Để giúp các em học tập hiệu quả môn Toán 10, đội ngũ DapAnHay đã biên soạn và tổng hợp nội dung bài Dấu của tam thức bậc hai. Bài giảng gồm kiến thức cần nhớ về khái niệm tam thức bậc hai, định lý về dấu của tam thức bậc hai,... Bên cạnh đó còn có các bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết, giúp các em học tập và củng cố thật tốt kiến thức. Mời các em cùng tham khảo.
Đa thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là hệ số, \(a \ne 0\) và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai. |
---|
* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi thay x bằng giá trị x0 vào ƒ(x), ta được \(f\left( {{x_0}} \right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc lai tại x0.
+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì ta nói f(x) đương tại x0;
+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì ta nói f(x) âm tại x0;
+ Nếu f(x) đương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f{x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.
* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi đó
+ Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) là nghiệm của f(x).
+ Biểu thức \(\Delta = {b^2} - 4{\rm{a}}c\) và \(\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).
Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét đâu của nó tại x=2
\(\begin{array}{l}
a)f(x) = - {x^2} + x + 3\\
b)g(x) = - 3x + \frac{{13}}{2}
\end{array}\)
Giải
a) Biểu thức \(f(x) = - {x^2} + x + 3\) là một tam thức bậc hai.
\(f(2) = - {2^2} + 2 + 3 = 1 > 0\) nên f(x) đương tại x= 2.
b) Biểu thức \(g(x) = - 3x + \frac{{13}}{2}\) không phải lả một tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). + Nếu \(\Delta \) < 0 thi ƒ(x) cùng đấu với a với mọi giá trị x + Nếu \(\Delta \) = 0 và \({x_0} = - \frac{b}{{2{\rm{a}}}}\) là nghiệm kép của ƒ(x) thì ƒ(x) cùng dấu với a với mọi x kháe x0. + Nến \(\Delta \) > 0 và x1, x2 là hai nghiệm của \(f(x)\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì ƒ(x) trái dấu với a với mọi x trong. khoảng (x1; x2); f(x) cùng đâu với a với mọi x thuộc hai khoảng \(\left( { - \infty ;{x_1}} \right),\left( {{x_2}; + \infty } \right)\). |
---|
Chú ý
a) Để xét dâu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tỉnh và xác định đâu của biệt thức \(\Delta \);
Bước 2: Xác định nghiệm của ƒ(x) (nếu có);
Bước 3: Xác định đâu của hệ sô a,
Bước 4: Xác định dâu của ƒ(x)
b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể đùng biệt thúc thu gọn \(\Delta '\) thay cho biệt thức \(\Delta\).
Ví dụ
Xét dẫu của tam thức bậc hai sau: \(f(x) = - {x^2} + 3{\rm{x}} + 10\)
Giải
\(f(x) = - {x^2} + 3{\rm{x}} + 10\) \(\Delta \) = 49 > 0, hai nghiệm phân biệt là x1 = -2, x2 = 5 và a = - 1 < 0
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Vậy f(x) dương trong khoảng (-2; 5) và âm trong hai khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).
Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại \(x = 1\).
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\);
b) \(g\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^2} + 1\)
c) \(h\left( x \right) = - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\)
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\) là một tam thức bậc hai
\(f\left( 1 \right) = {2.1^2} + 1 - 1 = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) dương tại \(x = 1\)
b) Biểu thức \(g\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^2} + 1\) không phải là một tam thức bậc hai
c) Biểu thức \(h\left( x \right) = - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\) là một tam thức bậc hai
\(h\left( 1 \right) = - {1^2} + \sqrt 2 .1 - 3 = \sqrt 2 - 4 < 0\) nên \(h\left( x \right)\) âm tại \(x = 1\)
Câu 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\)
b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 3\)
Hướng dẫn giải
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\) có \(\Delta = 25 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - \frac{1}{2};{x_2} = 2\)
và \(a = 2 > 0\)
Ta có bảng xét dấu như sau:
Vậy \(f\left( x \right)\) âm trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2},2} \right)\) và dương trong hai khoảng
\(\left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)
b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 3\) có \(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) = - 8 < 0\) và \(a = - 1 < 0\)
Vậy \(g\left( x \right)\)âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Hiểu được khái niệm tam thức bậc hai.
- Hiểu được định lý về dấu của tam thức bậc hai .
- Cách xét dấu của tam thức bậc hai.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac < 0\). Khi đó mệnh đề nào đúng?
Chọn câu đúng. Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - 4\sqrt 2 } \right)x - 3\sqrt 2 + 6\)
Số giá trị nguyên của x để tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) nhận giá trị âm là
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khám phá 1 trang 6 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 7 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 8 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 1 trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 2 trang 9 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 3 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 4 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 5 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 6 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 7 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 8 trang 10 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac < 0\). Khi đó mệnh đề nào đúng?
Chọn câu đúng. Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - 4\sqrt 2 } \right)x - 3\sqrt 2 + 6\)
Số giá trị nguyên của x để tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) nhận giá trị âm là
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 2\) nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 5x - 6\) nhận giá trị dương khi và chỉ khi
Tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{-x^{2}+2 x+3}\) là
Cho tam thức bậc hai \(f(x)=-x^{2}-4 x+5\). Tìm tất cả giá trị của x để \(f(x) \geq 0\)
Tam thức nào dưới đây luôn dương với mọi giá trị của x ?
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{2 x^{2}-5 x+2}\) là
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình sau vô nghiệm \((2m^2 + 1)x^2 - 4mx + 2 = 0 \)
Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + x + 3\)được biểu diễn trong hình 1
a) Biểu thức \(f\left( x \right)\) là đa thức bậc mấy?
b) Xác định dấu của \(f\left( 2 \right)\)
Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại \(x = 1\).
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\);
b) \(g\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^2} + 1\)
c) \(h\left( x \right) = - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\)
Tìm biệt thức và nghiệm của các tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 5x + 2\)
b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 9\)
c) \(h\left( x \right) = 4{x^2} - 4x + 9\)
Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình thức dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết:
+) Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức \(\Delta \)
+) Các khoảng giá trị của \(x\)mà trên đó \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\)
Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\)
b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 3\)
Xét dấu tam thức bậc hai \(h\left( x \right) = - 0,006{x^2} + 1,2x - 30\) trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu
Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
a) \(4{x^2} + 3x + 1\)
b) \({x^3} + 3{x^2} - 1\)
c) \(2{x^2} + 4x - 1\)
Xác định giá trị của m để các đa thức sau là tam thức bậc hai
a) \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\)
b) \(m{x^3} + 2{x^2} - x + m\)
c) \( - 5{x^2} + 2x - m + 1\)
Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng
Xét dấu của các tam thức bậc hai sau đây:
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 4x + 2\)
b) \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 2x + 21\)
c) \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + x - 2\)
d) \(f\left( x \right) = - 4x(x + 3) - 9\)
e) \(f\left( x \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {x - 3} \right)\)
Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số \(h\left( x \right) = - 0,1{x^2} + x - 1\). Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ và ngang vành rổ? Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười.
Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20 cm và chiều rộng 15 cm được uốn lại thành hình chữ nhật mới có kích thước \(\left( {20 + x} \right)\) cm và \(\left( {15 - x} \right)\) cm. Với x nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi?
Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có \(9{m^2} + 2m > - 3\)
Tìm giá trị của m để:
a) \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
b) \(m{x^2} + 5x - 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
+ Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0.
Do đó 3x2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3.
+ Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0
Do đó 3 – x2 mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3.
+ Tam thức 4x2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0.
Do đó 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4.
Ta có bảng xét dấu:
Vậy \(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - \sqrt 3 ;\; - 1} \right) \cup \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {\frac{3}{4};\;\sqrt 3 } \right).\)
\(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;\; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {\frac{1}{3};\;\frac{3}{4}} \right)\)\( \cup \left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right).\)
Câu trả lời của bạn
+ Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0
Do đó 4x2 – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2
+ Tam thức –8x2 + x – 3 có Δ = –95 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn mang dấu –.
+ Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2.
Ta có bảng xét dấu:
Vậy \(f\left( x \right) > 0\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ; - \frac{9}{2}} \right) \)\(\cup \left( { - \frac{1}{2};\;\frac{1}{2}} \right).\)
\(f\left( x \right) < 0\;\;khi\;\;x \in \left( { - \frac{9}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\)\( \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)
Câu trả lời của bạn
+ Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0.
Do đó 3x2 – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3.
+ Tam thức 2x2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0
Do đó 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1.
Ta có bảng xét dấu:
Vậy \(f\left( x \right) > 0\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ;\; - \frac{1}{2}} \right)\)\( \cup \left( {0;\;1} \right) \cup \left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\)
\(f\left( x \right) < 0\;\;khi\;\;x \in \left( { - \frac{1}{2};\;0} \right) \cup \left( {1;\;\frac{4}{3}} \right).\)
Câu trả lời của bạn
\(f(x) =(3{x^2} - 10x + 3)(4x - 5)\)
Ta có:
\(4x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\)
\(3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)
Tam thức bậc hai \(3{x^2} - 10x + 3\) có hệ số \(a=3>0\) nên mang dấu "+" khi \(x > 3\) hoặc \(x < \dfrac{1}{3}\) và mang dấu “-“ nếu \(\dfrac{1}{3} < x < 3\).
Xét dấu nhị thức \(4x - 5\) và \(3{x^2} - 10x + 3\) ta được bảng xét dấu:
Kết luận:
\(f(x) < 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right) \cup \left( {{5 \over 4};3} \right)\)
\(f(x) > 0\) với \(x \in \left( {{1 \over 3};{5 \over 4}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *