Để giúp các em học tập hiệu quả môn Toán 10 Cánh Diều, đội ngũ DapAnHay đã biên soạn và tổng hợp nội dung bài Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng. Bài giảng gồm kiến thức cần nhớ và các bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết, giúp các em học tập và củng cố thật tốt kiến thức. Mời các em cùng tham khảo.
Hàm số bậc hai là hàm số cho bằng công thức dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0.\) Tập xác định: \(\mathbb{R}\). |
---|
Ví dụ: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định a, b, c lần lượt là hệ số của x2, hệ số của x và hệ số tự do.
a) y = 8x2 - 6x + 1;
b) y = 2x + 2021.
Giải
a) Hàm số y = 8x2 - 6x + 1 là hàm số bậc hai có hệ số của x2 bằng 8, hệ số của x bằng - 6, hệ số tự do bằng 1.
b) Hàm số y = 2x + 2021 không phải là hàm số bậc hai.
* Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) là một parabol (P): - Đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) - Trục đối xứng: đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}}\) - Bề lõm: quay lên trên nếu \(a > 0\), quay xuống dưới nếu \(a < 0\) - Cắt Oy tại điểm \((0;c)\) |
---|
* Chú ý: Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.
+) Vẽ đồ thị
1) Xác định đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)
2) Vẽ trục đối xứng d: \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).
Xác định \(B\left( {\frac{{ - b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)
4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.
+) Bảng biến thiên
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = x2 - 2x - 3.
Giải
Ta có: a = 1, b = -2, c = - 3, \(\Delta \) =(- 2)2 - 4.1.(-3) = l6.
- Toạ độ đỉnh I(1 ; - 4).
- Trục đối xứng x = 1.
- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0 ; - 3).
- Giao điểm của parabol với trục hoành là B( -1; 0) và C(3 ; 0).
- Điểm đối xứng với điểm A(0 ; - 3) qua trục đối xứng x = 1 là D(2; - 3).
Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y = x2 - 2x - 3 như Hình sau.
+) Tầm bay cao và tầm bay xa
Chọn điểm \((0;{y_0})\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời mặt vợt là:
\(y = \frac{{ - g.{x^2}}}{{2.{v_0}^2.{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha .x + {y_0}\)
Trong đó:
\(g\) là giá tốc trọng trường ( \( \approx 9,8\;m/{s^2}\))
\(\alpha \) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất)
\({v_0}\) là vận tốc ban đầu của cầu
\({y_0}\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất
Quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.
- Vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;
- Khoảng cách từ nơi đứng phát cầu đến điểm cham đất, gọi là tầm bay xa.
+) Bài toán ứng dụng
Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biến phía sân đối phương thì lần phát cầu được xem là hợp lệ.
Câu 1: Cho hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 3\).
a) Tìm tọa độ 5 điểm thuộc đồ thị hàm số trên có hoành độ lần lượt là \( - 1,0,1,2,3\) rồi vẽ chúng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm trên. Đường cong đó cũng là đường parabol và là đồ thị của hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 3\) (Hình 12).
c) Cho biết tọa độ của điểm cao nhất và phương trình trục đối xứng của parabol đó. Đồ thị hàm số đó quay bề lõm lên trên hay xuống dưới?
Hướng dẫn giải
a) x=-1 => y=0
x=0 => y=3
x=1=> y= 4
x=2 => y=3
x=3 => y=0
lần lượt là: A(-1;0), B(0;3), I(1;4), C(2;3), D(3;0)
b) Vẽ đồ thị:
c) Điểm cao nhất là điểm I(1;4)
Phương trình trục đối xứng là đường thẳng x=1.
Đồ thị hàm số đó quay bề lõm xuống dưới.
Câu 2: Vẽ đồ thị mỗi hàm số bậc hai sau:
a) \(y = {x^2} - 4x - 3\)
b) \(y = {x^2} + 2x + 1\)
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {2; - 7} \right)\)
Trục đối xứng là x=2
Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-3)
Điểm đối xứng với điểm (0;-3) qua trục đối xứng x=2 là (4;-3)
Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:
b) Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( { - 1;0} \right)\)
Trục đối xứng là x=-1
Giao điểm của parabol với trục tung là (0;1)
Giao điểm của parabol với trục hoành là (-1;0)
Điểm đối xứng với điểm (0;1) qua trục đối xứng x=-1 là (-2;1)
Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:
Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:
- Biết các dạng của hàm số bậc hai ,cách vẽ hàm số bậc hai
- Biết nhận diện hàm số bậc hai.
- Biết vẽ đồ thị hàm số bậc hai một cách thành thạo.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 3 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?
Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án dưới đây?
Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án dưới đây?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 3 Bài 2để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Câu hỏi khởi động trang 39 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 1 trang 39 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 1 trang 39 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 2 trang 39 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 3 trang 40 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 2 trang 41 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 4 trang 41 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 3 trang 42 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 4 trang 43 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 1 trang 43 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 2 trang 43 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 3 trang 43 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 4 trang 43 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 5 trang 43 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 6 trang 43 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?
Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án dưới đây?
Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án dưới đây?
Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án dưới đây?
Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án dưới đây?
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình sau. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình sau. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình sau. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). Xét dấu hệ số a và biệt thức Δ khi (P) hoàn toàn nằm phía trên trục hoành.
Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?
Cầu cảng Sydney là một trong những hình ảnh biểu tượng của thành phố Sydney và nước Australia. Độ cao y(m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney có thể biểu thị theo độ dài x(m) tính từ chân cầu bên trái dọc theo đường nối với chân cầu bên phải như sau (Hình 10):
\(y = - 0,00188{\left( {x - 251,5} \right)^2} + 118\)
Hàm số \(y = - 0,00188{\left( {x - 251,5} \right)^2} + 118\) có gì đặc biệt?
Cho hàm số \(y = - 0,00188{\left( {x - 251,5} \right)^2} + 118\).
a) Viết công thức xác định hàm số trên về dạng đa thức theo lũy thừa với số mũ giảm dần của x.
b) Bậc của đa thức trên bằng bao nhiêu?
c) Xác định hệ số của \({x^2}\), hệ số của x và hệ số tự do.
Cho hai ví dụ về hàm số bậc hai.
Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x - 3\).
a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:
b) Vẽ các điểm \(A\left( { - 3;0} \right),B\left( { - 2; - 3} \right),C\left( { - 1; - 4} \right),\)\(D\left( {0; - 3} \right),E\left( {1;0} \right)\) của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x - 3\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
c) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm A, B, C, D, E. Đường cong đó là đường parabol và cũng chính là đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x - 3\) (Hình 11).
d) Cho biết tọa độ của điểm thấp nhất và phương trình trục đối xứng của parabol đó. Đồ thị hàm số đó quay bề lõm lên trên hay xuống dưới?
Cho hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 3\).
a) Tìm tọa độ 5 điểm thuộc đồ thị hàm số trên có hoành độ lần lượt là \( - 1,0,1,2,3\) rồi vẽ chúng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Vẽ đường cong đi qua 5 điểm trên. Đường cong đó cũng là đường parabol và là đồ thị của hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 3\) (Hình 12).
c) Cho biết tọa độ của điểm cao nhất và phương trình trục đối xứng của parabol đó. Đồ thị hàm số đó quay bề lõm lên trên hay xuống dưới?
Vẽ đồ thị mỗi hàm số bậc hai sau:
a) \(y = {x^2} - 4x - 3\)
b) \(y = {x^2} + 2x + 1\)
c) \(y = - {x^2} - 2\)
a) Quan sát đồ thị hàm số bậc hai \(y = {x^2} + 2x - 3\) trong Hình 11. Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số và lập bảng biến thiên của hàm số đó.
b) Quan sát đồ thị hàm số bậc hai \(y = - {x^2} + 2x + 3\) trong Hình 12. Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số và lập bảng biến thiên của hàm số đó.
Lập bảng biến thiên của mỗi hàm số sau:
a) \(y = {x^2} - 3x + 4\)
b) \(y = - 2{x^2} + 5\)
Trong bài toán ở phần mở đầu, độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định \(a,b,c\) lần lượt là hệ số của \({x^2}\), hệ số của \(x\) và hệ số tự do.
a) \(y = - 3{x^2}\)
b) \(y = 2x\left( {{x^2} - 6x + 1} \right)\)
c) \(y = 4x\left( {2x - 5} \right)\)
Xác định parabol \(y = a{x^2} + bx + 4\) trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua điểm \(M\left( {1;12} \right)\) và \(N\left( { - 3;4} \right)\)
b) Có đỉnh là \(I\left( { - 3; - 5} \right)\)
Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
a) \(y = 2{x^2} - 6x + 4\)
b) \(y = - 3{x^2} - 6x - 3\)
Cho đồ thị hàm số bậc hai ở Hình 15.
a) Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số.
b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
c) Tìm công thức xác định hàm số.
Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:
a) \(y = 5{x^2} + 4x - 1\)
b) \(y = - 2{x^2} + 8x + 6\)
Khi du lịch đến thành phố St. Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ toạ độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí có toạ độ (162;0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10;43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Ta có: a = -2; b = -4; c = 6
\(\eqalign{
{x_0} = {{ - b} \over {2a}} = {4 \over { - 4}} = - 1 \cr
\Rightarrow {y_0} = - 2{( - 1)^2} - 4( - 1) + 6 = 8 \cr} \)
Tọa độ đỉnh (P) là: \(I = (-1; 8)\)
Phương trình trục đối xứng của (P) là: \(x = -1\)
Câu trả lời của bạn
\(A(-1; 4) ∈ (P)\) và \(B(3; 4) ∈ (P)\) nên:
\(\left\{ \matrix{
a{( - 1 - m)^2} = 4 \hfill \cr
a{(3 - m)^2} = 4 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a{(m + 1)^2}=4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
a{(m - 3)^2} = 4\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\({\left( {m + 1} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 1 = m - 3\\
m + 1 = - m + 3
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0m = - 4\left( {VN} \right)\\
2m = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)
Thay m = 1 vào (1) ta được :\(a.{\left( {1 + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow 4a = 4 \Leftrightarrow a = 1\)
Vậy \(a = 1; m = 1\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y = a\left( {{x^2} - 2mx + {m^2}} \right)\) \( = a{x^2} - 2ma.x + a{m^2}\) (\(a\ne 0\))
(P) có đỉnh \(I\left( { - 3;0} \right)\) nên \( - \frac{{ - 2ma}}{{2a}} = - 3 \Leftrightarrow m = - 3\)
Khi đó \(y = a{\left( {x + 3} \right)^2}\).
(P) cắt trục tung tại M(0;-5) nên:
\( - 5 = a{\left( {0 + 3} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow - 5 = 9a \Leftrightarrow a = - \frac{5}{9}\)
Vậy \(a = - {5 \over 9} ; m = -3\)
Câu trả lời của bạn
\(y= {x^2} - 2x\)
Hệ số: \(a = 1; b = -2; c = 0\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.1.0 = 4\)
Hoành độ đỉnh \(x_1\)= \(-\frac{b}{2a} = - \frac{{ - 2}}{{2.1}}=1\)
Tung độ đỉnh: \(y_1\) = \(-\frac{\Delta }{4a}= - \frac{4}{{4.1}}=-1.\)
Đỉnh \(I(1;- 1)\).
+ Cho \(x=0\) thì \(y=0^2-2.0=0\).
Giao điểm của đồ thị với trục tung là: \(A(0; 0)\)
+ Cho \(y=0\) ta có:
\({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x - 2 = 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.\)
Các giao điểm với trục hoành là: \(A(0; 0), B(2; 0)\).
Câu trả lời của bạn
\(y = - 2{x^2} + {\rm{ }}4x - 3\)
Hệ số: \(a=-2;b=4;c=-3\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {4^2} - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right) = - 8\)
Hoành độ đỉnh \(x_1\)= \(-\frac{b}{2a} = - \frac{4}{{2.\left( { - 2} \right)}}=1\)
Tung độ đỉnh \(y_1\)=\(-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{-8}{4.(-2)}=-1.\)
Vậy đỉnh parabol là \(I(1;-1)\).
+ Cho \(x=0\) thì \(y=-2.0^2+4.0-3=-3\)
Giao điểm với trục tung \(A(0;- 3)\).
+ Cho \(y=0\) thì \(- 2x^2+ 4x - 3 = 0\)
Phương trình vô nghiệm nên không có giao điểm của parabol với trục hoành.
Câu trả lời của bạn
\(y = {x^2} - 3x + 2\).
Hệ số: \(a = 1, b = - 3, c = 2\).
\(\Delta = {b^2}-4ac = {\left( {-3} \right)^2}-4.2.1 = 1.\)
Hoành độ đỉnh \(x_1\)= \(-\frac{b}{2a}= - \frac{{ - 3}}{{2.1}}=\frac{3}{2}.\)
Tung độ đỉnh \(y_1\) = \(-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{1}{4.1}=-\frac{1}{4}.\)
Vậy đỉnh parabol là \(I(\frac{3}{2};-\frac{1}{4})\).
+ Cho \(x=0\) ta có: \(y=0^2-3.0+2=2\).
Giao điểm của parabol với trục tung là \(A(0; 2)\).
+ Hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành là nghiệm của phương trình:
\(x^2- 3x + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Vậy các giao điểm của parabol với trục hoành là \(B(1; 0)\) và \(C(2; 0)\).
Câu trả lời của bạn
Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) là một parabol:
+ Nằm phía trên trục hoành nếu \(a > 0\) và nhận điểm \(O(0;0)\) làm điểm thấp nhất.
+ Nằm phía dưới trục hoành nếu \(a < 0\) và nhận điểm \(O(0;0)\) làm điểm cao nhất
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *