Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\)
Chứng minh rằng \(\displaystyle AM < {{AB + AC} \over 2}\)
Hướng dẫn giải
Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau
Sử dụng: Trong một tam giác:
+) Hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại
+) Độ dài một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại
Lời giải chi tiết
Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MA = MD\)
* Xét \(∆AMB\) và \(∆DMC:\)
+) \(MA = MD \) (theo cách vẽ)
+) \(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh)
+) \(MB = MC\) (gt)
Do đó: \(∆AMB = ∆DMC\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AB = DC\) (hai cạnh tương ứng)
* Trong \(∆ACD\) ta có:
\(AD < AC + CD\) (bất đẳng thức tam giác)
Mà \(AD = AM + MD = 2AM\) và \(CD = AB\)
Nên \(AD < AC + CD\) \(\Rightarrow 2{\rm{A}}M < AC + AB\)\( \Rightarrow AM <\displaystyle {{AB + AC} \over 2}\)
-- Mod Toán 7