Để học tốt bài Nhị thức Newton Toán 10 sách Chân trời sáng tạo, DapAnHay xin mời các em học sinh cùng tham khảo bài giảng dưới đây bao gồm các kiến thức được trình bày cụ thể và chi tiết, cùng với các dạng bài tập minh họa giúp các em dễ dàng nắm vững được trọng tâm bài học. Chúc các em có một buổi học thật vui vẻ!
Ta có hai công thức khai triển sau:
\(\begin{array}{l} Hai công thức trên gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton) \({\left( {a + b} \right)^n}\) ứng với n = 4 và n = 5. |
---|
Chú ý:
Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) với n =0; 1; 2; 3;.. được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như bên. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).
Bảng số trên được gọi là tam giác Pasca (đặt theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 — 1662).
Ví dụ
Sử đụng công thức nhị thức Newton, hãy khai
\(\begin{array}{l}
a){\left( {x + 3} \right)^4}\\
b){\left( {1 - x} \right)^5}
\end{array}\)
Giải
a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có
\(\begin{array}{l}
{\left( {x + 3} \right)^4} = 1.{x^4} + 4.{x^3}.3 + 6.{x^2}{.3^2} + 4.x{.3^3} + {1.3^4}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^4} + 4.3.{x^3} + 6.9.{x^2} + 4.27.x + 81\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^4} + 12.{x^3} + 54{x^2} + 108.x + 81
\end{array}\)
b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {1 - x} \right)^5} = 1 + 5.\left( { - x} \right) + 10.{\left( { - x} \right)^2} + 10.{\left( { - x} \right)^3} + 5.{\left( { - x} \right)^4} + 1{\left( { - x} \right)^5}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 1 - 5x + 10{x^2} - 10{x^3} + 5{x^4} - {x^5}
\end{array}\)
Câu 1: Khai triển các biểu thức sau
a) \({\left( {x - 2} \right)^4}\)
b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)
Hướng dẫn giải
a) \({\left( {x - 2} \right)^4}\)
\(\begin{array}{l} = {x^4} + 4{x^3}.\left( { - 2} \right) + 6{x^2}.{\left( { - 2} \right)^2} + 4x{\left( { - 2} \right)^3} + {\left( { - 2} \right)^4}\\ = {x^4} - 8{x^3} + 24{x^2} - 32x + 16\end{array}\)
b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)
\(\begin{array}{l} = {x^5} + 5.{x^4}.\left( {2y} \right) + 10.{x^3}.{\left( {2y} \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( {2y} \right)^3} + 5.x.{\left( {2y} \right)^4} + 1.{\left( {2y} \right)^5}\\ = {x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^3} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}\end{array}\)
Câu 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng
a) \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\)
b) \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1\)
Hướng dẫn giải
a)
\(\begin{array}{l}C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {1^4}.C_4^0 + {1^3}.2C_4^1 + {1^2}{.2^2}C_4^2 + {1.2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {\left( {1 + 2} \right)^4} = {3^4}\end{array}\)
\( = 81\) (đpcm)
b)
\(\begin{array}{l}C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {1^4}.C_4^0 - {1^3}.2C_4^1 + {1^2}{.2^2}C_4^2 - {1.2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {\left( {1 - 2} \right)^4} = {\left( { - 1} \right)^4}\end{array}\)
\( = 1\) (đpcm)
Qua bài giảng trên giúp các em học sinh:
- Nắm vững công thức nhị thức Niu-tơn.
- Biết vận dụng công thức nhị thức Niu-tơn để tìm khai triển các đa thức dạng (ax+b)n; (ax-b)n.
- Biết thiết lập hàng thứ n+1 của tam giác Pa-xcan từ hàng thứ n.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 8 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong khai triển \({\left( {3{x^2} - y} \right)^{10}}\), hệ số của số hạng chính giữa là:
Trong khai triển \({\left( {2x - 5y} \right)^8}\), hệ số của số hạng chứa \({x^5}.{y^3}\) là:
Trong khai triển \({\left( {2a - b} \right)^5}\), hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 8 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khởi động trang 33 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá trang 33 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 1 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 2 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 3 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 4 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 5 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Trong khai triển \({\left( {3{x^2} - y} \right)^{10}}\), hệ số của số hạng chính giữa là:
Trong khai triển \({\left( {2x - 5y} \right)^8}\), hệ số của số hạng chứa \({x^5}.{y^3}\) là:
Trong khai triển \({\left( {2a - b} \right)^5}\), hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
Trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^6}\), hệ số của \({x^3},\left( {x > 0} \right)\) là:
Trong khai triển \({\left( {{a^2} + \frac{1}{b}} \right)^7}\), số hạng thứ 5 là:
Trong khai triển \({\left( {2a - 1} \right)^6}\), tổng ba số hạng đầu là:
Trong khai triển \({\left( {2x - 1} \right)^{10}}\), hệ số của số hạng chứa x 8 x8 là:
Trong khai triển \({\left( {a - 2b} \right)^8}\), hệ số của số hạng chứa \({a^4}.{b^4}\) là:
Trong khai triển \({\left( {{\rm{0,2\; + \;0,8}}} \right)^{\rm{5}}}\), số hạng thứ tư là:
Trong khai triển \({\left( {8{a^2} - \frac{1}{2}b} \right)^6}\), hệ số của số hạng chứa \({a^9}{b^3}\) là:
Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển:
\({{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\) ; \({{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\)
Với số tự nhiên n>3 thì công thức khai triển biểu thức \({{(a+b)}^{n}}\) sẽ như thế nào?
a) Xét công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên
ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên
iii) Tính giá trị của \(C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3\) (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?
b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^4}\)
\({\left( {a + b} \right)^4} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^3} = ? = ?{a^4} + ?{a^3}b + ?{a^2}{b^2} + ?a{b^3} + ?{b^4}\)
Tính giá trị của \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) để viết lại công thức khai triển trên
c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\). Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.
Khai triển các biểu thức sau
a) \({\left( {x - 2} \right)^4}\)
b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)
Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng
a) \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\)
b) \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1\)
Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong các số vé đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.
Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:
a) \({\left( {3x + y} \right)^4}\)
b) \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\)
Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:
a) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4}\)
b) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4}\)
c) \({\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5}\)
Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^5}\)
Cho \(A = \left\{ {{a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5}} \right\}\) là một tổ hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng tổ hợp con có số lẻ \(\left( {1,3,5} \right)\) phần tử của A bằng tập hợp con có số chẵn \(\left( {0,2,4} \right)\) phần tử của A
Chứng minh rằng \(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
SHTQ trong khai triển \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} \) là:
\(T_{k+1}= {C_{15}^k} {\left( {{x^3}} \right)^{15 - k}}{\left( {xy} \right)^k} \)
\(= {C_{15}^k{x^{45 - 3k}}{x^k}{y^k} }\)
\(= {C_{15}^k{x^{45 - 2k}}{y^k}} \)
Vì đề yêu cầu tìm hệ số của \(x^{25}y^{10}\) khi đó \(x^{45-2k}y^k= x^{25}y^{10}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}45 - 2k = 25\\k = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 10\)
Vậy hệ số của \(x^{25}y^{10}\) là \(C_{15}^{10}\).
Câu trả lời của bạn
SHTQ trong khai triển \({\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}} \) là:
\(T_{k+1}= {C_{40}^k} {x^{40 - k}}{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} \)
\(= {C_{40}^k{x^{40 - k - 2k}} = } {C_{40}^k{x^{40 - 3k}}} \)
Hệ số của số hạng chứa \(x^{31}\) ứng với \(40-3k=31\) \(\Leftrightarrow k=3\)
Vậy hệ số của \(x^{31}\) là \(C_{40}^3=9880\)
Câu trả lời của bạn
Số tập con rỗng của \(E\) là số cách chọn ra \(0\) phần tử trong \(n\) phần tử là \(C_n^0\)
Số tập con có \(1\) phần tử của \(E\) là số cách chọn ra \(1\) phần tử trong \(n\) phần tử là \(C_n^1\)
Số tập con có \(2\) phần tử của \(E\) là số cách chọn ra \(2\) phần tử trong \(n\) phần tử là \(C_n^2\)
Số các tập con có \(k\) phần tử \((0\le k\le n)\) của tập hợp \(E\) là số cách chọn ra \(k\) phần tử trong \(n\) phần tử của \(E\) là \(C_n^k\)
Số tập con có \(n\) phần tử của \(E\) là số cách chọn ra \(n\) phần tử trong \(n\) phần tử là \(C_n^n\)
Do đó số tâp con của \(E\) là:
\( C_n^0+C_n^1+ C_n^2+…+ C_n^n\)\(= {(1 + 1)^n} = {2^n}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} +\)
\(C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - \dfrac{2}{x}} \right) +\)
\(C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^2} + ...\)
Theo giả thiết, ta có:
\(\begin{array}{l}C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97\\ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n = - 6{\rm{ }}\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(n = 8.\)
Từ đó ta có: \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^8} \)
SHTQ: \(T_{k+1}= {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)}^k} }\)
\( = C_8^k.{x^{16 - 2k}}.\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^k}}}{{{x^k}}} \) \(= C_8^k{x^{16 - 2k - k}}{\left( { - 2} \right)^k}\)
\(={{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \).
Số hạng chứa \(x^4\) ứng với \(16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4.\)
Do đó hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) là \({\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *