrightarrow{N A}+3 \overrightarrow{N C}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{0}\). Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng
Cho hình bình hành ABCD có E, N lần lượt là trung điểm của BC, AE. Tìm các số p và q sao cho \(\overrightarrow{D N}=p \overrightarrow{A B}+q \overrightarrow{A C}\)
Cho \(\Delta \)ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Phân tích \(\overrightarrow{A B}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{B N} \text { và } \overrightarrow{C P}\)
Ba trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC đồng quy tại G . Hỏi vectơ \(\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{C P}\) bằng vectơ nào?
Cho tam giác ABC .M và N là hai điểm xác định thỏa mãn: \(\overrightarrow{M A}+3 \overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0} \text { và } \overrightarrow{N A}+2 \overrightarrow{N B}+3 \overrightarrow{N C}=\overrightarrow{0}\). Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, B thẳng hàng?
Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bằng 2a và \(\widehat{A B C}=45^{\circ}\). Tính \(|\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A C}|\)
Cho tam giác \(\Delta ABC\) vuông tại A có AB= 3 cm , BC=5 cm. Khi đó độ dài \(|\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}|\) là:
Gọi B là trung điểm của AC.
Chứng tỏ rằng \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} \).
Quan sát vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \), nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ 2\(\overrightarrow {AB} \) với \(\overrightarrow {AB} \).
Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G.
Tìm các số a, b biết: \(\overrightarrow {AG} = a.\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {GN} = b.\overrightarrow {GB} \)
Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh \(3\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} \)
Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MA\;} + \;\overrightarrow {MB\;} = \;\overrightarrow {2MI} \;\)
Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} .\)
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) khác \(\overrightarrow 0\) sao cho \(\vec a = k\vec b\) với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\).
Cho ba điểm phân biệt A, B, C.
a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương hay không?
b) Ngược lại, nếu hai vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?
Ở hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow {AC} = k.\overrightarrow {AD} \)
b) \(\overrightarrow {BD} = k.\overrightarrow {DC} \)
Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. \(\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {PQ} \)
B. \(\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NP} \)
C. \(\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {PQ} \)
D. \(\overrightarrow {MQ} = - 2\overrightarrow {NP} \)
Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.
a) Xác định điểm C thỏa mãn \(\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)
b) Xác định điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)
Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
a) \(\overrightarrow {AP} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AN} \)
b) \(\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BA} \)
Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b .\) Biểu diễn các vecto \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} \) theo \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b .\)
Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh:
a) \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 4\overrightarrow {EG} \)
b) \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \)
c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và \(\overrightarrow {AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE} \)
Cho ABCD là hình bình hành. Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b .\) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vecto \(\overrightarrow {AG} ,\overrightarrow {CG} \) theo hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b .\)
Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn
\(\overrightarrow {DB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\;\overrightarrow {AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ,\;\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} .\)
a) Biểu thị mỗi vecto \(\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DH} ,\overrightarrow {HE} \) theo hai vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} .\)
b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}\) \(=( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})+ \overrightarrow{AC}\)
\( = \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AC} \)\(=2\overrightarrow{AC}.\)
Câu trả lời của bạn
Vectơ đối của các vectơ \(k\overrightarrow a \) là vectơ -\(k\overrightarrow a \)
Vectơ đối của các vectơ \(3\overrightarrow a - 4\overrightarrow b \) là vectơ -(\(3\overrightarrow a - 4\overrightarrow b \)) hay \( - 3\overrightarrow a + 4\overrightarrow b \).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\overrightarrow a + \overrightarrow a = 2\overrightarrow a \)
Độ dài của vecto \(\overrightarrow a + \overrightarrow a\) bằng 2 lần độ dài của vecto \(\overrightarrow a\)
Hướng của vecto \(\overrightarrow a + \overrightarrow a\) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a\) (vì 2 > 0).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *