DapAnHay mời các em học sinh tham khảo bài Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ bên dưới đây, thông qua bài giảng này các em dễ dàng hệ thống lại toàn bộ kiến thức đã học, bên cạnh đó các em còn nắm được phương pháp giải các bài tập và vận dụng vào giải các bài tập tương tự. Chúc các em có một tiết học thật hay và thật vui khi đến lớp!
*Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right)\). Khi đó điểm M(x: y) thuộc đường thẳng \(\Delta \) khi và chỉ khi tổn tại số thực t sao cho \(\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow u \), hay \(\left\{ \begin{array}{l} Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số). |
---|
Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {4; - 1} \right)\).
Giải
Phương trinh tham số của đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 4t\\
y = - 3 - t
\end{array} \right.\)
*Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. |
---|
Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2: 1) và nhận \(\overrightarrow n \left( {3;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
Giải
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là 3(x - 2)+ 4(y - 1) = 0 hay 3x + 4y - 10 = 0
Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta \): ax + by + c = 0
+ Nếu b = 0 thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng x = m (với \(m = - \frac{c}{a}\)) và \(\Delta \) vuông góc với Ox.
+ Nếu \(b \ne 0\) thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng y = nx + p (với \(n = - \frac{a}{b},p = - \frac{c}{b}\))
* Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng
+ Nếu a=0 và b \( \ne \) 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c =0 trở thành y
Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm \(y = - \frac{c}{b}\) (Hình sau).
+ Nếu b =0 và a \( \ne \) 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c =0 trở thành \(x = - \frac{c}{a}\)
Khí đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm \(\left( { - \frac{c}{a};0} \right)\) (Hình sau)
Trong cả hai trường hợp này, đường thẳng d không phâi là đồ thị của hàm số bậc nhất.
Cho \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\).
Toạ độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0
\end{array} \right.(*)\)
\({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) ⇔ hệ (*) có nghiệm duy nhất \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\) ⇔ hệ (*) vô nghiệm. \({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2}\) ⇔ hệ (*) có vô số nghiệm. |
---|
Chú ý
Dựa vào các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) hoặc các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) của \(\overrightarrow {{\Delta _1}} ,\overrightarrow {{\Delta _2}} \) ta có:
+ \({{\Delta _1}}\) Và \({{\Delta _2}}\) song song hoặc trùng nhau ⇔ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương ⇔ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương.
+ \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\) cắt nhau ⇔ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương ⇔ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương.
Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng \(\Delta :x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0\) và mỗi đường thẳng sau:
\(\begin{array}{l}
{\Delta _1}:\sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0;\\
{\Delta _2}:\sqrt 2 x - 2y = 0.
\end{array}\)
Giải
Vì \(\begin{array}{l}
x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 } \right) = 0\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0.
\end{array}\)
Vậy \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _1}}\) là một, tức là chúng trùng nhau.
Hai đường thẳng \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _2}}\) có hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {1; - \sqrt 2 } \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; - 2} \right)\) cùng phương.
Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng \({{\Delta _2}}\) nhưng không thuộc đường thẳng \({{\Delta}}\) nên hai đường thẳng này không trùng nhau.
Vậy \({{\Delta}}\) và \({{\Delta _2}}\) song song với nhau.
- Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng. - Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°. - Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\). Với các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)\) trong ứng. Khi đó, góc \(\varphi \) giữa hai đường thằng đó được xác định thông qua công thức \(cos\varphi = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\) |
---|
Ví dụ: Tỉnh góc giữa hai đường thằng
\({\Delta _1}:\sqrt 3 x - y + 2 = 0\) và \({\Delta _2}:x - \sqrt 3 y - 2 = 0\).
Giải
Vectơ pháp tuyến của \({{\Delta _1}}\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\), của \({{\Delta _2}}\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\). Ta có
\(cos\varphi = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + \left( { - 1} \right).\left( { - \sqrt 3 } \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Do đó, góc giữa \({{\Delta _1}}\) và \({{\Delta _2}}\) là \(\varphi = {30^0}\).
Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\Delta } \right)\), được tính bởi công thức \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) |
---|
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm M(2; 4) đến đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 12 = 0.\)
Giải
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\), ta có
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.2 + 4.4 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2\)
Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta\) là 2.
Câu 1: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:
a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1;1)\)và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\)
b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 7} \right)\)
c) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M(4;0),N(0;3)\)
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {5; - 3} \right)\), nên ta có phương trình tham số của \(\Delta \) là :
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\)
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\)
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:
\(3(x - 1) + 5(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y - 8 = 0\)
b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 7} \right)\), nên có phương trình tham số là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 7t\end{array} \right.\)
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 7} \right)\),nên có vectơ pháp tuyền là \(\overrightarrow n = \left( {7;2} \right)\) và đi qua \(O(0;0)\)
Ta có phương trình tổng quát là
\(7(x - 0) + 2(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 7x + 2y = 0\)
c) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M(4;0),N(0;3)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \overrightarrow {MN} = ( - 4;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (3;4)\)
Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 4t\\y = 3t\end{array} \right.\)
Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(3(x - 4) + 4(x - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0\)
Câu 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({d_1}:x - 5y + 9 = 0\) và \({d_2}:10x + 2y + 7 = 10\)
b) \({d_1}:3x - 4y + 9 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 4t\\y = 4 + 3t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 8t\\y = 1 + 6t\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
a) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {10;2} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.10 + ( - 5).2 = 0\) nên \(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y + 9 = 0\\10x + 2y + 7 = 10\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{{52}}\\y = \frac{{93}}{{52}}\end{array} \right.\)
Suy ra hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) vuông góc và cắt nhau tại \(M\left( { - \frac{3}{{52}};\frac{{93}}{{52}}} \right)\)
b) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3, - 4} \right)\)
\(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(1;1)\) thuộc \({d_2}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_1}\), ta được \(3.1 - 4.1 + 9 = 8 \ne 0\), suy ra A không thuộc đường thẳng \({d_1}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) song song
c) \({d_1}\)và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6; - 8} \right)\)
Ta có \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 3.( - 8) - ( - 4).6 = 0\)suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra \({d_1}\)và \({d_2}\)song song hoặc trùng nhau
Lấy điểm \(A(1;1)\) thuộc \({d_2}\), thay tọa độ của A vào phương trình \({d_1}\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 5 + 4t\\1 = 4 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow t = - 1\), suy ra A thuộc đường thẳng \({d_1}\)
Vậy hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau
Câu 3: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số \(y = x\) và \(y = 2x + 1\)
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị hàm số ta có phương trình tổng quát
\(y = x \Leftrightarrow {d_1}:x - y = 0\), \(y = 2x + 1 \Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0\)
Từ đó ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1} \right)\)
\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + ( - 1).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) \approx 18^\circ 26'\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng có đồ thị đã cho gần bằng \(18^\circ 26'\)
Qua bài giảng trên giúp các em học sinh:
- Nắm được khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng, nắm cách viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết 1 vectơ chỉ phương và đi qua 1 điểm.
- Nắm mối liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng.
- Biết cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng.
- Biết cách xác định góc giữa hai đường thẳng.
- Xác định vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1:x-2y+1=0\) và \(d_2:-3x+6y-10=0\).
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 5t\\ y = 1 + 4t \end{array} \right.\)
Đường thẳng đi qua điểm \(A(1;-2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (-2;4)\) có phương trình tổng quát là phương trình nào dưới đây?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khởi động trang 46 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 1 trang 46 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 47 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 47 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 1 trang 48 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 48 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 49 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 2 trang 49 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 3 trang 51 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 3 trang 51 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 4 trang 51 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 4 trang 53 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 4 trang 53 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 5 trang 54 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 6 trang 54 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 5 trang 56 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 5 trang 56 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 7 trang 56 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 6 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 6 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 1 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 2 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 3 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 4 trang 57 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 5 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 6 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 7 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 8 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 9 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 10 trang 58 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1:x-2y+1=0\) và \(d_2:-3x+6y-10=0\).
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 5t\\ y = 1 + 4t \end{array} \right.\)
Đường thẳng đi qua điểm \(A(1;-2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (-2;4)\) có phương trình tổng quát là phương trình nào dưới đây?
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm \(A(a;b)\)?
Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \(x-3y+4=0\) và \(2x+3y-1=0\) đến đường thẳng \(\Delta : 3x+y+4=0\) bằng bao nhiêu?
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \(d_1:6x-5y+15=0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 10 - 6t\\ y = 1 + 5t \end{array} \right.\)
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + t\\ y = - 2 - 2t \end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 2t'\\ y = - 8 + 4t' \end{array} \right.\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;4), B(3;2) và C(7;3). Viết phương trình tham số của đường trung tuyến CM của tam giác.
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(4;-7) và song song với trục Ox.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3;2), P(4;0) và Q(0;-2). Đường thẳng đi qua điểm A và song song với PQ có phương trình tham số là:
Tìm các giác trị của tham số a, b, c để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được các đường thẳng dưới đây.
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và vectơ \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) và \(\overrightarrow u = \left( {b; - a} \right)\) khác vectơ 0. Cho biết \(\overrightarrow u \) có giá song song hoặc trùng với \(\Delta \).
a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow n \overrightarrow {.u} \) và nêu nhận xét về phương của hai vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow u \)
b) Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm di động trên \(\Delta \). Chứng tỏ rằng vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) luôn cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \) và luôn vuông góc với vectơ \(\overrightarrow n \)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\) là vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc \(\Delta \), tìm tọa độ của điểm M theo tọa độ của \({M_0}\) và \(\overrightarrow u \)
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm \(B( - 9;5)\) và nhận \(\overrightarrow v = (8; - 4)\) là vectơ chỉ phương
b) Tìm tọa độ điểm P trên \(\Delta \),biết P có tung độ bằng 1.
Một trò chơi đua xe ô tô vượt da mặt trên máy tính là xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đều từ điểm \(M(1;1)\) với Vectơ vận tốc\(\overrightarrow v = (40;30)\)
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường đi của ô tô
b) Tìm tọa độ của xe tương ứng với t = 2; t = 4
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc \(\Delta \), chứng tỏ rằng điểm \(M\left( {x;y} \right)\) có tọa độ thỏa mãn phương trình:
\(ax + by + c = 0\) (với \(c = - a{x_0} - b{y_0}\))
Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:
a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1;1)\)và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;5} \right)\)
b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 7} \right)\)
c) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M(4;0),N(0;3)\)
Một người đã lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Người đó viết lệnh để một điểm \(M(x;y)\) từ vị trí \(A(1;2)\) chuyển động thẳng đều với Vectơ vận tốc \(\overrightarrow v = (3; - 4)\)
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) biểu diễn đường đi của điểm M
b) Tìm tọa độ của điểm M khi \(\Delta \) cắt trục hoành
Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong thực hành 2
Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với vận tốc là 2 \({m^3}/h\) vào một cái bể đã chứa sẵn 5 \({m^3}\) nước.
a) Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ
b) Gọi \(y = f(x)\)là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này
c) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) một vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \)
Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) trong các trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương (hình 5a,b)
b) \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương (hình 5c,d)
c) \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \)vuông góc (hình 5d)
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \({d_1}\)và \({d_2}\) trong các trường hợp sau:
a) \({d_1}:x - 5y + 9 = 0\) và \({d_2}:10x + 2y + 7 = 10\)
b) \({d_1}:3x - 4y + 9 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\)
c) \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 4t\\y = 4 + 3t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 8t\\y = 1 + 6t\end{array} \right.\)
Viết phương trình đường thẳng \({d_1}\):
a) Đi qua điểm \(A(2;3)\) và song song với đường thẳng \({d_2}:x + 3y + 2 = 0\)
b) Đi qua điểm \(B(4; - 1)\) và vuông góc với đường thẳng \({d_3}:3x - y + 1 = 0\)
Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết \(\widehat {xOz} = 38^\circ \) (hình 6)
Tính số đo các góc \(\widehat {xOt},\widehat {tOy}\) và \(\widehat {yOz}\)
Cho hai đường thẳng
\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) (\({a_1}^2 + {b_1}^2 > 0\)) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) \(\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 > 0} \right)\)
có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
Tìm tọa độ \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \)và tính \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\)
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) trong các trường hợp sau
a) \({\Delta _1}:x + 3y - 7 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 2y + 3 = 0\)
b) \({\Delta _1}:4x - 2y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 13 + 2t\end{array} \right.\)
c) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 7 + 2t\\y = 1 - t\end{array} \right.\)
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hai hàm số \(y = x\) và \(y = 2x + 1\)
Trong mặt phẳng Oxy. Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) và cho điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)có hình chiếu vuông góc \(H\left( {{x_H};{y_H}} \right)\)trên \(\Delta \)(hình 9).
a) Chứng minh rằng hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \)cùng phương và tìm tọa độ của chúng
b) Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {H{M_0}} \).
Chứng minh rằng \(p = a{x_0} + b{y_0} + c\)
c) Giải thích công thức \(\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \frac{{\left| p \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là \(A(1;1),B(5;2),C(4;4)\). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:4x - 3y + 2 = 0\) và \({d_2}:4x - 3y + 12 = 0\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *