Dưới đây gồm kiến thức trọng tâm và bài tập minh họa bài Xác suất của biến cố. Bài giảng đã được DapAnHay biên soạn ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu về cách tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp, sử dụng sơ đồ hình cây,... giúp các em dễ dàng nắm được nội dung chính của bài. Mời các em học sinh cùng tham khảo!
Không gian mẫu \(\Omega \) gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là một biên cố. Xác suất cũa biến cố A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\) trong đó: n(A) và n(\(\Omega\)) lần lượt kí hiệu số phần tử của tập A và \(\Omega\). |
---|
Chú ý:
+ Định nghĩa trên được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất.
+ Với mọi biến cố A, \(0 \le P\left( A \right) \le 1\).
+ \(P\left( \Omega \right) = 1,P\left( \emptyset \right) = 0\).
Xác suất của mỗi biến cố đo lường khả năng xảy ra của biển cố đó. Biến cố có khả năng xảy ra càng cao thì xác suât của nó càng gần 1
Ví dụ: Hộp thứ nhất đựng 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 4. Hộp thứ hai đựng 6 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ.
a) Hãy xác định không gian mẫu của phép thử
b) Gọi A là biển cổ “Hai thẻ lấy ra có cùng số”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A và tính xác suất của biển cố A.
c) Gọi B là biến cố “Tổng hai số trên hai thẻ lấy ra lớn hơn 8”. Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho B và tính xác suât của biến cố B.
Giải
a) Kết quả của mỗi lần thứ lả một cặp (i; j) với ¡ \(\in\) {1; 2; 3; 4} là số trên thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất và j \(\in\) {1; 2; 3; 4; 5; 6} là sô trên thẻ lấy ra từ hộp thứ hai. Không gian mẫu của phép thử là:
\(\Omega \) = (1;1); (1;2); 1; 3); (1; 4; (1; 5); (1; 6;
(2; 1); (2; 2); (2; 3); 2; 4); (2; 5): (2; 6);
(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6),
(4; 1); (4; 2); (4; 3); (4; 4); (4; 5); (4: 6);
b) Không gian mẫu gỏm có 24 kết quả, tức là n(\(\Omega \)) = 24.
Biển cỗ A = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4)}
Số các kết quả thuận lợi cho A là n(A) = 4. Do đó, xác suất của biên cố A là:
\(P\left( A \right) = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}\)
c) Biển cô B= {(3; 6); (4; 5); (4; 6}.
Số các kết quả thuận lợi cho B là n(B) = 3. Do đó, xác suất của biến cố B là
\(P\left( B \right) = \frac{3}{{24}} = \frac{1}{8}\)
Trong chương VIII, chúng ta đã được làm quen với phương pháp sử dụng sơ đô hình cây đề liệt kê các kết quả của một thí nghiệm. Ta cũng có thể sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất
Ví dụ: Tung một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần liên tiếp. Tỉnh xác suât của biến cố A: “Trong 3 lần tung có ít nhất 2 lần liên tiếp xuât hiện mặt sấp”.
Giải
Kí hiệu S nếu tung được mặt sấp, N nều tung được mặt ngửa. Các kết quả có thể xảy ra trong 3 lần tung được thê hiện ở sơ đồ hình cây như sau
Có tật cả 8 kết quả có thể xảy ra, trong đó có 3 kết quả thuận lợi cho A. Do đó: \(P\left( A \right) = \frac{3}{8}\)
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cổ “Không xảy ra A”, kí hiệu là \(\overline A \), được gọi là biến cố đối của A. \(\overline A = \Omega \backslash A;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P\left( {\overline A } \right) + P\left( A \right) = 1\) |
---|
Ví dụ: Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cô “Tích sô chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số chẵn”
a) Hãy tìm biến cô đôi của biến có A.
b) Hãy tính xác suất của biên cố A.
Giải
a) Biên cố đôi của biển cố A là biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đó là số lẻ”,
b) Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là \(n\left( \Omega \right) = {6^3}\).
\(\overline A \) xảy ra khi mặt xuất hiện trên cả ba con xúc xắc đều có số chấm là số lẻ. Số kết quả thuận lợi cho \(\overline A \) là n(\(\overline A \)) = 33
Xác suất của biến cố \(\overline A \) là \(P\left( {\bar A{\rm{ }}} \right) = \frac{{{3^3}}}{{{6^3}}} = \frac{1}{8}\)
Xác suất của biến cố A là \(P\left( {A{\rm{ }}} \right) = 1 - P\left( {\overline {A{\rm{ }}} } \right) = \frac{7}{8}\)
Trong thực tế, các biến cố có xác suât xảy ra gần bằng 1 thì gần như là luôn xảy ra trong một phép thử. Ngược lại, các biển cố mà xác suất xảy ra gần băng 0 thì gần như không xảy ra trong một phép thử.
Trong Lí thuyết Xác suất, Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau:
Nếu một biển cố cố xác suất rất bẻ thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra
Ví dụ như khi một con tàu lưu thông trên biển, xác suất nó bị đấm là số dương. Tuy nhiên, nểu tuân thủ các quy tắc an toàn thì xác suất xảy ra biến cố này là rât nhỏ, con tàu có thể yên tâm hoạt động.
Nếu một nhà sản xuất tuyên bố tỉ lệ gây sốc phản vệ nặng khi tiêm một loại vắc xin là rât nhỏ, chỉ khoảng 0,001, thì có thể tiêm vắc xin đó cho mọi người được không? Câu trả lời là không, vì sức khoẻ và tính mạng con người là vô giá, nếu tiêm loại vắc xin đó cho hàng tỉ người thì khả năng có nhiều người bị sốc phản vệ nặng là rât cao.
Câu 1: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:
a) “Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm”
b) “Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9”
Hướng dẫn giải
Kết quả của mỗi lần thử là một cặp (i; j) với i và j lần lượt là số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc, hai con xúc xắc gieo đồng thời nên không quan tâm thứ tự, ta có không gian mẫu là:
\(\Omega = \begin{array}{l}\{(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6),\\(4;4),(4;5),(4;6),(5;5),(5;6),(6;6)\}\end{array} \)
Không gian mẫu gồm có 21 kết quả, tức là \(n\left( \Omega \right) = 21\)
a) Ta có tập hợp miêu tả biến cố A
\(A = \left\{ {(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 6\)
Do đó, xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{21}} = \frac{2}{7}\)
b) Ta có tập hợp miêu tả biến cố B
\(B = \left\{ {(6;3),(5;4)} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 2\)
Do đó, xác suất của biến cố B là: \(P\left( B \right) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{21}}\)
Câu 2: Gieo đồng thời 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:
a) “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”
b) “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”
Hướng dẫn giải
a) Gọi biến cố A: “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc không chia hết cho 3” là biến cố đối của biến cố ‘Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\)
A xảy ra khi mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc đều xuất hiện số chấm không chi hết cho 3. Số kết quả thuận lợi cho A là: \(n(A) = {4^3}\)
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{{4^3}}}{{{6^3}}} = \frac{8}{{27}}\)
Vậy xác suất của biến cố “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3” là \(1 - \frac{8}{{27}} = \frac{{19}}{{27}}\)
b) Gọi biến cố B: “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 4” là biến cố đối của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”
Tổng số kết quả của phép thử có thể xảy ra là \(n(\Omega ) = {6^3}\)
Ta có tập hợp kết quả thuận lợi cho biến cố B như sau: \(B = \left\{ {(1;1;1),(1;1;2)} \right\}\). Số kết quả thuận lợi cho B là: \(n(A) = 2\)
Xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{2}{{{6^3}}} = \frac{1}{{108}}\)
Vậy xác suất của biến cố “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4” là \(1 - \frac{1}{{108}} = \frac{{107}}{{108}}\)
Qua bài giảng trên giúp các em học sinh:
- Cách tính xác suất trong một số bài toán đơn giản bằng phương pháp tổ hợp.
- Cách tính xác suất trong một số bài toán đơn giản bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây.
- Nắm và vận dụng quy tắc tính xác suất của biến cố đối.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 10 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần
Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Cho biết xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:
Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Cho biết xác suất để được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp là
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 10 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khám phá 1 trang 81 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 82 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng trang 83 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 83 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 84 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 3 trang 84 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 4 trang 84 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 84 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 1 trang 85 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 2 trang 85 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 3 trang 85 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 4 trang 85 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 5 trang 85 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần
Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Cho biết xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:
Gieo đồng tiền 5 lần cân đối và đồng chất. Cho biết xác suất để được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp là
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là:
Một con súc sắc đồng chất được đổ 6 lần. Xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là
Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất của biến cố “Tổng số chấm của hai con súc sắc bằng 6” là
Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt chia hết cho 3 là:
Gieo ba con súc sắc. Xác suất để nhiều nhất hai mặt 5 là:
Gieo một con súc sắc 3 lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả 3 lần là:
Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá ách (A) hay lá rô là:
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Hãy so sánh khả năng xảy ra của hai biến cố:
A: “Mặt xuất hiện có số chấm là số chẵn”
B: “Mặt xuất hiện có số chấm là số lẻ”
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:
a) “Hai mặt xuất hiện có cùng số chấm”
b) “Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện bằng 9”
Hãy tính xác suất của hai biến cố được nêu ra ở hoạt động khởi động của bài học
Ba bạn Lan, Mai và Đào đặt thẻ học sinh của mình vào một hộp kín, sau đó mỗi bạn lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố “Không bạn nào lấy đúng thẻ của mình”
Một hộp có 10 tấm thẻ giống nhau được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố “Tích các số ghi trên ba thẻ đó là số chẵn”
Gieo đồng thời 3 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của các biến cố:
a) “Tích các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc chia hết cho 3”
b) “Tổng các số chấm ở mặt xuất hiện trên ba con súc sắc lớn hơn 4”
Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra:
a) Có ít nhất 1 bi xanh
b) Có ít nhất 2 bi đỏ
Có 1 hạt gạo nếp nằm trong một cái thùng chứa 10 kg gạo tẻ. Lấy ngẫu nhiên một hạt gạo từ thùng. Theo bạn, hạt gạo lấy ra là gạo tẻ hay gạo nếp?
Tung ba đồng xu cân đối và đồng chất. Xác định biến cố đối của mỗi biến cố sau và tính xác xuất của nó:
a) “Xuất hiện ba mặt sấp”
b) “Xuất hiện ít nhất một mặt sấp”
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 10”
b) “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 3”
Hộp thứ nhất đựng 1 thẻ xanh, 1 thẻ đỏ và 1 thẻ vàng. Hộp thứ hai đựng 1 thẻ xanh, 1 thẻ đỏ. Các tấm thẻ có kích thước có khối lượng như nhau. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ
a) Sử dụng sơ đồ hình cây, hãy liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra
b) Tính xác suất của biến cố “Trong 2 thẻ lấy ra có ít nhất 2 thẻ màu đỏ”
Trong hộp có một số quả bóng màu xanh và màu đỏ có kích thước và khối lượng như nhau. An nhận thấy nếu lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp thì xác suất để 2 quả bóng này khác nhau là 0,6. Hỏi xác suất để lấy ra hai quả bóng cùng màu là bao nhiêu?
Năm bạn Nhân, Lễ, Nghĩa, Trí và Tín sắp xếp một cách ngẫu nhiên thành một hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất của biến cố:
a) “Nhân và Tín không đứng cạnh nhau”
b) “Trí không đứng ở đầu hàng”
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\( P(\overline{A}\cup \overline{B})= P(\overline{A\cap B})\)
\(=1- P(A\cap B)=1-P(A)P(B)\)
\(=1-0,3.0,6=0,82\).
Câu trả lời của bạn
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\)
\(= P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( A \right)P\left( B \right)\)
\(= 0,6 + 0,3 - 0,18 = 0,72\).
Câu trả lời của bạn
Đặt \(A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3},B \)
\(= {B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}\), \(P(A)=P(A_1\cup A_2\cup A_3)=\dfrac{1}{2}\), \(P(B)=P(B_1\cup B_2\cup B_3)=\dfrac{1}{2}\), \(P(A\cap B)=P(A.B)=P(A).P(B)\)
\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)
Cần tính \(P\left( {A \cup B} \right)\)
Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) \)
\(- P\left( {A \cap B} \right)\)
\(= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\)
\(= \dfrac{3}{4}\).
Câu trả lời của bạn
Chọn ngẫu nhiên \(2\) người của một tổ \(10\) người nên số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=C_{10}^2\).
Kí hiệu \(A_1\) là biến cố: “Trong hai người có một nữ”.
Biến cố \(A_1\) là chọn \(1\) nữ trong \(3\) nữ và chọn \(1\) bạn nam trong \(7\) bạn nam.
Nên số phần tử của biến cố là: \(n(A_1)={C_7^1.C_3^1}\)
Vậy xác suất sao cho trong hai người được chọn có một nữ là
\(P\left( {{A_1}} \right) =\dfrac{n(A_1)}{n(\Omega)}\)
\(= \dfrac{{C_7^1C_3^1}}{{C_{10}^2}} = \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{7}{{15}}\).
Câu trả lời của bạn
Biến cố trong \(2\) người được chọn có ít nhất một người là nữ là biến cố đối của biến cố \(A_0\) không có người nữ nào.
Do đó theo hệ quả với mọi biến cố \(A\) ta có \(P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)\)
Ta có \(P\left( {\overline {{A_0}} } \right) = 1 - P\left( {{A_0}} \right) = 1 - \dfrac{7}{{15}} = \dfrac{8}{{15}}\).
Câu trả lời của bạn
Chọn ngẫu nhiên \(2\) người của một tổ \(10\) người nên số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=C_{10}^2\).
Kí hiệu \({A_0}\) là biến cố: “Trong hai người đã chọn không có nữ nào”.
Biến cố \(A_0\) là chọn \(2\) người nam trong \(7\) người nam.
Khi đó số phần tử của biến cố \(n(A_0)=C_7^2\)
Vậy xác suất sao cho trong hai người được chọn không có nữ là \(P\left( {{A_0}} \right)=\dfrac{n(A_0)}{n(\Omega)} = \dfrac{{C_7^2}}{{C_{10}^2}} = \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{7}{{15}}\).
Câu trả lời của bạn
Chọn ngẫu nhiên \(2\) người của một tổ \(10\) người nên số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega)=C_{10}^2\).
Kí hiệu \({A_2}\) là biến cố: “Hai người đã chọn đều là nữ”.
Biến cố \(A_2\) là chọn \(2\) người nữ trong \(3\) người nữ nên số phần tử của biến cố là \(n(A_2)=C_3^2\)
Vậy xác suất sao cho hai người được chọn đều là nữ là \(P\left( {{A_2}} \right) = \dfrac{{n\left( {{A_2}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{C_3^2}}{{C_{10}^2}} = \dfrac{3}{{45}} = \dfrac{1}{{15}}\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *