Sau đây mời các em học sinh lớp 10 cùng tham khảo bài Bất phương trình bậc hai một ẩn. Bài giảng đã được DapAnHay biên soạn khái quát lý thuyết cần nhớ, đồng thời có các bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp các em dễ dàng nắm được kiến thức trọng tâm của bài. Chúc các em có một buổi học thật vui vẻ
+ Bất phương trình bậc hai ân x là bất phương trình có một trong các dạng sau: \(a{x^2} + bx + c < 0;a{x^2} + bx + c \le 0;a{x^2} + bx + c > 0;a{x^2} + bx + c \ge 0\) (\(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0\)), trong đó a, b, c là các số thực đã cho, a \( \ne \) 0. + Đối với bất phương trình bậc hai có dạng \(a{x^2} + bx + c < 0\), mỗi số. xo \(\in\) R sao cho \(ax_0^2 + b{x_0} + c < 0\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó. Tập hợp các nghiệm x0 như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho. Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được đinh nghĩa tương tư. |
---|
Ví dụ: Cho bất phương trình bậc hai một ẩn \({x^2} - 4{\rm{x}} + 3 < 0(1)\). Trong các giá trị sau đây của x, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình (1)?
a) x = 2;
b) x=0;
c) x = 4.
Giải
a) Với x=2, ta có: 22 - 4.2 + 3 = - 1 <0. Vậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình (1).
b) Với x = 0, ta có: 02 - 4. 0 + 3 = 3 >0. Vậy x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).
c) Với x= 3, ta có: 32 - 4. 3 + 3 = 0. Vậy x = 3 không phải là nghiệm của bất phương trình (1).
Chú ý: Giải bất phương trình bậc hai ẩn x là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
* Giải bằng cách xét dấu tam thức bậc hai
Bước 1: Xác định dấu của a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có)
Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị x sao cho f(x) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
+ \(\Delta < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)
+ \(\Delta = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\)
+ \(\Delta < 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\)
* Giải bằng cách sử dụng đồ thị
+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c > 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía trên trục hoành.
+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c < 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía dưới trục hoành.
Ví dụ: Quan sát đồ thị ở Hình 27, Hình 28 và giải các bất phương trình bậc hai sau:
\(\begin{array}{l}
a){x^2} - 5x + 4 < 0\\
b) - {x^2} + 3x > 0
\end{array}\)
Giải
a) Quan sát đồ thị ở hình 27, ta thấy: \({x^2} - 5x + 4 < 0\) biểu diễn phần parabol \(y = {x^2} - 5x + 4\) nằm phía dưới trục hoành, tương ứng với 1 < x < 4.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 5x + 4 < 0\) là khoảng (1 ; 4).
b) Quan sát đồ thị ở hình 28, ta thấy: \( - {x^2} + 3x > 0\) biểu diễn phần parabol \(y = - {x^2} + 3x\) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với 0 < x < 3. Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 3x > 0\) là khoảng (0; 3).
Bất phương trình bậc hai một ẩn có nhiều ứng dụng, chẳng hạn: giải một số hệ bất phương trình; ứng dụng vào tính toán lợi nhuận trong kinh doanh; tính toán điểm rơi trong pháo binh; ...
Câu 1: Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(3{x^2} - 2x + 4 \le 0\)
b) \( - {x^2} + 6x - 9 \ge 0\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(a = 3 > 0\) và tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 4\) có \(\Delta ' = {1^2} - 3.4 = - 11 < 0\)
=> \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 4\) vô nghiệm.
=> \(3{x^2} - 2x + 4 > 0\forall x \in \mathbb{R}\)
b) Ta có: \(a = - 1 < 0\) và \(\Delta ' = {3^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - 9} \right) = 0\)
=> \(f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 9\) có nghiệm duy nhất \(x = 3\).
=> \( - {x^2} + 6x - 9 < 0\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Câu 2: Giải mỗi bất phương trình bậc hai sau bằng cách sử dụng đồ thị:
a) \({x^2} + 2x + 2 > 0\)
b) \( - 3{x^2} + 2x - 1 > 0\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có đồ thị:
Từ đồ thị ta thấy \({x^2} + 2x + 2 > 0\) biểu diễn phần parabol \(y = {x^2} + 2x + 2\) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} + 2x + 2 > 0\) là \(\mathbb{R}\).
b) Ta có đồ thị:
Từ đồ thị ta thấy \( - 3{x^2} + 2x - 1 > 0\) biểu diễn phần parabol \(y = - 3{x^2} + 2x - 1\) nằm phía trên trục hoành, tương ứng với \(x \in \emptyset \)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 3{x^2} + 2x - 1 > 0\) là \(\emptyset \).
Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:
- Cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn , bất phương trình tích , BPT chứa ẩn ở mẫu thức .
- Vận dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để giải BPT bậc hai , BPT tích , BPT chứa ẩn ở mẫu .
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 3 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tập nghiệm của bất phương trình: \(2{x^2}-7x-15\; \ge 0\;\) là:
Tập nghiệm của bất phương trình: \(-{x^2} + 6x + 7\; \ge 0\;\) là:
Giải bất phương trình \(- 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0.\).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 3 Bài 4để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Câu hỏi khởi động trang 49 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 1 trang 49 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 1 trang 49 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 2 trang 50 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 2 trang 50 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 3 trang 50 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 3 trang 51 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 4 trang 53 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 1 trang 54 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 2 trang 54 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 3 trang 54 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 4 trang 54 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 5 trang 54 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Tập nghiệm của bất phương trình: \(2{x^2}-7x-15\; \ge 0\;\) là:
Tập nghiệm của bất phương trình: \(-{x^2} + 6x + 7\; \ge 0\;\) là:
Giải bất phương trình \(- 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0.\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0\) là:
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 5x - 4 < 0\) là:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt 2 {x^2} - \left( {\sqrt 2 + 1} \right)x + 1 < 0\) là:
Tập nghiệm của bất phương trình \(6{x^2} + x - 1 \le 0\) là
Số thực dương lớn nhất thỏa mãn \({x^2} - x - 12 \le 0\) là ?
Bất phương trình nào sau đây có tập nghiệm là R?
Cho bất phương trình \({x^2} - 8x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình.
Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 32 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông (Hình 25). Để đảm bảo kī thuật, diện tích mặt cắt ngang của rānh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 \(cm^2\). Rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là bao nhiêu xǎng-ti-mét?
Quan sát và nêu đặc điểm của biểu thức ở vế trái của bất phương trình \(3{x^2} - 4x - 8 < 0\)
a) Cho hai ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn.
b) Cho hai ví dụ về bất phương trình mà không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn.
a) Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 2\)
b) Giải bất phương trình \({x^2} - x - 2 > 0\)
Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(3{x^2} - 2x + 4 \le 0\)
b) \( - {x^2} + 6x - 9 \ge 0\)
Cho bất phương trình \({x^2} - 4x + 3 > 0\left( 2 \right)\).
Quan sát parabol \(\left( P \right):{x^2} - 4x + 3\) ở Hình 26 và cho biết:
a) Bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm ở phía nào của trục hoành.
b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với những giá trị nào của x.
Giải mỗi bất phương trình bậc hai sau bằng cách sử dụng đồ thị:
a) \({x^2} + 2x + 2 > 0\)
b) \( - 3{x^2} + 2x - 1 > 0\)
Tổng chi phí T (đơn vị tính: nghìn đồng) để sản xuất Q sản phẩm được cho bởi biểu thức \(T = {Q^2} + 30Q + 3300\); giá bán của 1 sản phẩm là 170 nghìn đồng. Số sản phẩm được sản xuất trong khoảng nào để đảm bảo không bị lỗ (giả thiết các sản phẩm được bán hết)?
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn? Vì sao?
a) \( - 2x + 2 < 0\)
b) \(\frac{1}{2}{y^2} - \sqrt 2 \left( {y + 1} \right) \le 0\)
c) \({y^2} + {x^2} - 2x \ge 0\)
Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) trong mỗi Hình 30a, 30b, 30c, hãy viết tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau: \(f\left( x \right) > 0;f\left( x \right) < 0;\)\(f\left( x \right) \ge 0;f\left( x \right) \le 0\).
Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(2{x^2} - 5x + 3 > 0\)
b) \( - {x^2} - 2x + 8 \le 0\)
c) \(4{x^2} - 12x + 9 < 0\)
d) \( - 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0\)
Tìm m để phương trình \(2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 8 = 0\) có nghiệm.
Xét hệ toạ độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.
a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng.
b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \)\(≤ (x - 1)(x + 3) + x^2– 5\)
\( \Leftrightarrow 2x^2+ 5x – 3 – 3x + 1 \)\(≤ x^2+ 2x – 3 + x^2- 5\)
\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 2 \le 2{x^2} + 2x - 8\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 2{x^2} - 2x \le - 8 + 2\)
\( \Leftrightarrow 0x ≤ -6\) ( Vô lý).
Vậy bất phương trình vô nghiệm.
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{3x+1}{2}-\dfrac{x-2}{3}< \dfrac{1-2x}{4}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{3x+1}{2}-\dfrac{x-2}{3}-\dfrac{1-2x}{4}<0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{6\left( {3x + 1} \right)}}{{12}} - \dfrac{{4\left( {x - 2} \right)}}{{12}} - \dfrac{{3\left( {1 - 2x} \right)}}{{12}} < 0\)
\( \Leftrightarrow 6(3x + 1) - 4(x - 2) - 3(1 - 2x) \)\(< 0\)
\( \Leftrightarrow 18x + 6 - 4x + 8 - 3 + 6x < 0\)
\( \Leftrightarrow 20x + 11 < 0\)
\( \Leftrightarrow20x < - 11\)
\( \Leftrightarrow x < -\dfrac{11}{20}.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left( { - \infty ; - {{11} \over {20}}} \right)\)
Câu trả lời của bạn
ĐK:
\(\left\{ \begin{array}{l}
1 - x \ge 0\\
x + 4 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 1\\
x \ne - 4
\end{array} \right.\)
TXĐ: \(D = ( - \infty ; - 4) \cup ( - 4;1]\) hoặc \(D = \left( { - \infty ;1} \right]\backslash \left\{ { - 4} \right\}\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(x+1\ne 0\) \(\Leftrightarrow x\ne -1\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)
Câu trả lời của bạn
ĐK:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4 \ne 0\\
{x^2} - 4x + 3 \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ne 0\\
\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \pm 2\\
x \ne 1,x \ne 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { \pm 2;1;3} \right\}\)
Câu trả lời của bạn
ĐK:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x \ne - 1
\end{array} \right.\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\)
Câu trả lời của bạn
Với \(x = - 2\) thì \(2.\left( { - 2} \right) = - 4 \le 3\) đúng nên \(x = - 2\) là nghiệm của bất phương trình.
Với \(x = 2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\) thì \(2.\left( {\dfrac{5}{2}} \right) = 5 \le 3\) là mệnh đề sai nên \(x = 2\dfrac{1}{2}\) không là nghiệm của bất phương trình.
Với \(x = \pi \) thì \(2\pi \le 3\) là mệnh đề sai nên \(x = \pi \) không là nghiệm của bất phương trình.
Với \(x = \sqrt {10} \) thì \(2\sqrt {10} \le 3\) là mệnh đề sai nên \(x = \sqrt {10} \) không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy trong các giá trị đã cho chỉ có \(x = - 2\) là nghiệm.
Câu trả lời của bạn
2x + 3 ≥ -6
Vế trái của bất phương trình: 2x + 3
Vế phải của bất phương trình: -6
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *