DapAnHay xin giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Bài giảng có lý thuyết được tóm tắt ngắn gọn và các bài tập minh hoạ kèm theo lời giải chi tiết cho các em tham khảo, rèn luyện kỹ năng giải Toán 10 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng tham khảo.
Cho tập hợp A có n phần tử (\(n \ge 1\)). Mỗi cách sắp xếp n phản tử của A theo một thứ tự gợi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phân tử). |
---|
Kí hiệu Pn là số hoán vị của n phần tử
Người ta chứng minh được rằng:
Số các hoán vị của m phần tử (\(n \ge 1\)) bằng \({P_n} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...2.1.\) |
---|
Chú ý:
+ Ta đưa vào kí hiệu: \(n! = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...2.1.\) và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n.
Khi đó, Pn = n!.
+ Quy ước: 0! =1.
Ví dụ
Bãi đỗ xe ô tô còn lại ba chỗ trông như Hình bên dưới.
Có ba chiếc ö tô đkí hiệu A, B, C) đang đi vào bãi để đỗ xe.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trông?
b) Vẽ sơ đồ hình cây về các cách sắp xếp và kiểm tra kết quả tính toán ở trên.
Giải
a) Mỗi cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trống là một hoán vị của ba chiếc xe. Do đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trồng là P3 = 3.2.1= 6 (cách)
b) Sơ đồ hình cây như Hình bên dưới.
Sơ đồ có ba cành lớn, mỗi cành lớn có hai cành vừa, mỗi cành vừa có một cành bé. Tử đó, số cành bẻ bằng 3.2. 1 =6. Từ đó, số cách sắp xếp ba chiếc xe vào ba chỗ trông là 6 cách.
Cho tập hợp A có n phân tử (\(n \ge 1\)) và sô nguyên k với \(1 \le k \le n\). Mỗi cách lây k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một cchỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. |
---|
Người ta chứng minh được rằng
Số các chỉnh hợp chập k của n phân tử \(1 \le k \le n\) bằng
\(A_n^k = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó.
Ta có: \({P_n} = A_n^k,n \ge 1.\)
Ví dụ:
Phần thi chưng kết nôi dung chạy cư li 1 500 m của một giải đầu có 10 vận động viên tham gia. Có bao nhiêu kh năng về kêt quả 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng sau khi phần thi kết thúc ? Biết rằng không có hai vận đông viên nào về đích cùng lúc.
Giải
Mỗi kết quả về 3 vận động viên đoạt huy chương vàng, bạc và đồng của nội dung thi đấu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 vận động viên.
Do đó, số kết quả có thể là \(A_{10}^3 = 10.9.8 = 720\).
Cho tập hợp A có n phân tử (\(n \ge 1\)) Mỗi tập con gồm k phần tử (\(1 \le k \le n\)) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phân tử. |
---|
Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phần tử \(1 \le k \le n\)
Người ta chứng minh được rằng:
Số các tổ hợp chập k của n phần tử \(1 \le k \le n\) bằng \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) |
---|
Chú ý: Người ta quy ước \(C_n^0 = 1\).
Ví dụ
Tổ Một có 9 thành viên. Tuần tới là phiên trực nhật của tổ, nên cần phân công 4 bạn đi bê ghế của lớp cho buổi chào cờ
a) Tổ có bao nhiều cách phân công 4 bạn đi bê ghế?
b) Tổ có bao nhiêu cách chọn 5 bạn không phải đi bê ghế?
Giải
a) Mỗi cách phân công 4 bạn từ 9 bạn là môt tô hợp chập 4 của 9 bạn. Do đó, số cách phân công 4 bạn của tổ đi bê ghế là
\(C_9^4 = \frac{{9!}}{{4!5!}} = \frac{{9.8.7.6}}{{4.3.2}} = 126\) (cách)
b) Tương tự, sô cách chọn 5 bạn từ 9 bạn không phải đi bê ghế là
\(C_9^5 = \frac{{9!}}{{5!4!}} = 126\) (cách)
Nhận xét: Ở ví dụ trên, ta thấy \(C_9^4 = C_9^5\). Tổng quát, ta có hệ thức:
\(C_n^k = C_n^{n - k}\left( {0 \le k \le n} \right)\)
Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
Ví dụ
a) Đề tính \({P_8} = 8!\), ta ân liên tiếp các phím thì nhận được kết quả là 40 320.
b) Để tính \(A_{12}^5\), ta ấn liên tiếp các phím thỉ nhân được kêt quả là 95040.
c) Để tính \(C_{20}^{11}\), ta ân liên tiếp các phím thì nhận được kêt quả là 167 960.
Câu 1: Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?
Hướng dẫn giải
Mỗi khả năng về thứ hạng của các đội bóng trong mùa giải là hoán vị của các đội bóng tham gia. Do đó, số khả năng về thứ hạng của các đội bóng trong mùa giải là:\({P_{14}} = 14!\) (cách)
Câu 2: Từ 7 chữ số số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được các số có 3 chữ số đôi một khác nhau
a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?
b) Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?
Hướng dẫn giải
a) Mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau lập được từ 7 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 7 chữ số. Do đó, số các số lập được là
\(A_7^3 = 7.6.5 = 210\) (số)
b) Việc lập ra được một số lẻ phải qua 2 công đoạn
Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ, có 4 cách chọn (1; 3; 5 hoặc 7)
Công đoạn 2: Chọn 2 chữ số bất kì trong 6 chữ số còn lại và sắp xếp chúng cho vị trí chữ số hàng trăm và hàng chục, mỗi số như vậy là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử, nên số các số được lập ra là:
\(A_6^2 = 6.5 = 30\) (cách)
Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có 3 chữ số lập được từ 7 chữ số đã cho là số lẻ là:
\(4.30 = 120\) (số)
Câu 3: Tính:
a) \(C_7^2\)
b) \(C_9^0 + C_9^9\)
c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3\)
Hướng dẫn giải
a) \(C_7^2 = \frac{{7!}}{{2!.5!}} = \frac{{7.6}}{2} = 21\)
b) \(C_9^0 + C_9^9 = \frac{{9!}}{{0!.9!}} + \frac{{9!}}{{9!.0!}} = 2\)
c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3 = \frac{{15!}}{{3!.12!}} - \frac{{14!}}{{3!.11!}} = \frac{{15.14.13}}{{3.2.1}} - \frac{{14.13.12}}{{3.2.1}} = 91\)
Qua bài giảng trên giúp các em học sinh:
- Nắm được các khái niệm về hoán vị, số các hoán vị, chỉnh hợp và số các chỉnh hợp.
- Vận dụng tốt hoán vị, chỉnh hợp vào giải bài tập
- Biết sử dụng máy tính cầm tay để giải toán.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 8 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu. Mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất là một huy chương và đội nào cũng có thể đoạt huy chương. Khi đó, số cách trao 3 loại huy chương vàng, bạc, đồng cho ba đội nhất nhì ba là:
Có bao nhiêu số là ước dương của \({2^{10}}{.3^6}{.5^8}\) và chia hết cho \({2^5}{.3^2}{.5^4}\)?
Trong một bình đựng 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên. Có bao nhiêu cách lấy được 2 viên cùng màu?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 8 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khởi động trang 26 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 1 trang 26 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 28 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 1 trang 28 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 28 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 29 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 29 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 3 trang 31 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 4 trang 31 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 2 trang 31 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 5 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 1 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 2 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 3 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 4 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 5 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 6 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 7 trang 32 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu. Mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất là một huy chương và đội nào cũng có thể đoạt huy chương. Khi đó, số cách trao 3 loại huy chương vàng, bạc, đồng cho ba đội nhất nhì ba là:
Có bao nhiêu số là ước dương của \({2^{10}}{.3^6}{.5^8}\) và chia hết cho \({2^5}{.3^2}{.5^4}\)?
Trong một bình đựng 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên. Có bao nhiêu cách lấy được 2 viên cùng màu?
Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành 1 hàng dọc sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau. Số cách xếp là:
Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số trên?
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9?
Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Từ 5 chữ số này, ta lập các số chẵn có 5 chữ số khác nhau. Số các số có thể lập được là:
Dũng có 8 người bạn. Dũng muốn mời 4 trong 8 người bạn đó về quê chơi vào cuối tuần. Nhưng trong 8 người bạn đó, có 2 bạn là Hùng và Tuấn không thích đi chơi với nhau. Như vậy số cách chọn nhóm 4 người để về quê của Dũng là?
Một tổ có 6 học sinh, trong đó có 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh trong tổ thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau?
Một hội đồng gồm 5 nam và 4 nữ được tuyển vào một ban quản trị gồm 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách tuyển chọn?
Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ?
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 cầu thủ đó theo thứ tự để thực hiện loạt đá luân lưu? Bằng cách sử dụng quy tắc nhân, bạn có tìm được câu trả lời?
Học xong bài này, bạn hãy tìm cách nhanh hơn để trả lời các câu hỏi trên.
Sau giờ thực hành trải nghiệm, ba đội A, B, C bốc thăm để xác định thứ tự trình bày, thuyết minh về sản phẩm của mỗi đội
a) Hãy liệt kê tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra
b) Có tất cả bao nhiêu kết quả như vậy? Ngoài cách đếm lần lượt từng kết quả có cách tìm nào nhanh hơn không?
Một nhóm bạn gồm 6 thành viên cùng đi xem phim, đã mua 6 vé có ghế ngồi cùng dãy và kế tiếp nhau (như hình 3). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm?
Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?
Tại một trạm quan sát có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng và cam (kí hiệu Đ, T, X, V, C). Khi cần báo một tín hiệu, người ta chọn ba lá cờ và cắm vào 3 vị trí sẵn thành một hàng (Xem hình 4)
a) Hãy chỉ ra ít nhất 4 cách chọn và cắm cờ để báo 4 tín hiệu khác nhau
b) Bằng cách này, có thể báo nhiều nhất bao nhiêu tín hiệu khác nhau?
Từ 7 chữ số số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được các số có 3 chữ số đôi một khác nhau
a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?
b) Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?
Lan vừa mua 4 cuốn sách kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè
a) Hãy liệt kê tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn từ 4 cuốn sách. Có tất cả bao nhiêu cách?
b) Lan dự định đọc lần lượt từng cuốn. Lan có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự 3 cuốn đã chọn?
c) Lan có bao nhiêu cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một?
Tính:
a) \(C_7^2\)
b) \(C_9^0 + C_9^9\)
c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3\)
Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt
a) Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?
b) Sau giải đấu, ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp lên trường. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp lên trường?
Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như hình 8
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho?
b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho?
Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A_{15}^{10}\)
b) \(C_{10}^6 + C_{10}^7 + C_{11}^8\)
c) \(C_5^1C_{20}^2 + C_5^2C_{20}^1\)
Cần xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp?
b) Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách sắp xếp?
Từ các chữ số sau đây, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?
a) 1; 2; 3; 4; 5; 6
b) 0; 1; 2; 3; 4; 5
Tổ 1 có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử 3 bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp như sau?
a) 3 bạn được chọn bất kỳ
b) 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ
Từ một danh sách gồm 8 người, người ta bầu ra một ủy ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư ký và một ủy viên. Có bao nhiêu khả năng có thể về kết quả bầu ủy ban này?
Một nhóm gồm 7 bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện. Theo chỉ dẫn của trung tâm, 3 bạn hỗ trợ đi lại, 2 bạn hỗ trợ tắm rửa và 2 bạn hỗ trợ ăn uống. Có bao nhiêu cách phân công các bạn trong nhóm làm các công việc trên?
Có 4 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo thành những hình bình hành (như hình 10). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?
Mùa giải 2019, giải bóng đá vô địch quốc gia (V.League) có 14 đội bóng tham gia. Các đội bóng đấu vòng tròn 2 lượt đi và về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Số cách chọn 2 số chẵn trong tập hợp {2; 4; 6; 8} là: \(C_4^2\) cách.
Số cách chọn 2 số lẻ trong tập hợp {1; 3; 5; 7; 9} là: \(C_5^2\) cách.
Số cách hoán vị 4 chữ số đã chọn lập thành 1 số tự nhiên là: 4! cách.
Vậy có 4!*\(C_4^2\)*\(C_5^2\) số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu trả lời của bạn
Số cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.
Suy ra có \(A_6^4 = 360\) cách.
Câu trả lời của bạn
Số các hoán vị về màu bi khi xếp thành dãy là 3!
Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành dãy là 3!
Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành dãy là 4!
Số cách xếp 5 viên bi xanh khác nhau thành dãy là 5!
⇒ Số cách xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là 3!. 3!. 4!. 5! = 103680 cách.
Câu trả lời của bạn
Mỗi khách có \(6\) cách chọn toa.
Vậy theo quy tắc nhân, số cách lên tàu tùy ý là \(6.6.6.6.6.6.6=6^7\).
Câu trả lời của bạn
Có \(C_{10}^5\) cách chọn \(5\) chữ số khác nhau để lập số cần thiết. Nhưng khi đã có \(5\) chữ số khác nhau rồi, chỉ có một cách xếp \(5\) chữ số đó để tạo nên số cần thiết. Vậy có \(C_{10}^5 = 252\) số.
Câu trả lời của bạn
Mỗi giao điểm của hai đường chéo ứng với một và chỉ một tập hợp gồm \(4\) điểm từ tập hợp \(7\) đỉnh của đa giác. Vậy có \(C_7^4 = 35\) giao điểm.
Câu trả lời của bạn
Cách thứ nhất: Chọn \(9\) bạn nam trong \(50\) bạn để làm trực nhật. Có \(C_{50}^9\) cách.
Khi đã chọn được \(9\) bạn rồi, chọn \(4\) trong \(9\) bạn đó để quét sân. Có \(C_9^4\) cách.
Từ đó, theo quy tắc nhân, có \(C_{50}^9.C_9^4\) cách phân công.
Cách thứ hai: Chọn \(4\) trong \(50\) bạn để quét sân, sau đó chọn \(5\) trong \(46\) bạn còn lại để xén cây. Vậy có \(C_{50}^4.C_{46}^5\) cách phân công.
Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh.
Câu trả lời của bạn
Quả thứ nhất có \(3\) cách đặt ;
Quả thứ hai có \(3\) cách đặt ;
Quả thứ ba có \(3\) cách đặt.
Theo quy tắc nhân, số cách đặt là \({3^3} = 27\).
Câu trả lời của bạn
Th1: ba quả cầu được đặt vào một hộp có \(3\) cách đặt
Th2: hai quả cầu được đặt vào một hộp có \(3\) cách đặt, một quả cầu đặt vào hai cái hộp có \(2\) cách đặt, theo quy tắc nhân, có \(3.2=6\) cách
Th3: mỗi quả cầu đặt vào một hộp có \(1\) cách.
Theo quy tắc cộng, có \(3+6+1=10\) cách
Câu trả lời của bạn
Để xác định, các ghế được đánh số từ \(1\) đến \(10\) tính từ trái sang phải.
Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số lẻ thì các bạn nữ ngồi ở các ghế còn lại. Có \(5!\) cách xếp bạn nam, \(5!\) cách xếp bạn nữ. Tất cả có \({\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp.
Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số chẵn, các bạn nữ ngồi ở các ghế còn lại thì có \({\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp nam và nữ.
Vậy có tất cả \(2.{\left( {5!} \right)^2}\) cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
Câu trả lời của bạn
Mỗi cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn là một hoán vị của 6 phần tử.
Số cách bày \(6\) loại bánh kẹo vào \(6\) ngăn là \(6!=720\) cách bày bánh kẹo.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *