Để học tốt bài Giải tam giác, DapAnHay xin mời các em học sinh cùng tham khảo bài giảng dưới đây bao gồm các kiến thức được trình bày cụ thể và chi tiết, cùng với các dạng bài tập minh họa giúp các em dễ dàng nắm vững được trọng tâm bài học. Chúc các em có một buổi học vui vẻ!
Một tam giác hoàn toàn xác định nếu biết một trong những dữ kiện sau:
- Biết độ dài hai cạnh và độ lớn góc xen giữa hai cạnh đó:
- Biết độ dài ba cạnh;
- Biết độ dài một cạnh và độ lớn hai góc kể với cạnh đó.
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 6, BC = 10, CA = 14 (Hình sau). Tính số đo góc B.
Giải
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}
\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}}\\
= \frac{{{6^2} + {{10}^2} - {{14}^2}}}{{2.6.10}} = - 0,5
\end{array}\)
Do đó: \(\widehat B = {120^0}\)
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}ca.\sin B = \frac{1}{2}ab.\sin C.\) |
---|
Ta có công thức Heron để tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh của nó như sau:
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Khi đó, diện tích S của tam giác ABC là:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)
Ví dụ: Mảnh vườn hình tam giác của gia đình bạn Nam có chiểu dài các cạnh là: MN = 20m, NP = 28m, MP = 32m (hình sau). Hỏi diện tích mảnh vườn của gia đình bạn Nam là bao nhiêu mét vuông (làm tròn đến hàng phần mười)?
Giải
Ta có: \(p = \frac{{20 + 28 + 32}}{2} = 40(m)\)
Diện tích mảnh vườn là:
\(\begin{array}{l}
S = \sqrt {40\left( {40 - 20} \right)\left( {40 - 28} \right)\left( {40 - 32} \right)} \\
\approx 277,1\left( {{m^2}} \right)
\end{array}\)
Ví dụ 1: Đứng ở vị trí A trên bờ biển, bạn Minh đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí C trên đảo là 30°. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí ö cách A một khoảng 100 m và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C đã chọn là 40°.
Tính khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Giải
Xét tam giác ABC (Hình trên). ta có: \(\widehat C = {180^0} - \left( {{{30}^0} + {{40}^0}} \right) = {110^0}\).
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\)
Do đó: \(AC = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{100.\sin {{40}^0}}}{{\sin {{110}^0}}} \approx 68,4(m).\)
Xét tam giác vuông AHC, ta có: \(CH = AC.sin30^\circ \approx 68,4.0,5 \approx 34,2\left( m \right).\)
Vậy khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển khoảng 34,2 m.
Ví dụ 2: Một đường hầm được dự kiến xây dựng xuyên qua một ngọn núi. Để ước tính chiều đài của đường hàm, một kĩ sư đã thực hiện các phép đo và cho ra kết quả như Hình sau. Tính chiều đài của đường hầm tử các số liệu đã khảo sát được.
Giải
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:
\(A{B^2} = C{A^2} + C{B^2} - 2CA.CB.\cos C = 388{}^2 + {212^2} - 2.388.212.cos82,{4^0} \approx 173730\).
Suy ra: \(AB \approx \sqrt {173730} = 417\left( m \right)\)
Vậy đường hầm dài khoảng 417 m.
Câu 1: Cho tam giác ABC có AB = 12; \(\widehat B = {60^o}\); \(\widehat C = {45^o}\). Tính diện tích của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)
\( \Rightarrow AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}} = \sin {60^o}.\frac{{12}}{{\sin {{45}^o}}} = 6\sqrt 6 \)
Lại có: \(\widehat A = {180^o} - ({60^o} + {45^o}) = {75^o}\)
\( \Rightarrow \)Diện tích tam giác ABC là:
\(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.12.6\sqrt 6 .\sin {75^o} \approx 85,2\)
Vậy diện tích tam giác ABC là 85,2.
Câu 2: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) \(a = 17,4;\widehat B = {44^o}30';\widehat C = {64^o}.\)
b) \(a = 10;b = 6;c = 8.\)
Hướng dẫn giải
a) Ta cần tính góc \(\widehat A\) và hai cạnh \(b,c.\)
Ta có: \(\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {44^o}30' - {64^o} = {71^o}30'.\)
Áp dụng định lí sin, ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} = \frac{b}{{\sin {{44}^o}30'}} = \frac{c}{{\sin {{64}^o}}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \sin {44^o}30'.\frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} \approx 12,86\\c = \sin {64^o}.\frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} \approx 16,5\end{array} \right.\end{array}\)
b) Ta cần tính số đo ba góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)
Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:
\(\begin{array}{l}\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ \Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {8^2} - {{10}^2}}}{{2.6.8}} = 0;\cos B = \frac{{{{10}^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.10.8}} = \frac{4}{5}\\ \Rightarrow \widehat A = {90^o},\widehat B = {36^o}52'11,63''\\ \Rightarrow \widehat C = {53^o}7'48,37''\end{array}\)
Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:
- Vận dụng đúng định lý cosin và hệ quả để tính các cạnh các góc chưa biết của tam giác.
- Hiểu được định lí biểu thị mối quan hệ giữa các đại lương cạnh và góc trong tam giác, từ đó sẽ tính được yếu tố còn lại khi biết yếu tố kia.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tam giác ABC có \(AB = 3,AC = 6,{\rm{\;}}\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính diện tích tam giác ABC.
Tam giác ABC có \(AC = 4,{\rm{\;}}\widehat {BAC} = 30^\circ ,{\rm{\;}}\widehat {ACB} = 75^\circ \). Tính diện tích tam giác ABC.
Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 .Diện tích của tam giác ABC bằng:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 2để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Câu hỏi khởi động trang 72 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 2 trang 73 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 3 trang 73 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 4 trang 73 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 1 trang 74 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 5 trang 74 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 2 trang 76 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 1 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 2 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 3 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 4 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 5 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 6 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 7 trang 77 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Tam giác ABC có \(AB = 3,AC = 6,{\rm{\;}}\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính diện tích tam giác ABC.
Tam giác ABC có \(AC = 4,{\rm{\;}}\widehat {BAC} = 30^\circ ,{\rm{\;}}\widehat {ACB} = 75^\circ \). Tính diện tích tam giác ABC.
Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 .Diện tích của tam giác ABC bằng:
Tam giác ABC có \(AB = 3,{\rm{\;}}AC = 6,{\rm{\;}}\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính độ dài đường cao h kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC của tam giác.
Tam giác ABC có \(AC = 4,{\rm{\;}}\widehat {ACB} = 60^\circ \). Tính độ dài đường cao h xuất phát từ đỉnh A của tam giác.
Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Gọi B’ là hình chiếu vuông góc của B trên cạnh AC. Tính BB’.
Tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 18cm và có diện tích bằng \(64c{m^2}\). Giá trị sinA bằng:
Hình bình hành ABCD có \(AB = a,{\rm{\;}}BC = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {BAD} = {45^0}\). Khi đó hình bình hành có diện tích bằng:
Tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 30cm. Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau tại G. Diện tích tam giác GFC bằng:
Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S. Nếu tăng cạnh BC lên 2 lần đồng thời tăng cạnh AC lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì khi đó diện tích của tam giác mới được tạo nên bằng:
Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để đo khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,...) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau:
Từ vị trí A, đo góc nghiêng \(\alpha\) so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng \(\beta\) so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18).
Bằng cách giải tam giác ABC,họ tính được khoảng cách AC.
Giải tam giác được hiểu như thế nào?
Cho tam giác ABC có \(AB = c, AC = b, \widehat A = \alpha \). Viết công thức tính BC theo \(b,c,\alpha \)
Cho tam giác ABC có \(AB = c, Ac = b, BC = a\). Viết công thức tính cos A.
Viết công thức định lí sin cho tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ đường cao BH.
a) Tính BH theo c và sin A.
b) Tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, và sin A.
Cho tam giác ABC có AB = 12; \(\widehat B = {60^o}\); \(\widehat C = {45^o}\). Tính diện tích của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).
a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:
\(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) ở đó \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)
b) Bằng cách sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\),hãy chứng tỏ rằng: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)
Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là \({34^o}\), góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là \({24^o}\). Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Cho tam giác ABC có \(BC = 12,CA = 15,\widehat C = {120^o}.\) Tính:
a) Độ dài cạnh AB.
b) Số đo các góc A, B.
c) Diện tích tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có \(AB = 5,BC = 7,\widehat A = {120^o}.\) Tính độ dài cạnh AC.
Cho tam giác ABC có \(AB = 100,\widehat B = {100^o},\widehat C = {45^o}.\) Tính:
a) Độ dài các cạnh AC, BC
b) Diện tích tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có \(AB = 12,AC = 15,BC = 20.\) Tính:
a) Số đo các góc A, B, C.
b) Diện tích tam giác ABC.
Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:
Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà ta không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và \(\widehat {ACB} = {105^o}\) (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười đơn vị mét).
Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là \({45^o}\) và \({75^o}\). Biết khoảng cách giữa hai vị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\widehat{A} = 180^0- (\widehat{B}+ \widehat{C}) = 40^0\)
\(\dfrac{a}{{\sin A}} = 2R\) \( \Leftrightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin A}} = \dfrac{{137,5}}{{2\sin {{40}^0}}} \approx 106,96\)
Áp dụng định lí \(\sin\):
\(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}\), ta có:
\(b =\dfrac{a \sin B}{\sin A}= \dfrac{137,5.\sin83^{0}}{\sin40^0} ≈ 212,31cm.\)
\(c =\dfrac{a \sin C}{\sin A}= \dfrac{137,5.\sin57^{0}}{\sin40^0} ≈ 179,40cm.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(a > c > b \Rightarrow \widehat{A} \) là góc lớn nhất của tam giác \(ABC.\)
\(\cos \widehat{A} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \) \(= \frac{13^{2} +37^{2}-40^{2}}{2.13.37}\) = \(\frac{-31}{481}\)
Suy ra \(\widehat{A}= 93^042’.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(c > b > a \Rightarrow \widehat{C} \) là góc lớn nhất của tam giác \(ABC.\)
\(\cos \widehat{C} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\) \(= \frac{3^2+4^2 -6^2}{2.3.4}= \frac{-11}{24}≈ -0,4583\)
Suy ra \(\widehat{C}= 117^017’.\)
Câu trả lời của bạn
Chu vi tam giác: \(2p = 7 + 9 + 12 \Rightarrow p = 14\)
\(p - a = 14 - 7 = 7\)
\(p - b = 14 - 9 = 5\)
\(p - c = 14 - 12 = 2\)
Áp dụng công thức Hêrong:
\(S = \sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}\) \(= \sqrt{14.7.5.2} = 14\sqrt 5\)\(\approx 31,3\) (dvdt)
Cách trình bày khác:
Các em có thể trình bày ngắn gọn như sau:
\(S = \sqrt {14\left( {14 - 7} \right)\left( {14 - 9} \right)\left( {14 - 12} \right)} \) \(= \sqrt {980} \approx 31,3\)
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\cr &= {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos{120^0} \cr&= 64 + 25 + 40 = 129 \cr
& \Rightarrow a = \sqrt {129} \approx 11,36cm \cr} \)
Theo định lí sin :
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \) \(\Rightarrow \sin B = \frac{{b\sin A}}{a} \approx \frac{{8\sin {{120}^0}}}{{11,36}} \approx 0,61 \) \(\Rightarrow B \approx {37^0}35'\)
\(A+B+C=180^0\) (Tổng ba góc trong một tam giác)
\(\Rightarrow \widehat{C}=180^0- (\widehat{A} + \widehat{B})\)\(=180^0-(120^0+37^0 35')\)
\(\Rightarrow\widehat{C}= 22^0 25’.\)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng định lí cosin: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA.\)
Ta suy ra \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)
\(= \dfrac{85^{2}+54^{2}-(52,1)^{2}}{2.85.54}\)
\(\Rightarrow \cos A ≈ 0,809 \Rightarrow \widehat{A}≈ 36^0\)
\(\begin{array}{l}
{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\
\Rightarrow \cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}\\
= \frac{{{{54}^2} + 52,{1^2} - {{85}^2}}}{{2.54.52,1}} \approx - 0,2834
\end{array}\)
\(\Rightarrow \widehat{B}≈ 106^0 28’\) ;
\(\widehat{C} = {180^0} - \left( {A + B} \right) \) \(\approx {180^0} - \left( {{{36}^0} + {{106}^0}28'} \right)≈ 37^032’\).
Câu trả lời của bạn
+ Ĉ + B̂ = 90º ⇒ Ĉ = 90º - B̂ = 90º – 58º = 32º
+ b = a.sinB = 72 . sin 58º ≈ 61,06 cm
+ c = a . cos B = 72 . cos 58º ≈ 38,15cm
+ ha = c . sin B = 38,15 . sin 58º = 32,36 cm.
Câu trả lời của bạn
\(S = {1 \over 2}a.{h_a} = {1 \over 2}b.{h_b} = {1 \over 2}c.{h_c}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *