Nhằm giúp các em học sinh có thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích cho môn Toán 10 Cánh Diều, DapAnHay đã biên soạn bài Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm. Bài giảng gồm chi tiết các khái niệm về về số trung bình, trung vị và tứ phân vị,... giúp các em dễ dàng nắm bắt được kiến thức trọng tâm của bài, vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập. Mời các em cùng tham khảo.
a) Định nghĩa
Số trung bình cộng của một mẫu n số liệu thống kê bằng tổng của các số liệu chia cho số các số liệu đó. Số trung bình cộng của mẫu số liệu \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) bằng \(\bar x = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}\). |
---|
Ví dụ: Kết quả 4 lần kiểm tra môn Toán của bạn Hoa là: 7 9 8 9
Tính số trung bình cộng \(\bar x\) của mẫu số liệu trên.
Giải
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
\(\bar x = \frac{{7 + 9 + 8 + 9}}{4} = \frac{{33}}{4} = 8,25\)
b) Ý nghĩa
Trong thực tiễn, để tìm hiểu một đối tượng thống kê ta đưa ra tiêu chí thống kê và tiến hành thu thập nhiễu lần số liệu thống kê theo tiêu chí đó, tạo thành mẫu số liệu. Căn cứ vào mẫu số liệu đó, ta rút ra những kết luận có ích về đối tượng thống kê. Để kết luận rút ra phản ánh đúng đắn bản chất của đối tượng, ta cần nhận biết được hình thái và xu thế thay đổi của mẫu số liệu. Với cách nhìn nhận như thế, số trung bình cộng của mẫu số liệu có ý nghĩa sau:
Khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch với số trung bình cộng, ta có thể giải quyết được vấn đề trên bằng cách lấy số trung bình cộng làm đại diện cho mẫu số liệu.
Chẳng hạn, để dự báo lượng mưa trong tháng 8 tại Hà Nội người ta tiến hành đo lượng mưa của từng ngày trong tháng 8 tại Hà Nội, ta được mẫu số liệu gồm 31 số liệu. Số trung bình cộng của mẫu số liệu đó được xem như lượng mưa trung bình tháng 8 của Hà Nội. Thống kê lượng mưa trung bình tháng 8 của Hà Nội trong nhiều năm liên tiếp sẽ cho ta những dự báo (ngày càng chính xác hơn) lượng mưa trung bình tháng 8 của Hà Nội trong những năm sắp tới.
a) Định nghĩa
Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm (hoặc không tăng). + Nếu n là lẻ thì số liệu đứng ở vị trí thứ \(\frac{{n + 1}}{2}\) (số đứng chính giữa) gọi là trung Vị. + Nếu n là chẵn thì số trung bình cộng của hai số liệu đứng ở vị trí thứ \(\frac{n}{2}\) và \(\frac{n}{2} + 1\) gọi là trung vị. Trung vị kí hiệu là \({M_e}\). |
---|
Ví dụ
a) Tính các trung vị của số sách các bạn ở Tổ 1 và số sách các bạn ở Tổ 2 đã đọc trong HĐ2.
b) Sử đụng trung vị, hãy so sánh xem các bạn ở tô nào đọc nhiều sách ở thư viện hơn.
Giải
a) Sắp xếp sô sách mỗi bạn Tô 1 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được đấy:
1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25.
Vì cỡ mẫu bằng 9 nên trung vị của Tổ 1 là số liệu thứ 5 của dãy trên, tức là \({M_e} = 2\)
Sắp xếp số sách mỗi bạn Tổ 2 đã đọc theo thứ tự không giảm. ta được đấy:
3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5
Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của Tổ 2 là trung bình cộng của sô liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là \({M_e} = \frac{1}{2}\left( {4 + 4} \right) = 4\)
b) Nếu so sánh theo trung vị thì các bạn Tổ 2 đọc nhiều sách ở thư viên hơn các bạn Tổ 1.
b) Ý nghĩa
Nếu những số liệu trong có sự chênh lệch lớn thì ta nên chọn thêm trung vị làm diện cho mẫu số liệu đó nhằm điều chỉnh một số hạn chế khi sử dụng số trung bình cộng. Những kết luận về đối tượng thống kê rút ra khi đó sẽ tin cậy hơn.
a) Định nghĩa
Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm é số liệu thành một dãy không giảm. Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là bộ ba giá trị: tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ hai và tứ phân vị thứ ba; ba giá trị này chia mẫu số liệu thành bốn phần có số lượng phản tử bằng nhau. + Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) bằng trung vị. + Nếu X là số chẵn thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên. + Nếu X là số lẻ thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới (không bao gồm \({Q_2}\)) và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên (không bao gồm \({Q_2}\)). |
---|
Ví dụ: Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, 1 mg = 0,001 g) trong 100 g một số loại ngũ cóc được cho như sau:
Hãy tìm các tứ phân vị. Các tứ phân vị này cho ta thông tin gi?
Giải
+ Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:
+ Vì n= 20 là số chẵn nên Q2 là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:
Q2 = (180 + 180) : 2 = 180.
+ Ta tìm Q1 là trung vị của nủa số liệu bên trái Q2:
Và tìm được Q1 = (130 + 140) : 2 = 135.
+ Ta tìm Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2:
và tìm được Q3 = (200 + 210) : 2 = 205
Hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu
Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bỗ của mẫu số liệu. Khoảng cách từ Q1 đến Q2 là 45 trong khi khoảng cách từ Q2 đền Q3 là 25. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên phải của Q2 và mật độ thấp ở bên trái của Q2.
b) Ý nghĩa
+ Trong thực tiễn, có những mẫu số liệu mà nhiễu số liệu trong mẫu đó vẫn còn sự chênh lệch lớn so với trung vị. Ta nên chọn thêm những số khác cùng làm đại diện cho mẫu đó. Bằng cách lấy thêm trung vị của từng dãy số liệu tách ra bởi trung vị của mẫu nói trên, ta nhận được tứ phân vị đại diện cho mẫu số liệu đó.
+ Bộ ba giá trị \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) trong tứ phân vị phản ánh độ phân tán của mẫu số liệu. Nhưng mỗi giá trị \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) lại đo xu thế trung tâm của phần số liệu tương ứng của mẫu đó.
a) Định nghĩa
Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân bố tân số và kí hiệu là \({M_0}\). |
---|
Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có một hoặc nhiều mốt.
Ví dụ: Số vụ va chạm giao thông mỗi ngày tại một ngã tư được ghi lại trong bảng tần số sau:
Tìm mốt của mẫu sô liệu trên.
Giải
Số ngày có 1 vụ va chạm là 17, lớn hơn số ngày có 0, 2, 3, 4 vụ va chạm. Do đó mẫu số liệu trên có \({M_0} = 1\).
b) Ý nghĩa
Mốt của một mẫu số liệu đặc trưng cho số lần lặp đi lặp lại nhiều nhất tại một vị trí của mẫu số liệu đó. Dựa vào mốt, ta có thể đưa ra những kết luận (có ích) về đối tượng thống kê.
Câu 1: Điểm kiểm tra môn Toán của một nhóm gồm 9 học sinh như sau:
1 1 3 6 7 8 8 9 10
Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu trên
Hướng dẫn giải
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là: \(\overline X = \frac{{1 + 1 + 3 + 6 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10}}{9} \approx 5,9\)
Câu 2: Kết quả thi thử môn Toán của lớp 10A như sau:
5 6 7 5 6 9 10 8 5 5 4 5 4 5 7 4 5 8 9 10
5 4 5 6 5 7 5 8 4 9 5 6 5 6 8 8 7 9 7 9
a) Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?
b) Tính tỉ lệ số học sinh lớp 10A đạt điểm từ 8 trở lên. Tỉ lệ đó phản ánh điều gì?
Hướng dẫn giải
a) Ta lập bảng tần số:
Điểm | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Tần số | 5 | 13 | 5 | 5 | 5 | 5 | 2 |
Từ đó ta thấy mốt của mẫu số liệu trên là: \({M_o} = 5\)
b) Tỉ lệ số học sinh lớp 10A đạt điểm từ 8 trở lên là: \(\frac{{5 + 5 + 2}}{{40}} = 0,3 = 30\% \)
Tỉ lệ này cho thấy số học sinh đạt điểm giỏi của lớp 10A là \(30\% \)
Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:
- Nhớ được công thức tính các số đặc trưng của mẫu số liệu như: số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.
- Hiểu được ý nghĩa của các số đặc trưng này .
- Biết cách tính các số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 6 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Xác định chiều cao của 100 học sinh và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Số trung vị của 100 số liệu này là:
Điều tra về chiều cao của 100 học sinh khối lớp 10, ta có kết quả sau:
Số trung bình là:
Cho bảng phân bố tần số khối lượng 30 quả trứng gà của một rổ trứng gà
Số trung bình, số trung vị và mốt của mẫu số liệu lần lượt là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 6 Bài 2để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 27 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Luyện tập 1 trang 27 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Hoạt động 2 trang 28 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Luyện tập 2 trang 29 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Hoạt động 3 trang 30 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Luyện tập 3 trang 31 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Hoạt động 4 trang 32 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Luyện tập 4 trang 32 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Giải bài 1 trang 33 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Giải bài 2 trang 34 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Giải bài 3 trang 34 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Giải bài 4 trang 34 SGK Toán 10 Cánh diều tập 2 - CD
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Xác định chiều cao của 100 học sinh và được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Số trung vị của 100 số liệu này là:
Điều tra về chiều cao của 100 học sinh khối lớp 10, ta có kết quả sau:
Số trung bình là:
Cho bảng phân bố tần số khối lượng 30 quả trứng gà của một rổ trứng gà
Số trung bình, số trung vị và mốt của mẫu số liệu lần lượt là:
Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20). Kết quả như sau:
Số trung vị là:
Điểm thi toán của 9 học sinh được liệt kê như sau:
1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10
Số trung vị của các số liệu thống kê là:
Điểm thi HKI môn Toán của tổ học sinh lớp 10C (quy ước làm tròn đến 0,5 điểm) liệt kê như sau:
2; 5; 7,5; 8; 5; 7; 6,5; 9; 4,5; 10
Điểm trung bình của 10 học sinh đó là:
Cho dãy số liệu thống kê: 21, 23, 24, 25, 22, 20, 27, 28. Số trung bình cộng của dãy số liệu thống kê đã cho là
Cho một dãy số liệu ( được sắp xếp theo thứ tự tăng dần); nếu ta đổi vị trí 2 số đứng đầu tiên và cuối cùng cho nhau thì cái gì không đổi?
Để khảo sát kết quả kì thi thử THPT môn toán của trường A; người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó. Điểm môn Toán được cho ở bảng phân bố tần số sau đây.
Tìm số trung vị?
Sản lượng lúa (đv tạ) của 40 thửa ruộng thí nghệm có cùng diện tích được trình bày trong b ảng tần số sau đây:
Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng
Kết quả đo chiều cao (đơn vị: xăng-ti-mét) của 5 bạn nam tổ I là:
165 172 172 171 170
Tính trung bình cộng của 5 số trên.
Quan sát Bảng 1 và giải thích tại sao số bàn thắng trung bình của đội tuyển bóng đá nam U22 Việt Nam trong mỗi trận đấu là 3,43.
Điểm kiểm tra môn Toán của một nhóm gồm 9 học sinh như sau:
1 1 3 6 7 8 8 9 10
Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu trên và nêu nhận xét.
Nhiệt độ buổi tối ở Hà Nội ngày 21/11/2021 lúc 20 giờ, 21 giờ, 22 giờ, 23 giờ lần lượt là 26, 25, 23, 23 (đơn vị: °C). (Nguồn: https://accuweather.com)
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.
Xét mẫu số liệu được xếp theo thứ tự tăng dần:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.
Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:
11 48 62 81 93 99 127
Biểu diễn tứ phân vị trên trục số.
Bác Tâm khai trương cửa hàng bán áo sơ mi nam. Số áo cửa hàng đã bán ra trong tháng đầu tiên được thống kê trong bảng tần số sau:
Cỡ áo | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
Tần số (Số áo bán được) | 15 | 46 | 62 | 81 | 51 | 20 | 3 |
Cỡ áo nào cửa hàng bác Tâm bán được nhiều nhất trong tháng đầu tiên?
Kết quả thi thử môn Toán của lớp 10A như sau:
5 6 7 5 6 9 10 8 5 5 4 5 4 5 7 4 5 8 9 10
5 4 5 6 5 7 5 8 4 9 5 6 5 6 8 8 7 9 7 9
a) Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?
b) Tính tỉ lệ số học sinh lớp 10A đạt điểm từ 8 trở lên. Tỉ lệ đó phản ánh điều gì?
Chiều cao (đơn vị: xăng-ti-mét) của các bạn tổ I ở lớp 10A lần lượt là:
165 155 171 167 159 175 165 160 158
Đối với mẫu số liệu trên, hãy tìm:
a) Số trung bình cộng;
b) Trung vị;
c) Mốt;
d) Tứ phân vị.
Số đôi giày bán ra trong Quý IV năm 2020 của một cửa hàng được thống kê trong bảng tần số sau:
a) Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?
b) Cửa hàng đó nên nhập về nhiều hơn cỡ giày nào để bán trong tháng tiếp theo?
Bảng 2 cho biết nhiệt độ trung bình các tháng trong năm ở Hà Nội
(Nguồn: Tập bản đồ Địa lí 6, NXB Giáo dục Việt Nam, 2020)
a) Nhiệt độ trung bình trong năm ở Hà Nội là bao nhiêu?
b) Nhiệt độ trung bình của tháng có giá trị thấp nhất là bao nhiêu độ C? Cao nhất là bao nhiêu độ C?
Bảng 3 cho biết tổng diện tích rừng từ năm 2008 đến năm 2019 ở nước ta.
a) Diện tích rừng trung bình của nước ta từ năm 2008 đến năm 2019 là bao nhiêu?
b) Từ năm 2008 đến năm 2019, diện tích rừng của năm có giá trị thấp nhất là bao nhiều triệu héc-ta? Cao nhất là bao nhiêu triệu héc-ta?
c) So với năm 2008, tỉ lệ tổng diện tích rừng của nước ta năm 2019 tăng lên được bao nhiêu phần trăm? Theo em, tỉ lệ tăng đó là cao hay thấp?
d) Hãy tìm hiểu số liệu về tổng diện tích rừng của tỉnh em đang sống trong một số năm gần đây.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
a) Dấu hiệu cần tìm hiểu, đơn vị điều tra ở đây là gì?
b) Lập bảng tần số - tần suất ghép lớp gồm 7 lớp: lớp đầu tiên là nửa khoảng [26,5-48.5), lớp tiếp theo là nửa khoảng [48,5-70,5)…(độ dài mỗi nửa khoảng là 22).
Câu trả lời của bạn
a) Dấu hiệu: Doanh thu của một cửa hàng trong một tháng
Đơn vị điều tra: Một cửa hàng
b) Sau đây là bảng phân bố tần số - tân suất ghét lớp:
Lớp | Tần số | Tần suất (%) |
[26,5; 48,5) | 2 | 4 |
[48,5; 70,5) | 8 | 16 |
[70,5; 92, 5) | 12 | 24 |
[92,5; 114,5) | 12 | 24 |
[114,5; 136,5) | 8 | 16 |
[136,5; 158,5) | 7 | 14 |
[158,5; 180;5) | 1 | 2 |
| N = 50 |
|
Hãy lập bảng tần số, tần suất ghép lớp gồm 6 lớp: lớp đầu tiên là đoạn [50; 124], lớp thứ hai là đoạn [125; 199],…(độ dài đoạn là 74).
Câu trả lời của bạn
Bảng tần số - tần suất ghép lớp
Lớp | Tần số | Tần suất (%) |
[50; 124] | 3 | 12 |
[125, 199] | 5 | 20 |
[200, 274] | 7 | 28 |
[275, 349] | 5 | 20 |
[350, 424] | 3 | 12 |
[425, 499] | 2 | 8 |
| N =25 |
|
Hãy tính năng suất lúa trung bình của vụ mùa năm \(1980\) trong toàn bộ ba hợp tác xã kể trên.
Câu trả lời của bạn
Năng suất lúa trung bình vụ mùa năm \(1980\) trong toàn bộ ba xã là:
\(\overline{x}=\frac{1}{(150+130+120)}(150\times40+130\times38\)\(+120\times36) = 38,15\) tạ/ha.
*Lưu ý: Không thể tính năng suất trung bình bằng cách:
(40 + 38 + 36)/3 = 38 (tạ/ha)
vì khi chênh lệch diện tích lớn thì số trung bình càng không chính xác.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *