Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
Định lý: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
* Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
* Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại
AB – AC < BC < AB + AC
Ví dụ 1: Một tam giác có hai cạnh dài 2cm và 10cm. Tìm số đo cạnh thứ ba, biết rằng số đo ấy là một số nguyên tố.
Giải
Giả sử cạnh thứ ba dài x(cm). Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta c\(10{\rm{ }} - {\rm{ }}2 < x < 10 + 2 \Rightarrow 8 < x < 12\)
Vì x là số nguyên tố lớn hơn 8 và nhỏ hơn 12 nên x = 11
Vậy số đo cạnh thứ ba là 11cm.
Ví dụ 2: Hãy tìm độ dài của cạnh của một tam giác, biết cạnh thứ nhất dài gấp rưỡi cạnh thư hai, cạnh thứ nhất dài gấp rưỡi cạnh thứ ba và nửa chu vi tam giác bằng 9,5cm.
Giải
Gọi độ dài cạnh thứ ba là x (cm)
Theo độ dài, độ dài cạnh thứ hai là \(\frac{{3x}}{2}\,(cm)\)
Độ dài cạnh thứ nhất là \(\frac{3}{2}.\frac{{3x}}{2} = \frac{{9x}}{4}\,(cm)\)
Bất đẳng thức tam giác được thoả vì \(x + \frac{3}{2}x = \frac{{5x}}{2} > \frac{{9x}}{4}\)
Chu vi của tam giác là \(x + \frac{{19x}}{8} + \frac{{9x}}{4} = \frac{{19x}}{4}\)
Theo đề bài ta có: \(\frac{{19x}}{8} = 9,5 \Rightarrow x = 4\)
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là: 4cm, 6cm, 9cm.
Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC,M\) là một điểm tuỳ ý ở miền trong \(\Delta ABC\). Chứng minh: \(MB + MC < AB + AC\)
Giải
Vì M thuộc miền trong \(\Delta ABC\) nên tia BM thuộc miền trong \(\widehat B\), nó cắt cạnh AC tại D.
D nằm giữa A và C, M nằm giữa B và D.
Trong \(\Delta BAD\) có:
\(BM + MD < BA + AD\,{\,^{(1)}}\)
Trong \(\Delta MDC\) có: \(MC - MD < DC{\,^{\,(2)}}\)
Cộng 2 vế của (1) và (2) với nhau ta được:
BM + MC < BA + AD + DC
Hay BM + MC < BA + AC.
Bài 1: Cho \(\Delta ABC\)có AC > AB. Nối A với trung điểm M của BC. Trên tia AM lấy điểm E sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AE. Nối C với C.
a. So sánh hai đoạn thẳng AB và CE.
b. Chứng minh: \(\frac{{AC - AB}}{2} < AM < \frac{{AC + AB}}{2}\)
Giải
a. Ta có:
\(\widehat {AMB}\) và \(\widehat {EMC}\) là 2 góc đối đỉnh nên \(\widehat {AMB} = \widehat {EMC}\)
MA = ME (M là trung điểm AE)
MB = MC (M là trung điểm BC)
Nên \(\Delta AMB = \Delta EMC\,\,(c.g.c)\)
Suy ra AB = CE.
b. Trong \(\Delta ACE\) có:
\(AC - CE < AE < AC + CE\)
Hay \(AC - AB < AE < AC + CB\,\) (vì AB = CE)
Hay \(\frac{{AC - AB}}{2} < \frac{{AE}}{2} < \frac{{AC + AB}}{2}\)
Vậy: \(\frac{{AC - AB}}{2} < AM < \frac{{AC + AB}}{2}\) vì\(AM = \frac{{AE}}{2}\)
Bài 2: Cho điểm D nằm trên cạnh BC của \(\Delta ABC\). Chứng minh rằng:
\(\frac{{AB + AC - BC}}{2} < AD < \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)
Giải
Trong \(\Delta ABD\) ta có:
\(AB - BD < AD < AB + B{D^{\,\,(1)}}\)
Trong\(\Delta ACD\) ta có:
\(AC - DC < AD < AC + DC\,{\,^{(2)}}\)
Cộng (1) và (2) ta được:
AB + AC – BD – DC < 2AD < AB + AC + BD + DC
Hay AB + AC – BC < 2AD < AB + AC + BC
Vậy \(\frac{{AB + AC - BC}}{2} < AD < \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)
Bài 3: Cho điểm M nằm trong \(\Delta ABC.\) Chứng minh rằng tổng MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của \(\Delta ABC.\)
Giải
Ta có:
Trong \(\Delta MAB\)
MA + MB > AB
Trong \(\Delta MBC:\)
MB + MC > BC
Trong \(\Delta MCA:\)
MC + MA > CA
Nên: 2(MA+MB+MC) > AB + BC + CA
Suy ra \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} + {\rm{ }}MC > \frac{1}{2}(AB + BC + CA)\,\,(1)\)
Ta lại có, theo kết quả bài 410, thì trong \(\Delta ABC\) có:
MB + MC > AB + AC
Tương tự: MA + MB < AC + BC
MA + MC < AB + BC
Nên: 2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + CA)
Suy ra: MA + MB + MC < AB + BC + CA (2)
Từ (1) và (2) ts suy ra:
\(\frac{1}{2}(AB + BC + CA) < MA + MB + MC < AB + BC < CA\)
Qua bài giảng Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Cho tam giác ABC, chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
Với bộ ba đoạn thẳng có số đo sau đây, bộ ba nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?
Độ dài hai cạnh của một tam giác là 4cm và 12cm. Trong các số đo sau đây, số đo nào là độ dài cạnh thứ ba của tam giác đó?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 3để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 15 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 16 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 17 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 18 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 19 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 20 trang 64 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 21 trang 64 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 22 trang 64 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 19 trang 40 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 20 trang 40 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 21 trang 40 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 22 trang 40 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 23 trang 40 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 24 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 25 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 26 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 27 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 28 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 29 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 30 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Cho tam giác ABC, chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
Với bộ ba đoạn thẳng có số đo sau đây, bộ ba nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?
Độ dài hai cạnh của một tam giác là 4cm và 12cm. Trong các số đo sau đây, số đo nào là độ dài cạnh thứ ba của tam giác đó?
Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác
Cho tam giác ABC có cạnh AB= 1cm và cạnh BC=4cm. Tính độ dài cạnh AC biết độ dài cạnh AC là một số nguyên
Cho tam giác ABC có AB>AC. Kẻ tia phân giác AD của góc A (D thuộc BC). Trên đoạn AD lấy một điểm E tùy ý. Hãy chọn khẳng định đúng.
Cho tam giác ABC biết AB = 1cm, BC = 9cm và cạnh AC là một số nguyên. Chu vi tam giác ABC là:
Cho tam giác ABC có BC=1cm, AC=8cm và độ dài cạnh AB là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 5. Tính cạnh BC của tam giác đó biết chu vi của tam giác là 17cm
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. So sánh AB+AC và 2AM
Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong những trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế:
a) 2cm, 3cm, 6cm
b) 2cm, 4cm, 6cm
c) 3cm, 4cm, 6cm
Cho tam giác ABC với hai cạnh BC=1cm, AC=7cm.
Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC.
a) So sánh MA với MI+IA, từ đó chứng minh \(MA + MB < IB + IA\)
b) So sánh IB với IC+CB, từ đó chứng minh \(IB + IA < CA + CB\)
c) Chứng minh bất đẳng thức \(MA + MB < CA + CB\)
Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:;
a) 2cm; 3cm; 4cm
b) 1cm; 2cm; 3,5cm
c) 2,2cm; 2cm; 4,2cm
Tìm chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3,9cm và 7,9cm
Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:
Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC (H thuộc BC)
a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở Bài 1 để chứng minh AB+AC>BC
b) Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại
Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm A và B (h.19)
Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất
Ba thành phố A, B, C là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng: AC=30km, AB=90km (h.20)
a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km?
Có thể có tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau không:
a) \(5cm; 10cm; 12cm?\)
b) \(1m; 2m; 3,3m?\)
c) \(1,2m; 1m; 2,2m?\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4cm; AC = 1cm.\) Hãy tìm độ dài cạnh \(BC\) biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm).
Cho hình 5. Chứng minh rằng \(MA + MB < IA + IB < CA + CB\)
Tính chu vi của một tam giác cân có hai cạnh bằng \(4m\) và \(9m.\)
Cho tam giác \(ABC\) trong đó \(BC\) là cạnh lớn nhất.
a) Vì sao các góc \(B\) và \(C\) không thể là góc vuông hoặc góc tù?
b) Gọi \(AH\) là đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(BC.\) So sánh \(AB + AC\) với \(BH + CH\) rồi chứng minh rằng \(AB + AC > BC.\)
Cho hai điểm \(A\) và \(B\) nằm về hai phía của đường thẳng \(d. \) Tìm điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho tổng \(AC + CB\) là nhỏ nhất.
Ba thành phố \(A, B ,C\) trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác, trong đó \(AC = 30km, AB = 70km\)
a) Nếu đặt ở \(C\) máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng \(40km\) thì thành phố \(B\) có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b) Cũng hỏi như trên với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng \(100km.\)
Cho tam giác \(ABC,\) điểm \(D \) nằm giữa \(B\) và \(C.\)
Chứng minh rằng \(AD\) nhỏ hơn nửa chu vi tam giác \(ABC.\)
Cho điểm \(M\) nằm trong tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng tổng \(MA + MB + MC\) lớn hơn nửa chu vi tam giác \(ABC.\)
Tính chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó bằng \(3dm\) và \(5dm.\)
Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng \(7cm\) và \(2cm.\) Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo xentimét là một số tự nhiên lẻ.
Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\)
Chứng minh rằng \(\displaystyle AM < {{AB + AC} \over 2}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho tam giác ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K. Chứng minh
Câu trả lời của bạn
c) Vì BM cắt CN tại K
\(\Rightarrow\) K là trọng tâm của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\) \(KM=\dfrac{1}{3}BM,\) \(KB=\dfrac{2}{3}BM\)
\(\Rightarrow\) BK = 2KM (1)
Mà BK = CK (do \(\Delta BKC\) cân tại K)
\(\Rightarrow\) CK = 2KM (2)
Xét \(\Delta BCK\) có:
BC < BK + CK (theo bất đẳng thức tam giác) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
BC < 2KM + 2KM \(\Rightarrow\) BC < 4KM (đpcm).
Cho tam igác nhọn ABC trực tâm H. Chứng minh HA + HB + HC< 2/3( AB+AC+BC)
Câu trả lời của bạn
Kẻ HD//AB ,HE//AC
−>AD=HE; AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+AD
xét ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
chứng minh tương tự:
HA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BC
K/h có :
3 (HA+HB+HC) < 2 (AB+AC+BC)
-> HA+ HB + HC< 2/3(AB+AC+BC)
Cho điểm M nằm trê cạnh BC của tam giác ABC. CM:( AB+AC-BC)/2<AD <(AB+AC+BC)/2
Bạn nào giúp mk vs <3
Câu trả lời của bạn
Xét \(\Delta ABM\) có: \(AM>AB-BM\) (Bất đẳng thức \(\Delta\) )
Xét \(\Delta ACM\) có: \(AM>AC-CM\) (Bất đẳng thức \(\Delta\) )
\(\Rightarrow2AM>\left(AB-BM\right)+\left(AC-CM\right)\)
\(\Rightarrow2AM>AB+AC-\left(BM+CM\right)\)
Mà \(BM+CM=BC\) (Vì M nằm giữa B và C)
\(\Rightarrow2AM>AB+AC-BC\)
\(\Rightarrow AM>\frac{AB+AC-BC}{2}^{\left(1\right)}\)
Xét \(\Delta ABM\) có: \(AM< AB+BM\) (Bất đẳng thức \(\Delta\) )
Xét \(\Delta ACM\) có: \(AM< AC+CM\) (Bất đẳng thức \(\Delta\) )
\(\Rightarrow2AM< \left(AB+BM\right)+\left(AC+CM\right)\)
\(\Rightarrow2AM< AB+AC+BM+CM\)
Mà \(BM+CM=BC\) (Vì M nằm giữa B và C)
\(\Rightarrow2AM< AB+AC+BC\)
\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC+BC}{2}^{\left(2\right)}\)
Từ \(^{\left(1\right)\left(2\right)}\) \(\Rightarrow\frac{AB+AC-BC}{2}< AM< \frac{AB+AC+BC}{2}\) (đpcm)
cho tam giác ABC vuông cân taị A. Đường thẳng d thay dổi qua A luôn cắt cạnh AC tại M ( khác B,C và MB>MC ) . kẻ BH vuông góc với d tại H và CK vuông góc với d tại K. BH kéo dài cắt AC tại E. Trên cạnh AB lấy diểm D sao cho AD = AE
a, cmr HK= BH - CK
b, gọi I là tđ của BC. cm tam giác IAH = tam giác ICK
c, CMR MD + ME > AB
Câu trả lời của bạn
đg thẳng d thay đổi qua a lun cắt ac...nghĩa là ntn ?
1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA :
a) Chứng minh: góc BAD = góc ADB
b) Chứng minh: AD là tia phân giác của góc HAC
c) Vẽ DK vuông góc AC ( K thuộc AC ) . Chứng minh AK = AH
d) Chứng minh: AB + AC < BC + AH
Câu trả lời của bạn
a) Ta có: BD = BA (gt) \(\Rightarrow\Delta BAD\) cân tại B
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)
b) Trong \(\Delta ADH\) vuông tại H có: \(\widehat{DAH}+\widehat{ADH}=90^o\)
mà \(\widehat{BAD}+\widehat{DAK}=90^o\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{DAH}+\widehat{ADH}=\widehat{BAD}+\widehat{DAK}\)
mà \(\widehat{ADH}=\widehat{BAD}\) (cmt)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{DAH}=\widehat{DAK}\)
\(\Rightarrow\) AD là tia phân giác của góc HAC
c) Xét \(\Delta ADH,\Delta ADK\) có:
\(\widehat{H}=\widehat{K}=90^o\)
AD là cạnh chung
\(\widehat{DAH}=\widehat{DAK}\) (cmt)
\(\Rightarrow\Delta ADH=\Delta ADK\) (cạnh huyền - góc nhọn)
d) Ta có: KC < DC (\(\Delta KDC\) vuông tại K)
mà KC = AC - AK
DC = BC - BD
\(\Rightarrow\) AC - AK < BC - BD
\(\Rightarrow\) AC + BD < BC + AK
mà BD = BA (gt)
AK = AH (cmt)
\(\Rightarrow\) AC + AB < BC + AH
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC .CMR:tổng MA+MB+MC lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC
Câu trả lời của bạn
Theo bất đẳng thức trong tam giác:
MA+MB>AB
MB+MC>AC
MA+MC>AC
\(\Rightarrow2MA+2MB+2MC>AB+BC+AC\)
\(\Rightarrow MA+MB+MC>\dfrac{AB+BC+AC}{2}\)
Cho tam giác ABC vuông tại C có góc A = 60 độ và đường phân giác của góc BAC cắt BC tại E. Kẻ EK vuông góc AB tại K ( K thuộc AB) . Kẻ BD vuông góc với AE tại D ( D thuộc AE ) . chứng minh
a) tam giác ACE bằng tam giác AKE
b) AE là đường trung trực của đoạn CK
c) KA=KB
d) EB > EC
Câu trả lời của bạn
Hướng dẫn chi tiết nha
a)\(\Delta ACE=\Delta AKE\left(cgv-gnk\right)\)
=>AK=AC(2 cạnh tương ứng)
b)\(\Delta ACI=\Delta AKI\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow CI=KI\)(2 cạnh tương ứng)
=> AE là trung trực của CK
c)\(\widehat{CAE}=\widehat{EAB}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{60}{2}=30\)
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180\)
\(\Rightarrow\widehat{B}=30\)
\(\Delta AKE=\Delta BKE\left(cgv-gn\right)\)
\(\Rightarrow KA=KB\)
d)\(\Delta AKE=\Delta BKE\left(cmt\right)\)
=>AE=BE
Tgiac ACE có góc C=90 =>AE lớn nhất
Mà AE=BE
=>BE>CE
Độ dài 2 cạnh của 1 tam giác bằng 7 cm và 2 cm .Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo xentimét là 1 số tự nhiên lẻ
Câu trả lời của bạn
Ta giả sử 2 TH:
*TH1: Cạnh còn lại là 2 cm.
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: 2cm + 2cm > 7cm hay 4cm > 7cm (vô lí). Mà cạnh này cũng không phải là 1 STN lẻ.
=> Cạnh còn lại của tam giác đó không thể là 2 cm.
*TH2: Cạnh còn lại là 7 cm.
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: 7cm + 2 cm > 7 cm (hợp lí). Vừa là 1 STN lẻ.
=> Cạnh còn lại của tam giác đó là 7 cm.
Vậy cạnh còn lại là 7 cm.
1. Cho tam giác ABC, M là trung điểm tùy ý nằm trong tam giác ABC. CM: MB + MC < AB +AC
giúp e vs
e tick đúng cho
Câu trả lời của bạn
Kéo dài BM cắt AC ở k
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có
BK<AB+AK\(\Leftrightarrow\)BM+MK<AB+AK (1)
và MC<MK+KC (2)
Từ (1) và (2),ta có MB+MC+MK<AB+AK+KC+MK hay MB+MC<AB+AC (đpcm)
cho tam giác MNP có MN<MP . Gọi NE và PF là lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh MP và MN . So Sánh NE và PF
Câu trả lời của bạn
Xét vào hình ta có :
MF = FN ; ME = EP
MP > MN \(\Rightarrow\) EP > FN
Vậy PF > NE
CM ''bất đẳng thức tam giác mở rộng '':Với 3 điểm A,B,C bất kì ,ta có :AB+AC lớn hơn hoặc bằng BC
Câu trả lời của bạn
ta có 3 điểm A, B, C bất kỳ.
Trường hợp 1:A, B, C không thẳng hàng
A, B, C tạo ra 1 tam giác
=> AB+AC>BC (1)
Trường hợp 2:A, B, C thẳng hàng
=>AB+AC=BC(vì A nằm trên đoạn thẳng BC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB+AC>=BC(Đpcm)
Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD = AC
Do tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên
\(\widehat{BCD}>\widehat{ACD}\) (1)
Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên
\(\widehat{ACD}=\widehat{ADC}=\widehat{BDC}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(\widehat{BCD}>\widehat{BDC}\)
\(\Rightarrow BD>BC\) (quan hệ góc và cạnh đối diện trong \(\Delta BCD\))
\(\Rightarrow AB+AC>BC\)
Chỉ khi \(A,B,C\) thẳng hàng
\(\Rightarrow AB+AC=BC\)
Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ AM (M thuộc BC ) sao cho M không phải là trung điểm của BC.
Chứng Minh Rằng AM<AB
AM<AC
Câu trả lời của bạn
Có M nằm giữa A và B. Gọi D là trung điểm của BC, mà tam giác ABC là tam giác cân tại A nên \(AD\perp BC\)
M ≢ D giả sử M nằm giữa D và C=> MD < CD
Vì MN và CD là hình chiếu MA và CA trên đường BC nên MA < CA => MA < BA
Chứng minh tương tự nếu M nằm giữa D và B thì AM < AB, AM < AC
Vậy AM<AB, AM<AC (đpcm)
Một tam giác có độ dài 2 cạnh là 3,8 ,góc xen giữa =60. Tính độ dài cạnh còn lại
Giúp mình nha mai mình có tiết rùi !!!
Câu trả lời của bạn
vi tam co 2 canh = nhau
=> tam giac do la tam giac can
ma no co 1 goc = 600 nen no la tam giac deu
=> canh con lai la 3,8
Cho tam giác ABC , điểm M nằm bên trong tam giác ABC . BM cắt AC tại D . Chứng minh rằng : MA +MB +MC <AB +AC +BC
Câu trả lời của bạn
\(\left\{{}\begin{matrix}MA< AC\\MC< AC\\MA+MC< 2AC\\\end{matrix}\right.\) tương tự canh con lai\(\left\{{}\begin{matrix}MA+MC< 2AC\\MC+MB< 2BC\\MA+MB< 2AB\\2\left(MA+MB+MC\right)< 2\left(AB+BC+AC\right)\end{matrix}\right.\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AM (M thuộc BC) là đường trung tuyến. Trên tia đối Ma lấy D sao cho MD = MA. Từ M kẻ MH vuông góc với AC (H thuộc AC). BH cắt AM tại G:
a. CM: Tam giác MAB = Tam giác MDC
b. CM: AB + AC > 2AM
c. CM: G là trọng tâm ABC
Câu trả lời của bạn
Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MDC\) có :
\(BM=MC\) ( AM là đường trung tuyến của BC )
\(AM=MD\left(gt\right)\)
\(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\) ( đối đỉnh )
\(Do\) đó \(\Delta MAB=\Delta MDC\) \(\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow AB=CD\) ( cạnh tương ứng )
b) Xét \(\Delta ACD\) có :
\(AC+CD>AD\) ( bất đẳng thức tam giác )
\(\Rightarrow AC+AB>AM+MD\) ( do \(AB=CD\))
\(\Rightarrow AB+AC>2AM\) (\(AM=MD\) ) đpcm
cho tam giác có độ dài các cạnh lần lượt là a , b, c
chứng minh :ab+ac+bc >a^2+b^2+c^2/2
Câu trả lời của bạn
\(ab+ac+bc>\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)
Áp dụng BĐT tam giác ta có: \(a+b>c\)
\(\Leftrightarrow ac+bc>c^2\left(c>0\right)\). Tương tự ta cũng có:
\(ab+bc>b^2;ac+ab>a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)
Tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I trung điểm AM, D là giao điểm của BI và AC.
C/m: a, AC=3AD b, ID=1/4 BD
Câu trả lời của bạn
Bài này dùng đường trung bình ms ra bạn à!!! Mình sợ bạn lớp 7 nên không hiểu nên mình không làm nữa!!!
Cho tam giác ABC cân tại A và 2 đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K. Chứng minh
a)Tam giác BNC=Tam giác CMB
b)Tam giác BKC cân tại A
c)BC<4.KM
Câu trả lời của bạn
Cho mình mượn bài bạn Ngân Hải để giải câu c).
c)Vì BM, CN cắt nhau tại K nên K là trọng tâm ΔABC, áp dụng tính chất 3 đường trung tuyến, ta có:
\(BK=\dfrac{2}{3}BM;KM=\dfrac{1}{3}BM\\ \Rightarrow BK=2KM\)
Mà BK=CK (do ΔBKC cân tại K)
nên BK=CK=2KM ⇒ BK+CK=4KM
Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ΔBKC có:
BC<BK+CK
Mà BK+CK=4KM
nên BC<4KM
Vậy BC<4KM.
Cho\(\Delta\)ABC vuông tại A có AB=6cm, AC=8cm, dường phân giác BE. Kẻ EH\(\perp\)BC. Gọi K là giao điểm của AB và HE
a, tính BC
b, CMR: \(\Delta\)ABE=\(\Delta\)HBE
c,CMR: EK=Ec, AE<EC
Help me, vẽ hình hộ mik nha!
Câu trả lời của bạn
a) áp dụng định lý Pitago tính được BC=10
b) Xét 2 tam giác có BAE = BHE = 90 , ABE = HBE vì BE là phân giác , BE chung => 2 tam giác bằng nhau theo ch-gn
c)Xét tam giác AKE và HCE có EAK = EHC = 90, AE=HE , AEH = HEC vì đối đỉnh => EK = EC
AE= HE
Xét tam giác EHC vuông tại h có EC là canh huyền => EC dài hơn HE
Từ 2 điều trên => AE<EC
Cho a,b,c thỏa mãn:a+b+c=0, Chứng minh rằng :ab+2bc+3ca\(\le0\)
Câu trả lời của bạn
Giải:
\(a+b+c=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=-a\\a+b=-c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow ab+2bc+3ca\)
\(=ab+ca+2bc+2ca\)
\(=a\left(b+c\right)+2c\left(a+b\right)\)
\(=a\left(-a\right)+2c\left(-c\right)\)
\(=-a^2-2c^2\le0\)
Vậy \(ab+2bc+3ca\le0\) (Đpcm)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *