Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
Định lý: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
* Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
* Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại
AB – AC < BC < AB + AC
Ví dụ 1: Một tam giác có hai cạnh dài 2cm và 10cm. Tìm số đo cạnh thứ ba, biết rằng số đo ấy là một số nguyên tố.
Giải
Giả sử cạnh thứ ba dài x(cm). Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta c\(10{\rm{ }} - {\rm{ }}2 < x < 10 + 2 \Rightarrow 8 < x < 12\)
Vì x là số nguyên tố lớn hơn 8 và nhỏ hơn 12 nên x = 11
Vậy số đo cạnh thứ ba là 11cm.
Ví dụ 2: Hãy tìm độ dài của cạnh của một tam giác, biết cạnh thứ nhất dài gấp rưỡi cạnh thư hai, cạnh thứ nhất dài gấp rưỡi cạnh thứ ba và nửa chu vi tam giác bằng 9,5cm.
Giải
Gọi độ dài cạnh thứ ba là x (cm)
Theo độ dài, độ dài cạnh thứ hai là \(\frac{{3x}}{2}\,(cm)\)
Độ dài cạnh thứ nhất là \(\frac{3}{2}.\frac{{3x}}{2} = \frac{{9x}}{4}\,(cm)\)
Bất đẳng thức tam giác được thoả vì \(x + \frac{3}{2}x = \frac{{5x}}{2} > \frac{{9x}}{4}\)
Chu vi của tam giác là \(x + \frac{{19x}}{8} + \frac{{9x}}{4} = \frac{{19x}}{4}\)
Theo đề bài ta có: \(\frac{{19x}}{8} = 9,5 \Rightarrow x = 4\)
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là: 4cm, 6cm, 9cm.
Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC,M\) là một điểm tuỳ ý ở miền trong \(\Delta ABC\). Chứng minh: \(MB + MC < AB + AC\)
Giải
Vì M thuộc miền trong \(\Delta ABC\) nên tia BM thuộc miền trong \(\widehat B\), nó cắt cạnh AC tại D.
D nằm giữa A và C, M nằm giữa B và D.
Trong \(\Delta BAD\) có:
\(BM + MD < BA + AD\,{\,^{(1)}}\)
Trong \(\Delta MDC\) có: \(MC - MD < DC{\,^{\,(2)}}\)
Cộng 2 vế của (1) và (2) với nhau ta được:
BM + MC < BA + AD + DC
Hay BM + MC < BA + AC.
Bài 1: Cho \(\Delta ABC\)có AC > AB. Nối A với trung điểm M của BC. Trên tia AM lấy điểm E sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AE. Nối C với C.
a. So sánh hai đoạn thẳng AB và CE.
b. Chứng minh: \(\frac{{AC - AB}}{2} < AM < \frac{{AC + AB}}{2}\)
Giải
a. Ta có:
\(\widehat {AMB}\) và \(\widehat {EMC}\) là 2 góc đối đỉnh nên \(\widehat {AMB} = \widehat {EMC}\)
MA = ME (M là trung điểm AE)
MB = MC (M là trung điểm BC)
Nên \(\Delta AMB = \Delta EMC\,\,(c.g.c)\)
Suy ra AB = CE.
b. Trong \(\Delta ACE\) có:
\(AC - CE < AE < AC + CE\)
Hay \(AC - AB < AE < AC + CB\,\) (vì AB = CE)
Hay \(\frac{{AC - AB}}{2} < \frac{{AE}}{2} < \frac{{AC + AB}}{2}\)
Vậy: \(\frac{{AC - AB}}{2} < AM < \frac{{AC + AB}}{2}\) vì\(AM = \frac{{AE}}{2}\)
Bài 2: Cho điểm D nằm trên cạnh BC của \(\Delta ABC\). Chứng minh rằng:
\(\frac{{AB + AC - BC}}{2} < AD < \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)
Giải
Trong \(\Delta ABD\) ta có:
\(AB - BD < AD < AB + B{D^{\,\,(1)}}\)
Trong\(\Delta ACD\) ta có:
\(AC - DC < AD < AC + DC\,{\,^{(2)}}\)
Cộng (1) và (2) ta được:
AB + AC – BD – DC < 2AD < AB + AC + BD + DC
Hay AB + AC – BC < 2AD < AB + AC + BC
Vậy \(\frac{{AB + AC - BC}}{2} < AD < \frac{{AB + AC + BC}}{2}\)
Bài 3: Cho điểm M nằm trong \(\Delta ABC.\) Chứng minh rằng tổng MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của \(\Delta ABC.\)
Giải
Ta có:
Trong \(\Delta MAB\)
MA + MB > AB
Trong \(\Delta MBC:\)
MB + MC > BC
Trong \(\Delta MCA:\)
MC + MA > CA
Nên: 2(MA+MB+MC) > AB + BC + CA
Suy ra \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} + {\rm{ }}MC > \frac{1}{2}(AB + BC + CA)\,\,(1)\)
Ta lại có, theo kết quả bài 410, thì trong \(\Delta ABC\) có:
MB + MC > AB + AC
Tương tự: MA + MB < AC + BC
MA + MC < AB + BC
Nên: 2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + CA)
Suy ra: MA + MB + MC < AB + BC + CA (2)
Từ (1) và (2) ts suy ra:
\(\frac{1}{2}(AB + BC + CA) < MA + MB + MC < AB + BC < CA\)
Qua bài giảng Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Cho tam giác ABC, chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
Với bộ ba đoạn thẳng có số đo sau đây, bộ ba nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?
Độ dài hai cạnh của một tam giác là 4cm và 12cm. Trong các số đo sau đây, số đo nào là độ dài cạnh thứ ba của tam giác đó?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 3để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 15 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 16 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 17 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 18 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 19 trang 63 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 20 trang 64 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 21 trang 64 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 22 trang 64 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 19 trang 40 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 20 trang 40 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 21 trang 40 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 22 trang 40 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 23 trang 40 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 24 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 25 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 26 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 27 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 28 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 29 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 30 trang 41 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Cho tam giác ABC, chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
Với bộ ba đoạn thẳng có số đo sau đây, bộ ba nào không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?
Độ dài hai cạnh của một tam giác là 4cm và 12cm. Trong các số đo sau đây, số đo nào là độ dài cạnh thứ ba của tam giác đó?
Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác
Cho tam giác ABC có cạnh AB= 1cm và cạnh BC=4cm. Tính độ dài cạnh AC biết độ dài cạnh AC là một số nguyên
Cho tam giác ABC có AB>AC. Kẻ tia phân giác AD của góc A (D thuộc BC). Trên đoạn AD lấy một điểm E tùy ý. Hãy chọn khẳng định đúng.
Cho tam giác ABC biết AB = 1cm, BC = 9cm và cạnh AC là một số nguyên. Chu vi tam giác ABC là:
Cho tam giác ABC có BC=1cm, AC=8cm và độ dài cạnh AB là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 5. Tính cạnh BC của tam giác đó biết chu vi của tam giác là 17cm
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. So sánh AB+AC và 2AM
Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong những trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế:
a) 2cm, 3cm, 6cm
b) 2cm, 4cm, 6cm
c) 3cm, 4cm, 6cm
Cho tam giác ABC với hai cạnh BC=1cm, AC=7cm.
Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC.
a) So sánh MA với MI+IA, từ đó chứng minh \(MA + MB < IB + IA\)
b) So sánh IB với IC+CB, từ đó chứng minh \(IB + IA < CA + CB\)
c) Chứng minh bất đẳng thức \(MA + MB < CA + CB\)
Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:;
a) 2cm; 3cm; 4cm
b) 1cm; 2cm; 3,5cm
c) 2,2cm; 2cm; 4,2cm
Tìm chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3,9cm và 7,9cm
Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:
Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC (H thuộc BC)
a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở Bài 1 để chứng minh AB+AC>BC
b) Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại
Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm A và B (h.19)
Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất
Ba thành phố A, B, C là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng: AC=30km, AB=90km (h.20)
a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km?
Có thể có tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau không:
a) \(5cm; 10cm; 12cm?\)
b) \(1m; 2m; 3,3m?\)
c) \(1,2m; 1m; 2,2m?\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4cm; AC = 1cm.\) Hãy tìm độ dài cạnh \(BC\) biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm).
Cho hình 5. Chứng minh rằng \(MA + MB < IA + IB < CA + CB\)
Tính chu vi của một tam giác cân có hai cạnh bằng \(4m\) và \(9m.\)
Cho tam giác \(ABC\) trong đó \(BC\) là cạnh lớn nhất.
a) Vì sao các góc \(B\) và \(C\) không thể là góc vuông hoặc góc tù?
b) Gọi \(AH\) là đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(BC.\) So sánh \(AB + AC\) với \(BH + CH\) rồi chứng minh rằng \(AB + AC > BC.\)
Cho hai điểm \(A\) và \(B\) nằm về hai phía của đường thẳng \(d. \) Tìm điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho tổng \(AC + CB\) là nhỏ nhất.
Ba thành phố \(A, B ,C\) trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác, trong đó \(AC = 30km, AB = 70km\)
a) Nếu đặt ở \(C\) máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng \(40km\) thì thành phố \(B\) có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b) Cũng hỏi như trên với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng \(100km.\)
Cho tam giác \(ABC,\) điểm \(D \) nằm giữa \(B\) và \(C.\)
Chứng minh rằng \(AD\) nhỏ hơn nửa chu vi tam giác \(ABC.\)
Cho điểm \(M\) nằm trong tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng tổng \(MA + MB + MC\) lớn hơn nửa chu vi tam giác \(ABC.\)
Tính chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó bằng \(3dm\) và \(5dm.\)
Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng \(7cm\) và \(2cm.\) Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo xentimét là một số tự nhiên lẻ.
Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\)
Chứng minh rằng \(\displaystyle AM < {{AB + AC} \over 2}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
cho tam giác ABC có AB>AC,AD lak tia p/g của góc BAC,D thuộc BC.M lak điểm nằm trên AD
CMR:MB-MC<AB-AC
Câu trả lời của bạn
Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE=AC vì AB>AC nên E nằm giữa A và B=>AE+EB=AB
=>EB=AB-AE=AB-AC
Xét tam giác AEM và tam giác ACM có:
AE=AC
góc EAM=góc CAM(AD là tia phân giác góc BAC)
AM(cạnh chung)
=>tam giác AEM=tam giác ACM(c.g.c)
=>ME=MC(2 cạnh tương ứng)
Xét tam giác MEB có MB-ME<EB(BĐT tam giác)
Do đó:MB-MC<AB-AC
Cho △ABC.Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD=AC.So sánh AB + AC với BC.
Câu trả lời của bạn
Xét \(\Delta ABC\) ta có :
\(AB+AC>BC\) (BĐT trong tam giác)
Cho tam giác ABC bên trong tam giác lấy 1 điểm bất kì cm MB+MC <BC
Câu trả lời của bạn
hình thì bạn nhìn của Nguyễn Thị Thảo nha]
Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác BMC,ta có:
MB+MC<BC(điều phải chứng minh)
Cho tam giác ABC và điểm K nằm trong tam giác ( K ko \(\in\) bất kì cạnh nào của tam giác ). CMR KB + KC < AB + AC
Câu trả lời của bạn
Gọi \(BK\cap AC=\left\{H\right\}\)
Xét \(\Delta BAH\) có :
\(BH< AB+AH\) (BĐT trong tam giác)
Lại có : \(BH=BK+KH\) (K nằm giữa B và H)
\(\Leftrightarrow BK+KH< AB+AH\left(1\right)\)
Xét \(\Delta HKC\) có :
\(KC< KH+HC\) (BĐT trong tam giác) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow BK+KH+KC< AB+AH+KH+HC\)
\(\Leftrightarrow BH+HC< AB+AH+HC\)
\(\Leftrightarrow KB+KC< AB+AC\left(đpcm\right)\)
Cho △ABC, phân giác AD, từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E, qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB. CM: BK+DE>AD
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB//ED\\BC//EK\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BK//ED\\BD//EK\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BK=ED\\BD=EK\end{matrix}\right.\left(T/chấtđoạnchắn\right)\)(1)
Vì AB//ED\(\Rightarrow\widehat{KAD}=\widehat{EDA}\left(2gócsoletrong\right).Mà\widehat{KAD}=\widehat{EAD}\left(gt\right)\\ \Rightarrow\widehat{EAD}=\widehat{EDA}\Rightarrow tamgiácAEDcântạiE\\ \Rightarrow AE=ED\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AE=BK\)
Xét tam giác AED có :
AE + ED > AD ( bất đẳng thức trong tam giác )
Mà AE = BK \(\Rightarrow BK+DE>AD\\ \RightarrowĐpcm\)
Cho tam giác ABC trong đó BC là cạnh lớn nhất .
a) Vì sao các góc B và C ko thể là góc vuông hoặc góc tù.
b) Gọi AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC. So sánh AB+AC vs BH+CH rồi chứng minh rằng AB+AC>BC
Câu trả lời của bạn
a,
Góc B và C không thể vuông vì: Theo quan đường vuông góc và đường xiên thì đường vuông góc là đường ngắn nhất mà BC là cạnh dài nhất
Góc B và C không thể tù vì: cạnh đối diện với 1 góc lớn hơn thì cạnh còn lại không kề với góc đó sẽ lớn hơn cạnh đó
b,
Trong 1 tam giác vuông thì cạnh huyền luôn lớn hơn 2 góc vuông
Mà : AB; AC lần lượt là cạnh huyền của tam giác AHB và AHC
=> AB+AC > BH + CH
Theo định lí của bất đẳng thức tam giác thì AB +AC > BC
Cho tam giác ABC, góc A = 90 độ. AB=6cm, AC=8cm
a) Tính BC
b) Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh góc DBC = góc DC
c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE=DC. Chứng minh Tam giác BCE vuông.
d) Cm DF là phân giác góc ADE và BE vuông góc với CF
Câu trả lời của bạn
a) Áp dụng định lí Py Ta go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:
BC2 = BA2 + CA2
=> 62 + 82 = 100
Vậy BC = \(\sqrt{100}\) =10cm
b) Đặt Trung trực của BC cắt BC tại I
Xét tam giác BDI và tam giác CDI có:
ID chung
IB = IC
\(\widehat{BID}\)= \(\widehat{CID}\)
Vậy \(\widehat{BID}\)= \(\widehat{CID}\) (c - g - c)
=> \(\widehat{DBC}\) = \(\widehat{DC}\)(2 góc tương ứng)
c. ta có tam giác ECD cân tại D => góc DEC= góc DCE = (180 - góc ADC): 2 (1)
ta lại có góc BDI + góc IDC + CDE = 180 độ
=> góc BDI + góc IDC = 180- góc CDE
mà theo câu b ta có Góc BDI= góc ICD
nên ta có góc BDI= góc IDC= (180- góc CDE):2 (2)
từ (1) và (2) => góc BDI = góc DEC mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên EC// DI
mà DI vuông góc với BC => EC vuông góc với BC nên tam giác BCE vuông
Cho Δ ABC, kẻ trung tuyến BM. Trên tia đối của tia MB, lấy điểm D sao cho MD = MB
a) CM : Δ MAB = Δ MCD
b) Gọi G là trọng tâm của Δ ABC, biết BG = 4cm. Tính BM ?
c) CM : BM < \(\dfrac{AB+BC}{2}\)
Câu trả lời của bạn
BM là trung tuyến của △ABC nên AM = MC
xét 2△AMB và △CMD có AM = MC; ∠M1 = ∠M2 (đối đỉnh)
MD = MB nên 2△ bằng nhau
G là trọng tâm nên BG = \(\dfrac{2}{3}\)BM ⇒ BM = \(\dfrac{3}{2}\)BG = 6
xét △ADB và △CDB : theo bất đẳng thức trong tam giác ta có
AD + AB > BD; CB + CD > BD (1)
xét tứ giác ABCD có M là giao 2 đường chéo AC và BD
MA = MC; MD = MC nên ABCD là hình bình hành
⇒ AB = CD; AD = CB (2)
từ (1) và (2) ta có 2AB +2BC > 2DB ⇒ 2AB + 2BC > 4BM
⇔\(\dfrac{AB+BC}{2}\) > BM
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng: (a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) \(\le\) a.b.c
Câu trả lời của bạn
Áp dụng BĐT của tam giác ta có :
\(\left(b-c\right)< a=\left(b-c\right)^2< a^2=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2=\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\le a^2\)
\(\left(a-c\right)< b=\left(a-c\right)^2< b^2=b^2-\left(a-c\right)^2\le b^2=\left(b+a-c\right)\left(b-a+c\right)\le b^2\)
\(\left(a-b\right)< c=\left(a-b\right)^2< c^2=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2=\left(c+a-b\right)\left(c-a+b\right)\le c^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)^2\left(a-b+c\right)^2\left(-a+b+c\right)^2\le a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\le abc\)
Chúc bạn học giỏi
Có ai cho biết "tính chất bất đẳng thức tam giác" cái!!!
Câu trả lời của bạn
1) Định lý: (Bất đẳng thức tam giác)
Trong một tam giác, tổng độ dài 2 cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
* Với ABC, ta có: AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB
2) Hệ quả của bất đẳng thức tam giác:
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ luôn bé hơn độ dài cạnh còn lại.
* Với ABC, ta có: AB > AC – BC
BC > AB – AC
AC > AB – BC
3) Lưu ý:
Trong một tam giác, độ dài một cạnh luôn lớn hơn hiệu và bé hơn tổng các độ dài của 2 cạnh còn lại.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kì thuộc cạnh BC, vẽ KH vuông góc với AC. Trên tia đối của tia HK, lấy điểm I sao cho HI = HK, Chứng mình rằng:
a) AB // HK
b) Tam giác AKI cân
c) Góc BAK = góc AIK
d) Tam giác AIC = tam giác AKC
Câu trả lời của bạn
Cho đoạn thẳng AB = 22001. Gọi M1 là trung điểm của đoạn thẳng AB ; M2 là trung điểm của đoạn thẳng AM1 ; M3 là tung điểm của đoạn thẳng AM2 ; ... ; M2011 là trung điểm của đoạn thẳng AM2010 . Tính độ dài của đoạn AM2010 và AM2011
Câu trả lời của bạn
M1 là trung điểm của AB
\(\Rightarrow AM_1=\dfrac{1}{2}AB\)
M2 là trung điểm của AM1
\(\Rightarrow AM_2=\dfrac{1}{2}AM_1=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2^2}AB\)
M3 là trung điểm của AM2
\(\Rightarrow AM_3=\dfrac{1}{2}AM_2=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^2}AB=\dfrac{1}{2^3}AB\)
...M2010 là trung điểm của AM2009
\(\Rightarrow AM_{2010}=\dfrac{1}{2}AM_{2009}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^{2009}}AB=\dfrac{1}{2^{2010}}AB=\dfrac{1}{2^{2010}}\cdot2^{2001}=\dfrac{1}{2^9}=\dfrac{1}{512}\)
M2011 là trung điểm của AM2010
\(\Rightarrow AM_{2011}=\dfrac{1}{2}AM_{2010}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^{2010}}AB=\dfrac{1}{2^{2011}}AB=\dfrac{1}{2^{2011}}\cdot2^{2001}=\dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{1}{1024}\)
Vậy
\(AM_{2010}=\dfrac{1}{512}\\ AM_{2011}=\dfrac{1}{1024}\)
Giải giúp mình cái bài này mình cần gấp trong tối nay ai thấy thì giải giùm mình nha
Bài 1:Biết hai cạnh của 1 tam giác cân bằng 18m và 8m tính chu vi của tam giác
Bài 2 Tồn tại hay không một tam giác có độ dài 3 cạnh là a,b,c
a, a=2b,b=2c
b,a=3/2b,b=3/2c
c, a=1/2b,b=3c
d a=4b,b=2/5c
Câu trả lời của bạn
Theo BĐT tam giác, ta có:
Cạnh bên = 18 m
Cạnh đáy = 8 m
Ta có: \(P_{\Delta}=a+b+c=18+18+8=44\left(m\right)\)
Vậy chu vi của tam giác đó là $44 m$
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng tổng
M=\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\) không thể là số nguyên.
Câu trả lời của bạn
Có \(\dfrac{a}{b+c}>\dfrac{a}{a+b+c}\)
\(\dfrac{b}{a+c}>\dfrac{b}{a+b+c}\)
\(\dfrac{c}{a+b}>\dfrac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)
Lại có a, b, c là 3 cạnh của tam giác
\(\Rightarrow a< b+c;b< a+c;c< a+b\left(BDT\Delta\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}< 1;\dfrac{b}{a+c}< 1;\dfrac{c}{a+b}< 1\)
\(\dfrac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{a+a}{a+b+c}=\dfrac{2a}{a+b+c}\)
\(\dfrac{b}{a+c}< 1\Rightarrow\dfrac{b}{a+c}< \dfrac{b+b}{a+b+c}=\dfrac{2b}{a+b+c}\)
\(\dfrac{c}{a+b}< 1\Rightarrow\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{c+c}{a+b+c}=\dfrac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
em hãy chứng minh trong tam giác ABC có CA+CB>AB và BA+BC>CA
Câu trả lời của bạn
Kẻ AH ⊥ BC
Xét ΔABH vuông tại H có:
∠AHB vuông, nên AB là cạnh lớn nhất
do đó: AB>BH (1)
Xét ΔACH vuông tại H có:
∠AHC vuông, nên AC là cạnh nhất
do đó: AC>CH (2)
Từ (1),(2) ta suy ra: AB+AC>BH+CH
Mà BH +CH=BC
nên AB+AC>BC
Giả sử BC là cạnh lớn nhất, ta suy ra:
AB<BC
AC<BC
Vậy AC+BC>AB; AB+BC>AC
Cho điểm M nằm trong ΔABC. Chứng minh rằng tổng MA+MB+MC lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của ΔABC.
Câu trả lời của bạn
Vẽ BM cắt AC tại D. Vì M nằm trong tam giác ABC nên D nằm giữa A và C, ta có AC = AD + DC
Tam giác ABD có DB < AB + AD, =>
MB + MD < AB + AD (1)
Tam giác MDC có MC < DC + MD
Công (1) và (2) theo từng vế, ta được:
MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD
=> MB + MC < AB + ( AD + DC )
=> MB + MC < AB + AC
Tương tự => MA + MB < AC + BC và MA + MC < AB + BC
=> MB + MC + MA + MB + MA + MC < AB + AC + AC + BC + AB + BC
=> 2(MA + MB +MC)<2(AB + AC + AB)
=> MA + MB + MC < AB + AC + AB (3)
Xét các tam giác MAB, MAC, MBC ta lần lượt có:
MA + MB > AB; MA + MC > AC; MB + MC > BC
=> MA + MB + MA + MC + MB + MC > AB + AC + BC
=> 2( MA + MB + MC) > AB + AC + BC
=> \(MA+MB+MC>\dfrac{AB+AC+BC}{2}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4)
\(\Rightarrow\dfrac{AB+AC+BC}{2}< MA+MB+MC< AB+AC+BC\)
Trong một tam giác cân, một cạnh bằng 25cm, một cạnh bằng 10cm. Hỏi cạnh đáy dài bao nhiêu
Câu trả lời của bạn
Gọi các cạnh lần lượt trong tam giác là: AB,AC,BC
Xét ΔABC có: AC-AB < BC <AC+AB
⇒ 25-10 < BC < 25+10
⇒ 15 < BC < 35
mà ΔABC là tam giác cân
⇒ BC= 25 cm
Cho \(\Delta ABC\), gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh \(BM< \dfrac{AC+AB}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Tam giác ABC có :
AB+AC>BC
Mà BC = BM+MC
=> AB+AC>BM+MC
Nên AB+AC > 2BM ( do BM=MC )
hay BM < \(\dfrac{AC+AB}{2}\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh:\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\)<2
Câu trả lời của bạn
Tui không giỏi hình cho lắm nhưng thoi tham khảo nhé
Theo bất đẳng thức tam giác ta có \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\end{matrix}\right.\)
Lại có công thức : \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+m}{b+m}\) \(\left(\dfrac{a}{b}< 1;a,b,m>0\right)\)
Suy ra :
\(\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{a+a}{a+b+c}=\dfrac{2a}{a+b+c}\)
\(\dfrac{b}{a+c}< \dfrac{b+b}{a+b+c}=\dfrac{2b}{a+b+c}\)
\(\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{c+c}{a+b+c}=\dfrac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được :
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}< 2\)
Vậy a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}< 2\)
Chúc bạn học tốt ~
Cho tam giác ABC ( AB > AC), M là trung điểm của cạnh BC. AD là tia phân giác của góc BAC ( D thuộc BC). Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho MA = ME. Chứng minh rằng:
a, Chứng minh rằng BE = AC
b, Chứng minh rằng AEB > BAE
c, AB + CD > AC + BD
Câu trả lời của bạn
a, Ta có : M là trung điểm của BC => MB = MC
Xét ΔAMC và ΔEMB có:
AM= EM (gt)
MC =MB(cmt)
∠AMC =∠ EMB (đối đỉnh)
=> ΔAMC =ΔEMB (c-g-c)
=> BE = AC (hai cạnh tương ứng)
b, Do ΔAMC = ΔEMB => ∠AEB = ∠EAC
mà ∠EAC =∠EAD + ∠DAC
=>∠AEB = ∠EAD + ∠DAC
=> ∠AEB > ∠DAC
Mặt khác: ∠BAD = ∠DAC (AD là p/giác góc A)
=>∠AEB > ∠BAD
=> ∠AEB > ∠BAE +∠EAD
=>∠AEB > ∠BAE
ý kiến riêng: mình nghĩ câu c đề sai nên mình CM: AB + BD > AC + CD
c,Ta có : MB = MC
=> MB = MD+DC
=>MB > DC
=>MB +MD > DC
=> BD > DC (1)
Xét ΔBAE có : ∠AEB > ∠BAE (cmt)
=> AB > BE ( cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn)
mà BE=AC (cmt) => AB > AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra : AB + BD > AC +CD
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *