Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
* Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kể từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông hay mình chiếu của điểm A xuống đường thẳng d.
* Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
* Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
* Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
* Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
a. Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
b. Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
c. Nếu hai đường chiếu xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm B’ trên cạnh AB, lấy điểm C’ trên cạnh AC. So sánh B’C’ và BC.
Giải
Ta có: AC’ < AC nên B’C’ < B’C (định lý)
Lại có AB’ < AB nên B’C < BC (định lý)
Suy ra B’C’ < BC.
Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\), kẻ \(AH \bot BC\) tại H. Chứng minh rằng:
a. \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\)
b. Kẻ \(BK \bot AC\) tại K, \(CL \bot AB\) tại L.
Chứng minh \(AH + BK + CL < AB + BC + CA.\)
Giải
a. Ta có
AH là đường vuông góc
AB, AC là các đường xiên, nên:
AH < AB, AH < AC
Nên 2AH < AB + AC.
Hay \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\)
b. Chứng minh tương tự như câu a, ta được: với BK, CL là các đường cao hạ từ B và C
\(\begin{array}{l}AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\\BK < \frac{1}{2}(BA + BC)\\CL < \frac{1}{2}(CA + CB)\end{array}\)
Từ ba điều trên ta suy ra: AH + BK + CL < AB + BC + CA
Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh:
a. PA > CA
b. CP < CB
Giải
a. Ta có:
APC là góc ngoài tại P của \(\Delta BPC.\) Nên: \(\widehat {APC} = \widehat B + \frac{{\widehat C}}{2} > \frac{{\widehat C}}{2} = \widehat {ACP}\)
Tam giác APC có:
\(\widehat {ACP} < \widehat {APC} \Rightarrow PA < CA\)
b. Ta có: AP < AB (gt)
\( \Rightarrow CP < CB\,\) (định lý)
Bài 1: Cho \(\Delta ABC\)biết \(\widehat C < \widehat B < {90^0}.\) Kẻ \(AE \bot BC,\,\,BF \bot AC\,\,(E \in BC,F \in AC).\) Gọi H là giao điểm của AE và BF. Chứng minh HB < HC.
Giải
Trong \(\Delta ABC\) có \(\widehat C < \widehat B\) nên AB < AC
Trong hai đường xiên AB, AC hạ từ A xuống BC vì AB < AC suy ra BE < EC (định lý)
Trong hai đường xiên HB, HC hạ từ H xuống BC vì có BE < EC suy ra HB < HC (định lý)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng bất kì đi qua A. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên a.
a. Chứng minh CN bằng hình chiếu của AB trên xy.
b. Chứng minh rằng khi a // BC thì các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.
Giải
a. Ta có MA là hình chiếu của AB trên a.
Xét hai tam giác AHB và CHA có:
AB = AC (giả thiết)
\(\widehat B = \widehat A\) (cùng phụ với \(\widehat {{A_2}}\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AHB = \Delta CHA\\ \Rightarrow MA = CN\end{array}\)
b. a // BC lúc đó các tam giác AMB và CAN là các tam giác vuông cân nên AM = AN nghĩa là các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ \(AH \bot BC.\) Trên cạnh huyền BC lấy D sao cho BD = AE. Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AH.
Chứng minh rằng \(DE \bot AC \Rightarrow BC + AH > AC + AB\)
Giải
Theo giả thiết BD = AB nên \(\Delta ABD\) cân tại B
\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BDA}\)
Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DAE} = {90^0}\)và \(\widehat {BDA} = \widehat {DAM} = {90^0}\) (vì tam giác AHD vuông tại H)
\( \Rightarrow \widehat {DAE} = \widehat {DAH}\)
Do đó \(\Delta DAE = \Delta DAH\)
\((AE = AH;\widehat {DAE} = \widehat {DAH}\) và AD chung)
\( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {AED} = {90^0}\) hay \(DE \bot AC\)
\( \Rightarrow CD > CE\)
Lại có: BD = BA; AH = AE (giả thiết)
\( \Rightarrow CD + BD + AH > CE + AE + BA\)
Hay BC + AH > AC + AB
Qua bài giảng Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 2 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B ta lấy điểm H. Khi đó:
Trong tam giác ABC có chiều cao AH
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 2để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 8 trang 59 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 9 trang 59 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 10 trang 59 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 11 trang 60 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 12 trang 60 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 13 trang 60 SGK Toán Tập 2
Bài tập 14 trang 60 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 11 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 12 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 13 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 14 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 15 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 16 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 17 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 18 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B ta lấy điểm H. Khi đó:
Trong tam giác ABC có chiều cao AH
Chi hình vẽ sau:
Em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. So sánh BD + BE và AB
Cho tam giác ABC có CE và BD là hai đường cao. So sánh BD + CE và AB + AC?
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E (D, E không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Chọn đáp án đúng nhất.
Cho D là một điểm nằm trong tam giác ABC. Nếu AD = AB thì
Cho tam giác ABC có \({90^0} > \widehat B > \widehat C\). Kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Gọi M là một điểm nằm giữa H và B, N thuộc tia đối của tia CB. So sánh HB và Hc
Cho tam giác ABC có \({90^0} > \widehat B > \widehat C\). Kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Gọi M là một điểm nằm giữa H và B, N thuộc tia đối của tia CB. Chọn câu đúng
Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C,...(h.12)
Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?
Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kì của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.
Một cách chứng minh khác của định lí 2:
Cho hình 13. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng:
Nếu BC Hướng dẫn:
a) Góc ACD là góc gì? Tại sao?
b) Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?
Cho hình 14. Ta gọi độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.
Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt trước như trong hình 15 có đúng không?
Đố: Vẽ tam giác PQR có PQ=PR=5cm, QR=6cm
Lấy điểm M trên đường thẳng QR sao cho PM=4,5cm. Có mấy điểm M như vậy?
Điểm M có nằm trên cạnh QR hay không? Tại sao?
Cho hình 1. So sánh độ các độ dài \(AB, AC, AD, AE.\)
Cho hình 2. Chứng minh rằng \(MN < BC\)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = AC = 10cm, BC = 12cm.\) Vẽ cung tròn tâm \(A\) có bán kính \(9cm.\) Cung đó có cắt đường thẳng \(BC\) hay không, có cắt cạnh \(BC\) hay không? Vì sao?
Cho tam giác \(ABC,\) điểm \(D\) nằm giữa \(A\) và \(C\) (\(BD\) không vuông góc với \(AC).\) Gọi \(E \) và \(F\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(C\) đến đường thẳng \(BD.\) So sánh \(AC\) với tổng \(AE + CF.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A, M \) là trung điểm của \(AC.\) Gọi \(E\) và \(F\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(C\) đến đường thẳng \(BM.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle AB < {{BE + BF} \over 2}.\)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A, \) điểm \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C.\) Chứng minh rằng độ dài \(AD\) nhỏ hơn cạnh bên của tam giác \(ABC.\)
Cho hình 3 trong đó \(AB > AC.\) Chứng minh rằng \(EB > EC.\)
Cho hình 4. Chứng minh rằng: \(BD + CE < AB + AC.\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
cho tam giác ABC vuông cân tại A trên tia đối của AC lấy D sao cho AD=AC,M,N lần lượt là tđiểm của AB và BC.
chứng minh tam giác bdc cân và so sánh DM và CM
b) từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt BA tại K. Chứng minh tam giác BMK bằng tam gIác CMD
c biết AB=a tính chu vi tam giác DMK
Câu trả lời của bạn
Xét \(\Delta\)BAD và \(\Delta\)ABC có
AB chung
AD = AC ( gt)
góc BAC = góc BAD (=90 độ )
Do đó \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)ABC ( hai cạnh góc vuông )
=> DB = BC ( hai cạnh tương ứng )
=> \(\Delta\)DBC cân tại B
Ta có : DA = AC ( gt )
=> DM = MC ( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu )
b) phức tạp
Cho tam giác ABC vuông tại A, BD là phân giác của góc B ( D thuộc AC). Trên tia BC lấy điểm E sao cho BA = BE
a/ Chứng minh DE vuông góc với BE
b/ Chứng minh BD là đường trung trực của AE
c/ Kẻ AH vuông góc với BC. So sánh EH và HC
Vẽ hìh r làm bài nha mn
Câu trả lời của bạn
a) \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\) có:
BA = BE (gt)
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (BD là tia phân giác góc B)
BD là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta EBD\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BAD} = \widehat{BED}\) (hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{BAD} \) \(=90^0\)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{BED} \) \(=90^0\)
\(\Rightarrow\) DE \(\perp\) BE
b) \(\Delta ABI\) và \(\Delta EBI\) có:
BA = BE (gt)
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (gt)
BI là cạnh chung
\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta EBI\) (c.g.c)
\(\Rightarrow\) IA = IE (hai cạnh tương ứng) (1)
Ta có: \(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=180^0\) (hai góc kề bù)
mà \(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) (\(\Delta ABI=\Delta EBI\))
\(\Rightarrow\) \(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}=90^0\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) DE vuông góc với BE.
c) \(\Delta AHE\) vuông tại H có \(\widehat{AEH}\) nhọn
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AEC}\) là góc tù
\(\Rightarrow\) \(\widehat{AHE} < \widehat{AEC}\)
\(\Rightarrow\) AE < AC (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)
mà EH là hình chiếu của AE trên BC.
HC là hình chiếu của AC trên BC.
\(\Rightarrow\) EH < HC (quan hệ đường xiên và hình chiếu).
Mấy bẹn đáng iu ơi!!! Bơi vào giúp mềnh với
Cho tam giác ABC vuông tại B. Kẻ đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia AM lấy E sao cho AM=ME. Chứng minh rằng: góc BAM> góc MAC?
Câu trả lời của bạn
Giải:
Xét \(\Delta AMB,\Delta EMC\) có:
AM = EM ( gt )
\(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\) ( đối đỉnh )
BM = MC ( gt )
\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta EMC\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow AB=EC\) ( cạnh t/ứng )
\(\widehat{BAM}=\widehat{E_1}\) ( góc t/ứng )
Ta có: AB < AC ( quan hệ giữa đường vuông góc - đường xiên )
\(\Rightarrow EC< AC\)
\(\Delta ACE\) có: EC < AC
\(\Rightarrow\widehat{E_1}>\widehat{MAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}>\widehat{MAC}\left(đpcm\right)\)
Vậy...
Cho hình 1.
So sánh các độ dài AB, AC, AD, AE ?
Câu trả lời của bạn
Điểm C nằm giữa B và D nên BC < BD (1)
Điểm C nằm giữa B và E nên BD < BE (2)
Vì B, C, D, E thẳng hàng. Từ (1) và (2) suy ra
BC < BD < BE
AB⊥BE
Suy ra: AB < AC < AD < AE.
Bài 12 (Sách bài tập - tập 2 - trang 38)
Cho hình 2.
Chứng minh rằng MN < BC ?
Câu trả lời của bạn
Nối BN.
Vì M nằm giữa A và B nên AM < AB
Ta có: NA ⊥ AB
Suy ra: NM < NB (đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn) (1)
Vì N nằm giữa A và C nên AN < AC
Lại có: BA ⊥ AC
Suy ra: BN < BC (đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MN < BC
Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ tử A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF ?
Câu trả lời của bạn
Trong ∆ADE ta có góc AED = 90∘
Nên AE < AD (1)
Trong ∆CFD ta có góc CFD = 90∘
Nên CF < CD (2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta có:
AE + CF < AD + CD
Mà D nằm giữa A và C nên AD + CD = AC
Vậy AE + CF < AC
Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Kẻ AH vuông góc vs BC. HC lấy E sao cho BH=HE. M nằm giữa A và B. BM cắt AC tại D
a, So sánh MB, ME, MC
b, Chứng minh MD < DH
Câu trả lời của bạn
do HB=HE
mà HB là hình chiếu của MB
HE là hình chiếu của ME
=> ME = MB (1)
do HE<HC
mà HE là hình chiếu của ME
HC là hình chiếu của MC
=> ME<MC (2)
từ (1) và (2)
=> MB=ME<MC
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM.
Chứng minh rằng : \(AC< \dfrac{BE+BF}{2}\)
Câu trả lời của bạn
\(\Delta ABM\) vuông tại \(A\Rightarrow AB< BM\)
Do đó: \(AB< BE+ME\) __(1)__
Và \(AB< BF-MF\) __(2)__
\(\Delta MAE=\Delta MCF\) ( cạnh huyền - góc nhọn )
\(\Rightarrow ME=MF\) __(3)__
Từ (1),(2),(3) suy ra:
\(AB+AB< BE+BF\)
Do đó
\(2AB< BE+BF\) nên \(AB< \dfrac{BE+BF}{2}\)
Cho hình 3 trong đó AB > AC.
Chứng minh rằng EB > EC ?
Câu trả lời của bạn
Ta có: AB > AC (gt)
Suy ra: HB > HC (đường xiên lớn hơn có hình chiếu lớn hơn)
Suy ra: EB > EC (hình chiếu lớn hơn thì có đường xiên lớn hơn)
Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng độ dài AD nhỏ hơn cạnh bên của tam giác ABC ?
Câu trả lời của bạn
Kẻ \(AH\perp BC\)
- Nếu D trùng H thì \(AD< AC\) vì \(AH< AC\) ( đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên )
- Nếu D không trùng H, giả sử D nằm giữa H và C. Ta có: \(HD< HC\)
\(\Rightarrow AD< AC\) ( hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn )
Vậy AD nhỏ hơn cạnh bên của \(\Delta ABC\)
Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?
(A) Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d
(B) Có duy nhất một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d
(C) Có vô số đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d
(D) Có vô số đường xiên kẻ từ điểm A đến đường d
Hãy vẽ hình minh hoạ cho các khẳng định đúng ?
Câu trả lời của bạn
a, Đ
b, S
c, S
d, Đ
Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d (H, B, C đều thuộc d). Biết rằng HB < HC. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
(A) AB > AC (B) AB = AC
(C) AB < AC (D) AH > AB
Câu trả lời của bạn
Theo định lí so sánh giữa hình chiếu và đường xiên ta có:
\(HB< HC\Rightarrow AB< AC.\)
Vậy nên chọn đáp án C
cho \(\Delta\)ABC cân tại A kẻ \(AH\perp BC\). M là trung điểm BH. Trên tia đối tia MA lấy N sao cho MN=NA
a) cm NB<AB
b)CM \(\widehat{BAM}=\widehat{MAH}\)
Câu trả lời của bạn
a) Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta NMB\) có:
\(AM=NM\) (gt)
\(\widehat{AMH}=\widehat{NMB}\) (đối đỉnh)
\(MH=MB\) (suy từ gt)
\(\Rightarrow\Delta AMH=\Delta NMB\) (c.g.c)
\(\Rightarrow NB=AH\)
Ta có: \(AH< AB\) (quan hệ đường xiên - đvg)
\(\Rightarrow NB< AB\)
b) t nghĩ câu này sai đề, 2 góc đó k = nhau đc đâu.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BD là đường phân giác của góc B ( \(D\in AC\)). Chứng minh rằng BD < BC ?
Câu trả lời của bạn
Vì BD là tia phân giác \(\widehat{ABC}\)
=> BD nằm giữa BA và BC
=> điểm D nằm giữa A và C hay AD < AC
AC là hình chiếu của đường xiên BC
AD là hình chiếu của đường xiên BD
mà AD < AC
=> BC < BD
cho tam giác ABC vuông tại A trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD< AC. Nối B với D . CHỨNG MINH : BC>BD
Câu trả lời của bạn
Vì DA<AC
nên BD<BC (quan hệ giữa đường xiên vad hình chiếu)
cho tam giác ABC có AB< AC, phân giác AD, trung tuyến AM đường cao AH
a) so sánh độ dài HB và HC
b) chứng minh rằng HÂC > 1/2 Â
c) nhận xét gì về vị trí của các tia AH; AD; AM
Câu trả lời của bạn
a )
Ta có :
\(AC>AB\Rightarrow HC>HB\) ( quan hệ đường xiên và hình chiếu )
b )
Xét vào hình ta thấy :
\(HAC>DAC\)
\(\Rightarrow HAC>\dfrac{1}{2}BAC\)
1.Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE vuông góc BC(E thuộc BC).Gọi Flà giao điểm của AB và DE. Chứng minh:
a. BDlà đường trung trực của AE
b. DF=DC
c. AD<DC
d. AE//FC
giải nhanh giùm mk các bài toán này nha
(Không cần thiết vẽ hình )
Câu trả lời của bạn
a) Xét \(\Delta ABD;\Delta EBD\) vuông tại \(A;E\) có:
\(BD\) là cạnh chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) (suy từ gt)
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta EBD\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow AB=EB\)
\(\Rightarrow\Delta ABE\) cân tại B
mà \(BD\) là tia pg của \(\widehat{ABE}\)
\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của AE.
b) Vì \(\Delta ABD=\Delta EBD\)
nên \(AD=ED\)
Xét \(\Delta ADF;\Delta EDC\) vuông tại A; E có:
\(AD=ED\) (c/m trên)
\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\left(đ^2\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ADF=\Delta EDC\left(cgv-gn\right)\)
\(\Rightarrow DF=DC.\)
c) Ta có: \(ED< DC\) (đường xiên - hình chiếu)
mà \(AD=ED\left(b\right)\)
\(\Rightarrow AD< DC.\)
d) Do \(\Delta ADF=\Delta EDC\left(b\right)\)
\(\Rightarrow AF=EC\)
Lại có: \(AB+AF=BE+EC\)
\(\Rightarrow BF=BC\)
\(\Rightarrow\Delta BFC\) cân tại B
\(\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{BCF}\)
Áp dụng t.c tổng 3 góc trog 1 tg ta có:
\(\widehat{BFC}+\widehat{BCF}+\widehat{FBC}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BFC}=\dfrac{180^o-\widehat{FBC}}{2}\left(1\right)\) (Đoạn này hơi tắt )
Tương tự: \(\widehat{BAE}=\dfrac{180^o-\widehat{FBC}}{2}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{BAE}.\)
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên \(AE\) // \(FC.\)
Cho tam giác ABC có AC > AB, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA, nối C với D.
a) Chứng minh ADC > DAC từ đó suy ra MAB > MAC
b) Kẻ đường cao AH, gọi E là một điểm nằm giữa A và H. So sánh HC và HB; EC và EB.
Câu trả lời của bạn
Huy Hoangtự vẽ hình nhé!
\(a,\) Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDC\) ta có:
+) \(MB=MC\) (AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC)
+) \(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)
+) \(MA=MB\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MAC=MDC\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CDM}\) Và \(CD=AB< AC\)
Trong \(\Delta ADC:AC< CD\Rightarrow\widehat{ADC}>\widehat{DAC}\left(dpcm1\right)\)
Vì \(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{ADC}>\widehat{MAC}\)
\(\Rightarrow MAB>MAC\)
b, AH vuông với BC tại H
=> H là hình chiếu của A trên BC
HB là đường chiếu tương ứng của đường xiên AB
HC là đường chiếu tương ứng của đường xiên AC
Mà \(AB< AC\Rightarrow HB< HC\left(dpcm3\right)\)
Mặt khác E thuộc AH => HB cũng là đường chiếu của đường xiên EB
HC là hình chiếu của đường xiên EC
Mà \(HB< HC\left(theodpcm3\right)\)
\(\Rightarrow EC< EB\left(dpcm4\right)\)
\(\)
Cho △ABC vuông tại A. Kẻ đường pg BD, DE \(\perp\) BC . CMR
a) BD là đg tt của AE vè AD<DC
b) ED cắt BA tại F. CM BD\(\perp\)CF và AE//CF
Câu trả lời của bạn
Gọi giao của BD và AE là I
\(\Delta BAD=\Delta BED\left(ch-gn\right)\Rightarrow AB=BE\)
\(\Delta BAI=\Delta BEI\left(c-g-c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI=IE\\\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\end{matrix}\right.\)
Mà \(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=180^0\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{I_2}=90^0\Rightarrow BI\perp AE\)
\(\Rightarrow BD\) là đg tt của AE
b)
\(\Delta ADF=\Delta EDC\left(g-c-g\right)\Rightarrow AF=EC\)
Mà \(AB=BE\Rightarrow BF=BC\)
\(\Delta BFN=\Delta BCN\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{N_1}=\widehat{N_2}\)
Mà \(\widehat{N_1}+\widehat{N_2}=180^0\Rightarrow\widehat{N_1}=\widehat{N_2}=90^0\Rightarrow BD\perp FC\)
Mà \(BD\perp AE\Rightarrow FC\) // \(AE\)
P/s: Mk chỉ ghi vắn tắt thôi nhá vì mk cx k có nhiều t/g cko lém
1.Khái niệm đường vuông góc , đường xiên , hình chiếu của đường xiên
?1;cho điểm A ko thuộc đường thẳng d . hãy dùng êke để vẽ và tìm đường chiếu của điểm A trên d . vẽ 1 đường xiên từ A đến d, tìm đường chiếu của đường xiên này trên d
2.quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
?2;từ 1 điểm A ko nằm trên đường thẳng d , ta có thể kẻ đc bao nhiêu đg vuông góc và bao nhiêu đg xiên đến đg thẳng d ?
?3;hãy dùng định lí py-ta-go để so sánh đg vuông góc AH và đg xiên AB kẻ từ điểm A đến đg thẳng d
3.các đg xiên và hình chiếu của chúng
Câu trả lời của bạn
+ Đoạn AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc
+ Đoạn AB gọi là đường xiên
+ Đoạn HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB lên đường thẳng ra
2.Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
3. Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng
Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;
a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *