Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
* Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kể từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông hay mình chiếu của điểm A xuống đường thẳng d.
* Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
* Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
* Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
* Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
a. Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
b. Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
c. Nếu hai đường chiếu xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm B’ trên cạnh AB, lấy điểm C’ trên cạnh AC. So sánh B’C’ và BC.
Giải
Ta có: AC’ < AC nên B’C’ < B’C (định lý)
Lại có AB’ < AB nên B’C < BC (định lý)
Suy ra B’C’ < BC.
Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\), kẻ \(AH \bot BC\) tại H. Chứng minh rằng:
a. \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\)
b. Kẻ \(BK \bot AC\) tại K, \(CL \bot AB\) tại L.
Chứng minh \(AH + BK + CL < AB + BC + CA.\)
Giải
a. Ta có
AH là đường vuông góc
AB, AC là các đường xiên, nên:
AH < AB, AH < AC
Nên 2AH < AB + AC.
Hay \(AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\)
b. Chứng minh tương tự như câu a, ta được: với BK, CL là các đường cao hạ từ B và C
\(\begin{array}{l}AH < \frac{1}{2}(AB + AC)\\BK < \frac{1}{2}(BA + BC)\\CL < \frac{1}{2}(CA + CB)\end{array}\)
Từ ba điều trên ta suy ra: AH + BK + CL < AB + BC + CA
Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\)vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh:
a. PA > CA
b. CP < CB
Giải
a. Ta có:
APC là góc ngoài tại P của \(\Delta BPC.\) Nên: \(\widehat {APC} = \widehat B + \frac{{\widehat C}}{2} > \frac{{\widehat C}}{2} = \widehat {ACP}\)
Tam giác APC có:
\(\widehat {ACP} < \widehat {APC} \Rightarrow PA < CA\)
b. Ta có: AP < AB (gt)
\( \Rightarrow CP < CB\,\) (định lý)
Bài 1: Cho \(\Delta ABC\)biết \(\widehat C < \widehat B < {90^0}.\) Kẻ \(AE \bot BC,\,\,BF \bot AC\,\,(E \in BC,F \in AC).\) Gọi H là giao điểm của AE và BF. Chứng minh HB < HC.
Giải
Trong \(\Delta ABC\) có \(\widehat C < \widehat B\) nên AB < AC
Trong hai đường xiên AB, AC hạ từ A xuống BC vì AB < AC suy ra BE < EC (định lý)
Trong hai đường xiên HB, HC hạ từ H xuống BC vì có BE < EC suy ra HB < HC (định lý)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng bất kì đi qua A. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C lên a.
a. Chứng minh CN bằng hình chiếu của AB trên xy.
b. Chứng minh rằng khi a // BC thì các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.
Giải
a. Ta có MA là hình chiếu của AB trên a.
Xét hai tam giác AHB và CHA có:
AB = AC (giả thiết)
\(\widehat B = \widehat A\) (cùng phụ với \(\widehat {{A_2}}\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AHB = \Delta CHA\\ \Rightarrow MA = CN\end{array}\)
b. a // BC lúc đó các tam giác AMB và CAN là các tam giác vuông cân nên AM = AN nghĩa là các hình chiếu của AB và AC trên a bằng nhau.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ \(AH \bot BC.\) Trên cạnh huyền BC lấy D sao cho BD = AE. Trên cạnh AC lấy E sao cho AE = AH.
Chứng minh rằng \(DE \bot AC \Rightarrow BC + AH > AC + AB\)
Giải
Theo giả thiết BD = AB nên \(\Delta ABD\) cân tại B
\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BDA}\)
Lại có: \(\widehat {BAD} + \widehat {DAE} = {90^0}\)và \(\widehat {BDA} = \widehat {DAM} = {90^0}\) (vì tam giác AHD vuông tại H)
\( \Rightarrow \widehat {DAE} = \widehat {DAH}\)
Do đó \(\Delta DAE = \Delta DAH\)
\((AE = AH;\widehat {DAE} = \widehat {DAH}\) và AD chung)
\( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {AED} = {90^0}\) hay \(DE \bot AC\)
\( \Rightarrow CD > CE\)
Lại có: BD = BA; AH = AE (giả thiết)
\( \Rightarrow CD + BD + AH > CE + AE + BA\)
Hay BC + AH > AC + AB
Qua bài giảng Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 2 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B ta lấy điểm H. Khi đó:
Trong tam giác ABC có chiều cao AH
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 2để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 8 trang 59 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 9 trang 59 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 10 trang 59 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 11 trang 60 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 12 trang 60 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 13 trang 60 SGK Toán Tập 2
Bài tập 14 trang 60 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 11 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 12 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 13 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 14 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 15 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 16 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 17 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 18 trang 38 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B ta lấy điểm H. Khi đó:
Trong tam giác ABC có chiều cao AH
Chi hình vẽ sau:
Em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. So sánh BD + BE và AB
Cho tam giác ABC có CE và BD là hai đường cao. So sánh BD + CE và AB + AC?
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E (D, E không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Chọn đáp án đúng nhất.
Cho D là một điểm nằm trong tam giác ABC. Nếu AD = AB thì
Cho tam giác ABC có \({90^0} > \widehat B > \widehat C\). Kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Gọi M là một điểm nằm giữa H và B, N thuộc tia đối của tia CB. So sánh HB và Hc
Cho tam giác ABC có \({90^0} > \widehat B > \widehat C\). Kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Gọi M là một điểm nằm giữa H và B, N thuộc tia đối của tia CB. Chọn câu đúng
Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C,...(h.12)
Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?
Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kì của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.
Một cách chứng minh khác của định lí 2:
Cho hình 13. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng:
Nếu BC Hướng dẫn:
a) Góc ACD là góc gì? Tại sao?
b) Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?
Cho hình 14. Ta gọi độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.
Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt trước như trong hình 15 có đúng không?
Đố: Vẽ tam giác PQR có PQ=PR=5cm, QR=6cm
Lấy điểm M trên đường thẳng QR sao cho PM=4,5cm. Có mấy điểm M như vậy?
Điểm M có nằm trên cạnh QR hay không? Tại sao?
Cho hình 1. So sánh độ các độ dài \(AB, AC, AD, AE.\)
Cho hình 2. Chứng minh rằng \(MN < BC\)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = AC = 10cm, BC = 12cm.\) Vẽ cung tròn tâm \(A\) có bán kính \(9cm.\) Cung đó có cắt đường thẳng \(BC\) hay không, có cắt cạnh \(BC\) hay không? Vì sao?
Cho tam giác \(ABC,\) điểm \(D\) nằm giữa \(A\) và \(C\) (\(BD\) không vuông góc với \(AC).\) Gọi \(E \) và \(F\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(C\) đến đường thẳng \(BD.\) So sánh \(AC\) với tổng \(AE + CF.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A, M \) là trung điểm của \(AC.\) Gọi \(E\) và \(F\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) và \(C\) đến đường thẳng \(BM.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle AB < {{BE + BF} \over 2}.\)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A, \) điểm \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C.\) Chứng minh rằng độ dài \(AD\) nhỏ hơn cạnh bên của tam giác \(ABC.\)
Cho hình 3 trong đó \(AB > AC.\) Chứng minh rằng \(EB > EC.\)
Cho hình 4. Chứng minh rằng: \(BD + CE < AB + AC.\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho tam giác ABC vuông tại A,phân giác BD.Kẻ DE vuông góc với BC.Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF=CE.Chứng minh rằng a/BD là đường trung trực của AE. b/AD<BC. c/ba điểm D,E,F thẳng hàng
Câu trả lời của bạn
a) Xét hai tam giác vuông ABD và EBD có:
BD: cạnh huyền chung
\(\widehat{B_1}\) = \(\widehat{B_2}\) (đối đỉnh)
Vậy: \(\Delta ABD=\Delta EBD\left(ch-gn\right)\)
Suy ra: AB = EB (hai cạnh tương ứng)
Nên \(\Delta ABE\) cân tại B
Ta có \(\Delta ABE\) cân tại B có BD là đường phân giác đồng thời là đường trung trực
Vậy BD là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
b) Vì \(\Delta DEC\) vuông tại E
nên \(\widehat{DCE}\) < \(\widehat{E}\) (vì \(\widehat{E}\) = 90o)
\(\Rightarrow\) DE < DC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)
Mà AD = DE (\(\Delta ABD=\Delta EBD\))
Vậy AD < DC
c) Ta có: FE là đường cao của \(\Delta BDC\)
CA là đường cao của \(\Delta BDF\)
Mà FE cắt CA tại D
nên D là trực tâm của tam giác
Ta lại có: FE đi qua trực tâm D của tam giác (D\(\in\) FE)
Do đó: ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Mik cx ko chắc lắm nha
the nao la khoang cach tu mot diem nam ngoai duong thang den duong thang do
Câu trả lời của bạn
Khoảng cách từ 1 điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó chính bằng độ dài hình chiếu của điểm đó trên đường thẳng(hay nói theo cách nói quen thuộc là độ dài đường vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng)
Cho tam giác ABC có AB<AC,tia phân giác của góc A cắt BC tại E
Chứng minh rằng:CE>BE.
giúp với...
Câu trả lời của bạn
Ta có: AB là hình chiếu của BE
AC là hình chiếu của CE
Mà AB < AC.
=> BE < CE hay CE > BE
Cho tam giác ABC có AB<ac
Trên tia đối của tia bc lấy điểm D sao cho BD = b a. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho ce = c a
A, So sánh góc ADB và góc AEC,AD và AE
B,gọi M,N lần lượt là trung điểm AD,AE và I là giao điểm DN,EM. Cm tia AE đi qua trung điểm đoạn thẳng DE
Câu trả lời của bạn
a, \(\Delta\) ABC có AB < AC => \(\widehat{C1}< \widehat{B1}\)(1)
AB = BD => \(\Delta ABD\) cân tại B
=> \(\widehat{ADB}=\dfrac{180^0-\widehat{B2}}{2}=\dfrac{180^0-\left(180^0-\widehat{B1}\right)}{2}=\dfrac{\widehat{B1}}{2}\)(2)
AC = CE => \(\Delta ACE\) cân tại C
=> \(\widehat{AEC}=\dfrac{ }{2}=\dfrac{180^0-\left(180^0-C1\right)}{2}=\dfrac{C1}{2}\)(3)
từ (1 ) (2 ) (3 )
=> \(\widehat{ADB}>\widehat{AEC}\)
=> AD < AE
b, ta thấy \(\Delta ADE\) có EM và DN 2 đường trung tuyến và \(E\text{M}\cap DN=I\)
=> I là trọng tâm của tam giác
=> AI là đường trung tuyến của tam giác
=> đpcm
cho tam giác ABC có góc A = 90 độ. trên AC lấy điểm D, trên cạnh AB lấy điểm E. chứng minh DE < BC
Câu trả lời của bạn
Mk làm thêm một cách nx cho bn nha Snow Snow Golem ( cách 2 )
+ CE , CB là đường xiên kẻ từ C đến AB
Ta có :
- AE là hình chiếu của đường xiên CE
- AB là hình chiếu của đường xiên CB
Mà AE < AB ( E nằm giữa A và B )
=> CE < CB (1)
+ ED , EC là đường xiên kẻ từ E đến AC
Ta có :
- AD là hình chiếu của đường xiên ED
- AC là hình chiếu của đường xiên EC
Mà AD < AC ( D nằm giữa A và C )
=> ED < CE (2)
Từ (1) và (2) => ED < BC (đpcm )
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
2318067
Cho tam giác ABC, từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên đường thẳng AH lấy M tùy ý. Chứng minh rằng:
a)MB lớn hơn MC.
b) BA lớn hơn BM.
Câu trả lời của bạn
Mong mọi người giúp mình ạ
Cho tam giác ABC vuông tại A .trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AC =AD.trên tia đối của tia BA lấy điểm M bất kỳ . Chứng minh
a) BA là tia phân giác của góc CBD.
b) Chứng minh tam giác MBD = tam giác MBc
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC vuông tại A,M là trung điểm của AC.Gọi E,F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM.Chứng minh:AB<BE+BF/2
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc BC trên cạnh huyền BC lấy điểm D sao cho BD=AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE=AH chứng minh rằng DE vuông góc AC suy ra BC+AH AC > AB
Câu trả lời của bạn
Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, BC = 10cm.
a/ Tính độ dài AC.
b/ Vẽ đường phân giác BD của ΔABC và gọi E là hình chiếu của D trên BC.
Chứng minh DB là tia phân giác của góc ADE.
c/ Chứng minh
AE BD.
d/ Gọi giao điểm của hai đường thẳng ED và BA là F. Gọi G là trung điểm của FC. Chứng minh 3 điểm
B,D,G thẳng hàng.
Câu trả lời của bạn
Bài giải
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác abc vuông tại a .Trên tia đối của tia CA lấy điểm E trên tia đối của tia AC lấy F sao cho AF = AC so sánh BC BF BE
Câu trả lời của bạn
Bài giải
hay quá bạn ơi
Cho tam giác ABC, có góc B và góc C là các góc nhọn. Gọi D là điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và K chân đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AD.
a) So sánh các độ dài BH và BD. Có khi nào BH=BD không?
b) So sánh tổng BH+CK với BC.
Câu trả lời của bạn
a) Trong tam giác vuông HBD có:
\(\widehat{H}=90^o;\widehat{BDH}< 90^o\)
\(\Rightarrow BH< BD\)(quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)
BH không bao giờ bằng BD
=> đpcm
b) Trong tam giác vuông KCD có:
\(\widehat{DKC}=90^o;\widehat{KDC}< 90^o\)
\(\Rightarrow CK< CD\)(quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
Ta có:
\(BD+CD=BC\) (D nằm giữa B và C)
Mà:
\(BH< BD\) (theo câu a)
\(CK< CD\) (c/m trên)
\(\Rightarrow BH+CK< BD+CD\\ hay:BH+CK< BC\left(đpcm\right)\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, BC = 5. đường cao Ah ( H thuộc BC) hay so sanh HB và HC.
Giúp mình đi mai mình thi học kì rồi!!!
Câu trả lời của bạn
Giải:
Áp dụng định lí Py-ta-go vào t/g ABC có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Rightarrow3^2+AC^2=5^2\)
\(\Rightarrow AC^2=16\)
\(\Rightarrow AC=4\)
\(\Rightarrow AC>AB\)
\(\Rightarrow HC>HB\) ( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu )
Vậy...
Bài 1:cho tâm giác ABC vuông tại A,điểm K nằm giữa A và C .Chứng minh AB<BK<BC
Câu trả lời của bạn
do K nằm giũa A và C => AK< AC
BA là dường vuông góc kẻ từ B đến BC
BK , BC là đường xiên ( AK<AC)
=> AB<BK<BC
=> AB<BK
Cho tam giác abc có góc b và c nhọn. lấy D bất kì trên BC. Gọi E, F lần lượt là 2 hình chiếu của B và C trên AD. a.Cm: BE+CF< hoặc = BC. b.Xác định vị trí của D trên BC để BE+CF có giá trị lớn nhất.
Câu trả lời của bạn
Gọi E, F lần lượt là 2 hình chiếu của B và C trên AD.
Hình chiếu của góc à ?
Mình nghĩ hình là thế này
a) TH1 : E và F không trùng với D
\(BE< BD\) ( quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên )
\(CF< CD\) ( quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên )
Cộng cả hai vế , ta có : BE + CF < CD + BD = BC (1)
TH2 : E và F \(\equiv\) D( khi đó thì \(\Delta ABC\) cân tại A )
\(\Rightarrow BE+CF=BC\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)\(BE+CF\le BC\)
b) Theo câu a , ta có : \(BE+CF\le BC\)
Do đó , để BE + BF có giá trị lớn nhất \(\Leftrightarrow BE+CF=BC\)
\(\Rightarrow\) \(E\) và F \(\equiv D\)
Mà \(BE\perp AD\)
CF \(\perp\)AD
\(\Rightarrow\) D là trung điểm của BC
Vậy để BE + CF đạt giá trị lớn nhất thì D là trung điểm của BC
Cho tam giác BDC, DH vuông góc với BC, A thuộc tia đối DH
So sánh: AC và AB
Câu trả lời của bạn
Nếu HC<HB thì AC<AB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Nếu HB<HC thì AB<AC ( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Vẽ hình: Tự vẽ
Chúc bn học tốt!!!
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *