Dưới đây là lý thuyết và bài tập minh họa về bài Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ Toán 10 Chân trời sáng tạo đã được DapAnHay biên soạn ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu giúp các em dễ dàng nắm được nội dung chính của bài. Mời các em cùng theo dõi.
Cho hai điểm cố định và phân biệt \({F_1},{F_2}\). Đặt \({F_1}{F_2} = 2c > 0\). Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{F_1} + M{F_2} = 2a\) được gợi là đường elip (hay elip). Hai điểm \({F_1},{F_2}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gợi là tiêu cự của elip đó.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điềm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\). (2) Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2), với a > b > 0, đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a. Phương trinh (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng. |
---|
Ví dụ: Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.
Giải
Ta có: a2 = 25, b2 = 16. Do đó \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3\). Vậy elip có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 3;0} \right);{F_2}\left( {3;0} \right)\) và tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 6\). Ta có \(a = \sqrt {25} = 5\), nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a= 10.
Cho hai điểm phân biệt có định \({F_1}\) và \({F_2}\). Đặt \({F_1}{F_2} = 2c\). Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2c\) được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm \({{F_1},{F_2}}\) được gọi là hai tiêu điểm và \({F_1}{F_2} = 2c\) được gọi là tiêu cự của hypebol đó.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a,b > 0\). (4) Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4), với a, b >0, đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right)\), tiêu cự \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mối điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a. Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng. |
---|
Ví dụ: Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?
Giải
Ta có \({a^2} = 9,{b^2} = 16\), nên \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\). Vậy hypebol có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\) và có tiêu cự 2c = 10. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng \(2{\rm{a}} = 2\sqrt 9 = 6\).
Cho một điểm F có định và một đường thẳng \(\Delta \) cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và \(\Delta \) được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, \(\Delta \) được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến \(\Delta \) được gọi là tham số tiêu của parabol đó. Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \). Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên \(\Delta \). Khi đó, trong hệ trục toạ độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình \({y^2} = 2p{\rm{x}}\) (với p > 0) (5) Phương trình (5) được gọi là phương trình chính tắc của parabol (P). Ngược lại, mỗi phương trình dạng (5), với p > 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x = - \frac{p}{2}\). |
---|
Ví dụ: Cho parabol \((P):{y^2} = x\).
a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn \(\Delta \) của (P).
b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.
Giải
a) Ta có 2p = 1 nên \(p = \frac{1}{2}\).
Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{4};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x = - \frac{1}{4}\)
b) Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuuọc (P) có khoảng các tới F bằng 3 khi và chỉ khi \({y_0}^2 = {x_0}\) và MF = 3.
Do \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) nên \(d\left( {M,\Delta } \right) = 3\)
Mặt khác \(\Delta :x + \frac{1}{4} = 0\) và \({x_0} = {y_0}^2 \ge 0\) nên \(3 = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}.\)
Vậy \({x_0} = \frac{{11}}{4}\) và \({y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\) hoặc \({y_0} = - \frac{{\sqrt {11} }}{2}\).
Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán với toạ độ là \(\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)\).
Câu 1: Viết phương trình chính tắc của elip trong hình sau:
Hướng dẫn giải
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(a = 3,c = 2 \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)
Câu 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục nhỏ bằng 6.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(2c = 10 \Rightarrow c = 5,2b = 6 \Rightarrow b = 3\)
Suy ra \(a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)
Vậy phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Câu 3: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\)
Hướng dẫn giải
Từ phương trình đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\) ta có tiêu điểm \(F\left( {1;0} \right)\)
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2x\)
Qua bài giảng trên giúp các em học sinh:
- Nắm vững được KN và PT đường chuẩn của (E) và (H).
- Nắm vững được ĐN ba đường cô nic.
- Xác định được PT đường chuẩn của các đường cônic.
- Lập được PT của cônic khi biết PT đường chuẩn và tâm sai của nó.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm \(F(-3;0)\). Phương trình chính tắc của elip là gì?
Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10.
Cho biết Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) có độ dài trục bé bằng bao nhiêu?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khám phá 1 trang 64 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 64 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 65 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 1 trang 65 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 3 trang 65 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 4 trang 66 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 67 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 2 trang 67 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 5 trang 68 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 6 trang 68 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 1 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 2 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 3 trang 70 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 4 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 5 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 6 trang 71 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm \(F(-3;0)\). Phương trình chính tắc của elip là gì?
Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10.
Cho biết Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) có độ dài trục bé bằng bao nhiêu?
Cho elip \(\left( E \right):{x^2} + 4{y^2} = 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - \,2;0} \right),\,\,{F_2}\left( {2;0} \right)\) và đi qua điểm là:
Cho elip \( \left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) và đường thẳng Δ: y = 3. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (E) đến Δ bằng giá trị nào sau đây?
Cho hypebol (H): \(4x^2 - y^2 = 4\), độ dài của trục thực và trục ảo của (H) lần lượt là:
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có đỉnh A2(3;0) và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là: \( (C):{x^2} + {y^2} = 16\)
Cho hypebol \( (H):{\mkern 1mu} \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Lập công thức tính góc phi tạo bởi 2 đường tiệm cận của (H).
Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của hypebol \(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1\)
Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm \({F_1}\) và \({F_2}\). Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn \({F_1}{F_2}\). Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.
Cho biết 2c là khoảng cách \({F_1}{F_2}\) và \(2a + 2c\) là độ dài của vòng dây.
Tính tổng hai khoảng cách \({F_1}M\) và \({F_2}M\)
Cho elip (E) có các tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) và đặt \({F_1}{F_2} = 2c\). Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \({F_1}( - c;0)\) và \({F_2}(c;0)\)
Xét điểm \(M(x;y)\)
a) Tính \({F_1}M\) và \({F_2}M\) theo x, y và c
b) Giải thích phát biểu sau:
\(M(x;y) \in (E) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} = 2a\)
Viết phương trình chính tắc của elip trong hình 4
Một đường hầm có mặt các hình nửa Elip cao 4 m, rộng 10 m (hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.
Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm \({F_1}\) và \({F_2}\). Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài l sao cho \(d - l = 2a\) nhỏ hơn khoảng cách \({F_1}{F_2}\) (hình 6a).
Đính một đầu dây vào đầu A của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm \({F_2}\). Đặt thước sao cho đầu B của thước trùng với điểm \({F_1}\). Tựa đầu bút chì vào dây, di chuyển điểm M trên tấm bìa và giữ sao cho dây luôn căng, đoạn AM ép sát vào thước, khi đó M sẽ gạch lên tấm bìa một đường (H) (xem hình 6b)
a) Chứng tỏ rằng khi M di động, ta luôn có \(M{F_1} - M{F_2} = 2a\)
b) Vẫn đính một đầu dây vào đầu A của thước nhưng đổi chỗ cố định đầu dây còn lại vào \({F_1}\), đầu B của thước trùng với \({F_2}\) sao cho đoạn thẳng BA có thể quay quanh \({F_2}\)và làm tương tự như lần đầu để bút chì M vẽ được một nhánh khác của đường (H) (hình 6c). Tính \(M{F_2} - M{F_1}\)
Cho hyperbol (H) có các tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) và đặt điểm \({F_1}{F_2} = 2c\). Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \({F_1}( - c;0)\) và \({F_2}(c;0)\)
Xét điểm \(M(x;y)\)
a) Tính \({F_1}M\) và \({F_2}M\) theo x, y và c
b) Giải thích phát biểu sau:
\(M(x;y) \in (H) \Leftrightarrow \left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\)
Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục nhỏ bằng 6.
Một tháp làm nguội của một nhà cát có mặt cắt là một hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{27}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{40}^2}}} = 1\) (hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tìm bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp.
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(F\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\), đường thẳng \(\Delta :y + \frac{1}{2} = 0\) và điểm \(M(x;y)\). Để tìm hệ thức giữa x và y sao cho \(M\) cách đều F và \(\Delta \), một học sinh đã làm như sau:
+) Tính MF và MH (với H là hình chiếu của M trên \(\Delta \)):
\(MF = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2}} ,MH = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {y + \frac{1}{2}} \right|\)
+) Điều kiện để M cách đều F và \(\Delta \):
\(\begin{array}{l}MF = d\left( {M,\Delta } \right) \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \left| {y + \frac{1}{2}} \right|\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 2y \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}{x^2}\left( * \right)\end{array}\)
Hãy cho biết tên đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được.
Cho parabol (P) có tiêu điểm F và đường chuẩn \(\Delta \). Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên \(p > 0\)
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và \(\Delta :x + \frac{p}{2} = 0\)
Xét điểm \(M(x;y)\)
a) Tính MF và \(d\left( {M,\Delta } \right)\)
b) Giải thích biểu thức sau:
\(M(x;y) \in (P) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\)
Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\)
Một cổng chào có hình parabol cao 10 m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m
Viết phương trình chính tắc của:
a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16
b) Hypebol có tiêu cự \(2c = 20\) và độ dài trục thực \(2a = 12\)
c) Parabol có tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\)
Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ của các tiêu điểm của chúng
a) \(({C_1}):4{x^2} + 16{y^2} = 1\)
b) \(({C_2}):16{x^2} - 4{y^2} = 144\)
c) \(({C_3}):x = \frac{1}{8}{y^2}\)
Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình Elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước là 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó trên tấm ván ép như hướng dẫn sau:
Chuẩn bị
- Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.
Thực hiện
- Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh trên 2 điểm đó trên tấm ván.
- Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip (Xem minh họa trong hình 15).
Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm bìa bao nhiêu xentimets và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8 m, rộng 20 m (hình 16)
a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên
b) Tính khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m đến nóc nhà vòm
Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{{28}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{42}^2}}} = 1\) (hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là \(\frac{2}{3}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp
Một cái cầu có dây cáp treo như hình vẽ parabol, cầu dài 100 m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là 30m, thanh ngắn nhất là 6m (hình 18). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *