Mời các em học sinh tham khảo lý thuyết bài Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai đã được DapAnHay biên soạn dưới đây, cùng với phần tổng hợp kiến thức cơ bản cần nắm, đây sẽ tài liệu hữu ích cho các em học tốt môn Toán lớp 10 sách Cánh Diều.
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\) ta làm như sau: Bước 1: Bình phương hai về của phương trình để được phương trình \(a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\) Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1 Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tim được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm |
---|
Ví dụ: Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 6x - 8} = \sqrt {{x^2} - 5x - 2} \)
Giải
Bình phương hai về của phương trình đã cho, ta được:
\(\begin{array}{l}
2{x^2} - 6x - 8 = {x^2} - 5x - 2\\
\Rightarrow {x^2} - x - 6 = 0
\end{array}\)
⇒ x = -2 hoặc x = 3.
Thay lần lượt các giả trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ cỏ x = -2 thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= -2.
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta làm như sau: Bước 1: Bình phương hai về của phương trình đề được phương trình \(a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\) Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1 Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm. |
---|
Ví dụ: Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 5x - 13} = x + 1\)
Giải
Bình phương hai về của phương trình đã cho, ta được:
\(\begin{array}{l}
3{x^2} + 5x - 13 = {\left( {x + 1} \right)^2}\\
\Rightarrow 3{x^2} + 5x - 13 = {x^2} + 2{\rm{x}} + 1\\
\Rightarrow 2{x^2} + 3{\rm{x}} - 14 = 0
\end{array}\)
\(x = - \frac{7}{2}\) hoặc x = 2.
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thây chỉ có x = 2 thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= 2.
Câu 1: Giải phương trình: \(\sqrt {3{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + x - 1} \)
Hướng dẫn giải
Bình phương hai vế ta được:
\(\begin{array}{l}3{x^2} - 4x + 1 = {x^2} + x - 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Thay lần lượt 2 giá trị \(x = 2\) và \(x = \frac{1}{2}\) vào \({x^2} + x - 1 \ge 0\) ta thấy chỉ có \(x = 2\) thỏa mãn bất phương trình.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\).
Câu 2: Giải phương trình: \(\sqrt {3x - 5} = x - 1\)
Hướng dẫn giải
\(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\(3x - 5 = {\left( {x - 1} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {2;3} \right\}\)
Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:
- Giải được phương trình quy về phương trình bậc hai, tìm 2 số khi biêt tổng và tích của chúng.
- Biết chuyển bài toán có nội dung thực tế vệ bài toán giải được bằng cách lập phương trình bậc nhất, bậc hai.
- Biết giải phương trình bậc hai có sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 3 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tập nghiệm S của phương trình \(\sqrt {2x - 3} = x - 3\) là:
Tập nghiệm S của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4} = x - 2\) là:
Phương trình \(\frac{{{x^2} - 4x - 2}}{{\sqrt {x - 2} }} = \sqrt {x - 2} \) có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 3 Bài 5để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Câu hỏi khởi động trang 56 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 1 trang 57 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 2 trang 58 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 1 trang 58 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 2 trang 59 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 3 trang 59 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 4 trang 59 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 5 trang 59 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Tập nghiệm S của phương trình \(\sqrt {2x - 3} = x - 3\) là:
Tập nghiệm S của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4} = x - 2\) là:
Phương trình \(\frac{{{x^2} - 4x - 2}}{{\sqrt {x - 2} }} = \sqrt {x - 2} \) có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Phương trình \(\sqrt {2 - x} + \frac{4}{{\sqrt {2 - x} + 3}} = 2\) có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Tập nghiệm S của phương trình \(\sqrt {2x} + x - 1 = 0\) là:
Tập nghiệm của phương trình \(\frac{{{x^2} - 5x}}{{\sqrt {x - 2} }} = - \frac{4}{{\sqrt {x - 2} }}\) là:
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x - 4} = \sqrt {4 - 3x} \) là đáp án nào trong số các đáp án sau đây?
Nghiệm của phương trình \(\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{\sqrt {x - 1} }} = \sqrt {x - 1} \) là:
Tập nghiệm của phương trình \(\frac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 1} }} = \sqrt {x + 1} \) là?
Tập nghiệm S của phương trình \(\frac{{3{x^2} - 7x + 2}}{{\sqrt {3x - 1} }} = \sqrt {3x - 1} \) là:
Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm với vận tốc trung bình như nhua là 40km/h từ hai vị trí A và B trên hai con đường vuông góc với nhau để đi về bến O là giao của hai con đường. Vị trí A cách bên 8km, vị trí B cách bên 7 km. Gọi x là thời gian hai xe bắt đầu chạy cho tới khi cách nhau 5km (Hình 31). Bạn Dương xác định được x thỏa mãn phương trình \(\sqrt {{{(8 - 40x)}^2} + {{(7 - 40x)}^2}} = 5\)
Làm thế nào để tìm được giá trị của x?
Giải phương trình: \(\sqrt {3{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + x - 1} \)
Giải phương trình: \(\sqrt {3x - 5} = x - 1\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {2x - 3}=\sqrt {2{x^2} - 3x - 1}\)
b) \(\sqrt {4{x^2} - 6x - 6} = \sqrt {{x^2} - 6} \)
c) \(\sqrt {x + 9} = 2x - 3\)
d) \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 2} = 2 - x\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {2 - x} + 2x = 3\)
b) \(\sqrt { - {x^2} + 7x - 6} + x = 4\)
Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng vào mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc \({60^0}\) (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Một người đứng ở điểm A trên một bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí D, sau đó chạy bộ đến vị trí B cách C một khoảng 800 m như Hình 34. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10 km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách từ vị trí C đến D, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút.
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 4 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 3 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5 km/h như Hình 35. Tính khoảng cách từ vị trí B đến M, biết thời gian người đó đi từ A đến C là 148 phút.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} + 4x - 5 \ge 0\\
- 4{x^2} - 4x + 5 \le 2x + 1 \le 4{x^2} + 4x - 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} + 4x - 5 \ge 0\\
- 4{x^2} - 4x + 5 \le 2x + 1\\
2x + 1 \le 4{x^2} + 4x - 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} + 4x - 5 \ge 0\\
- 4{x^2} - 6x + 4 \le 0\\
- 4{x^2} - 2x + 6 \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}\\
x \le \frac{{ - 1 - \sqrt 6 }}{2}
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{1}{2}\\
x \le - 2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le - \frac{3}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(S = (-∞, -2] ∪ [1, + ∞)\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| \le {x^2} + 6x + 5\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 6x + 5 \ge 0\\
- {x^2} - 6x - 5 \le {x^2} - 5x + 4 \le {x^2} + 6x + 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 6x + 5 \ge 0\\
- {x^2} - 6x - 5 \le {x^2} - 5x + 4\\
{x^2} - 5x + 4 \le {x^2} + 6x + 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
x \le - 5
\end{array} \right.\\
- 2{x^2} - x - 9 \le 0\left( {dung} \right)\\
- 11x - 1 \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
x \le - 5
\end{array} \right.\\
x \ge - \frac{1}{{11}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{{11}}
\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bpt là \(S = \left[ { - \frac{1}{{11}}; + \infty } \right)\).
Câu trả lời của bạn
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 5x - 14} - x + 3 \ge 0 \cr&\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x - 14} \ge x - 3 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x - 3 < 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x - 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge {(x - 3)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < 3\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge 7
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
{x^2} - 5x - 14 \ge {x^2} - 6x + 9
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x \ge 23
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge 23
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(S = (-∞; -2] ∪ [23, +∞)\)
Câu trả lời của bạn
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& {1 \over {{x^2} - 7x + 5}} - {1 \over {{x^2} + 2x + 5}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2} + 2x + 5 - ({x^2} - 7x + 5)} \over {({x^2} - 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{9x} \over {({x^2} - 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr&\Leftrightarrow {x \over {{x^2} - 7x + 5}} \ge 0\cr &(do\,{x^2} + 2x + 5 =(x+1)^2+4> 0,\forall x) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 \le x < {{7 - \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr
x > {{7 + \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}}0,\,{{7 - \sqrt {29} } \over 2}) \cup ({{7 + \sqrt {29} } \over 2}, + \infty )\)
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
+) Với \(2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x ≥ -\dfrac{5}{2}\) ta có \(\left| {2x + 5} \right| = 2x + 5\)
PT trở thành
\(\eqalign{
2x + 5{\rm{ = }}{x^2} + 5x{\rm{ + }}1 \cr
\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \cr
\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \text{ (thỏa mãn )}\hfill \cr
x = - 4\text{ (loại )} \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với \(2x + 5 < 0 \Leftrightarrow x < -\dfrac{5}{2}\) ta có \(\left| {2x + 5} \right| = -( 2x + 5) =-2x-5\)
PT trở thành
\(\eqalign{
- 2x - 5{\rm{ = }}{x^2} + 5x{\rm{ + }}1 \cr
\Leftrightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 \cr
\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 6 \text{ (thỏa mãn )}\hfill \cr
x = - 1\text{ (loại )} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1=1\) và \(x_2=-6\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3 \ne 0\\
x + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \dfrac{3}{2}\\
x \ne - 1
\end{array} \right.\)
+ Xét x > –1, khi đó x + 1 > 0 nên |x + 1| = x + 1.
Khi đó pt (3)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{2x - 3}} = \dfrac{{ - 3x + 1}}{{x + 1}}\\ \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \\= \left( { - 3x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = - 6{x^2} + 11x - 3\\ \Leftrightarrow 7{x^2} - 11x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11 + \sqrt {65} }}{{14}}\left( {TM} \right)\\x = \dfrac{{11 - \sqrt {65} }}{{14}}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+ Xét x < –1, khi đó x + 1 < 0 nên |x + 1| = –x – 1.
Khi đó pt (3)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{2x - 3}} = \dfrac{{ - 3x + 1}}{{ - x - 1}}\\ \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( { - x - 1} \right) \\= \left( { - 3x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow - {x^2} + 1 = - 6{x^2} + 11x - 3\\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 11x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11 + \sqrt {41} }}{{10}}\left( {loai} \right)\\x = \dfrac{{11 - \sqrt {41} }}{{10}}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_{1,2}} = \dfrac{{11 \pm \sqrt {65} }}{{14}}\).
Câu trả lời của bạn
Bình phương hai vế ta được:
\(\begin{array}{l}
\left| {3x - 2} \right| = 2x + 3\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3 \ge 0\\
{\left( {3x - 2} \right)^2} = {\left( {2x + 3} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x \ge - 3\\
9{x^2} - 12x + 4 = 4{x^2} + 12x + 9
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \dfrac{3}{2}\\
5{x^2} - 24x - 5 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \dfrac{3}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = - \dfrac{1}{5}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = - \frac{1}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {5; - \dfrac{1}{5}} \right\}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\displaystyle x^2= t ≥ 0\) ta được
\(\displaystyle \eqalign{
3{t^2} + 2t - 1 = 0 \cr
\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{t_1} = - 1 \text{ (loại )}\hfill \cr
{t_2} = {1 \over 3} \text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với \(\displaystyle {t_2} = {1 \over 3} \) ta được \(\displaystyle {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {x_{1,2}} = \pm {{\sqrt 3 } \over 3}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(\displaystyle {x_{1,2}} = \pm {{\sqrt 3 } \over 3}\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\displaystyle x^2= t ≥ 0\) ta được:
\(\displaystyle \eqalign{
2{t^2} - 7t + 5 = 0 \cr
\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{t_1} = 1\text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr
{t_2} = {5 \over 2} \text{ (thỏa mãn )} \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với \(\displaystyle {t_1}=1\) ta có \({x^2} = 1 \Leftrightarrow {x_{1,2}} = \pm 1\)
+) Với \(\displaystyle {t_2} = {5 \over 2}\) ta được \({x^2} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \displaystyle {x_{3,4}} = \pm {{\sqrt {10} } \over 2}\).
Vậy phương trình đã cho có \(\displaystyle 4\) nghiệm \(\displaystyle {x_{1,2}} = \pm 1\);\(\displaystyle {x_{3,4}} = \pm {{\sqrt {10} } \over 2}\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *