Sau đây mời các em học sinh lớp 10 cùng tham khảo Phương trình quy về bậc hai Toán 10 Chân trời sáng tạo. Bài giảng đã được DapAnHay soạn khái quát lý thuyết cần nhớ, đồng thời có các bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp các em dễ dàng nắm được kiến thức trọng tâm của bài.
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\) ta làm như sau: Bước 1: Bình phương hai về của phương trình để được phương trình \(a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\) Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1 Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tim được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm |
---|
Ví dụ: Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 6x - 8} = \sqrt {{x^2} - 5x - 2} \)
Giải
Bình phương hai về của phương trình đã cho, ta được:
\(\begin{array}{l}
2{x^2} - 6x - 8 = {x^2} - 5x - 2\\
\Rightarrow {x^2} - x - 6 = 0
\end{array}\)
⇒ x = -2 hoặc x = 3.
Thay lần lượt các giả trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ cỏ x = -2 thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= -2.
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta làm như sau: Bước 1: Bình phương hai về của phương trình đề được phương trình \(a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\) Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1 Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm. |
---|
Ví dụ: Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 5x - 13} = x + 1\)
Giải
Bình phương hai về của phương trình đã cho, ta được:
\(\begin{array}{l}
3{x^2} + 5x - 13 = {\left( {x + 1} \right)^2}\\
\Rightarrow 3{x^2} + 5x - 13 = {x^2} + 2{\rm{x}} + 1\\
\Rightarrow 2{x^2} + 3{\rm{x}} - 14 = 0
\end{array}\)
\(x = - \frac{7}{2}\) hoặc x = 2.
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thây chỉ có x = 2 thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= 2.
Câu 1: Giải phương trình \(\sqrt {31{x^2} - 58x + 1} = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \)
Hướng dẫn giải
Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt {31{x^2} - 58x + 1} = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \\ \Rightarrow 31{x^2} - 58x + 1 = 10{x^2} - 11x - 19\\ \Rightarrow 21{x^2} - 47x + 20 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow x = \frac{5}{3}\) hoặc \(x = \frac{4}{7}\)
Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy không có nghiệm nào thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Câu 2: Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 27x - 41} = 2x + 3\)
Hướng dẫn giải
Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
\(3{x^2} + 27x - 41 = {\left( {2x + 3} \right)^2}\)
\( \Rightarrow 3{x^2} + 27x - 41 = 4{x^2} + 12x + 9\)
\( \Rightarrow {x^2} - 15x + 50 = 0\)
\( \Rightarrow x = 5\) và \(x = 10\)
Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 27x - 41} = 2x + 3\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 5\) và \(x = 10\)
Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- giải được phương trình quy về phương trình bậc hai, tìm 2 số khi biêt tổng và tích của chúng
- Biết chuyển bài toán có nội dung thực tế vệ bài toán giải được bằng cách lập phương trình bậc nhất, bậc hai.
- Biết giải phương trình bậc hai có sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt{2 x-5}+\sqrt{x+2}=\sqrt{2 x+1}\) là:
Nghiệm của phương trình \(\sqrt{25-x^{2}}+1=x\) là:
Nghiệm của phương trình \(\sqrt{4+2 x-x^{2}}=x-2\) là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khởi động trang 15 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 1 trang 15 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 16 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá 2 trang 16 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 16 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng trang 17 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 1 trang 17 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 2 trang 17 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 3 trang 17 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 4 trang 17 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Nghiệm của phương trình \(\sqrt{2 x-5}+\sqrt{x+2}=\sqrt{2 x+1}\) là:
Nghiệm của phương trình \(\sqrt{25-x^{2}}+1=x\) là:
Nghiệm của phương trình \(\sqrt{4+2 x-x^{2}}=x-2\) là:
Giải phương trình \(\frac{2 x^{2}+5 x-1}{\sqrt{x-1}}=\frac{x+5}{\sqrt{x-1}}\)
Giải phương trình sau: \(2 x+\frac{3}{x-2}=\frac{3 x}{x-2}\)
Giải phương trình \(\frac{x^{2}-4 x+3}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}\)
Giải phương trình \(\frac{x^{2}+x+3}{x+2}=3\)
Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 8x + 4} = x - 2\)
Nghiệm của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 7x - 2} }}{{x + 2}} = \sqrt 2 \) là:
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 4} = \sqrt {7x + 2} \) là:
Trong hình bên, các tam giác vuông được xếp với nhau để tạo thành một đường tương tự đường xoắn ốc. Với x bằng bao nhiêu thì \(OA = \frac{1}{2}OC\)?
Lời giải cho phương trình \(\sqrt { - 2{x^2} - 2x + 11} = \sqrt { - {x^2} + 3} \) như sau đúng hai sai?
\(\)\(\sqrt { - 2{x^2} - 2x + 11} = \sqrt { - {x^2} + 3} \)
\( \Rightarrow - 2{x^2} - 2x + 11 = - {x^2} + 3\) (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)
\( \Rightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0\) (chuyển vế, rút gọn)
\( \Rightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 4\) (giải phương trình bậc hai)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 và -4
Giải phương trình \(\sqrt {31{x^2} - 58x + 1} = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \)
Lời giải cho phương trình \(\sqrt { - {x^2} + x + 1} = x\) như sau đúng hai sai?
\(\)\(\sqrt { - {x^2} + x + 1} = x\)
\( \Rightarrow - {x^2} + x + 1 = {x^2}\) (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)
\( \Rightarrow - 2{x^2} + x + 1 = 0\) (chuyển vế, rút gọn)
\( \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = - \frac{1}{2}\) (giải phương trình bậc hai)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 và \( - \frac{1}{2}\)
Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 27x - 41} = 2x + 3\)
Cho tam giác OAB và OBC lần lượt vuông tại A và B như hình 1. Các cạnh AB và BC bằng nhau và ngắn hơn OB là 1 cm. Hãy biểu diễn độ dài OC và OA qua OB, từ đó xác định OB để:
a) \(OC = 3OA;\)
b) \(OC = \frac{5}{4}OB\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {11{x^2} - 14x - 12} = \sqrt {3{x^2} + 4x - 7} \)
b) \(\sqrt {{x^2} + x - 42} = \sqrt {2x - 30} \)
c) \(2\sqrt {{x^2} - x - 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 5} \)
d) \(3\sqrt {{x^2} + x - 1} - \sqrt {7{x^2} + 2x - 5} = 0\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {{x^2} + 3x + 1} = 3\)
b) \(\sqrt {{x^2} - x - 4} = x + 2\)
c) \(2 + \sqrt {12 - 2x} = x\)
d) \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 10} = - 5\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ngắn hơn AC là 2 cm.
a) Biểu diễn độ dài cạnh huyền BC theo AB
b) Biết chu vi của tam giác ABC là 24 cm. Tính độ dài ba cạnh của tam giác đó.
Một con tàu biển M rời cảng O và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc \(60^\circ \). Trên bờ biển có hai đài quan sát A và B nằm về hai phía so với cảng O và lần lượt cách cảng O khoảng 1km và 2km (Hình 2).
a) Đặt độ dài của MO là x km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến A và từ tàu đến B theo x.
b) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A
c) Tìm x để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O đúng 500 m.
Lưu ý: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = y;\,\,y \ge 0\) \(\Rightarrow {y^2} = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) \) \(= {x^2} + 3x + 2 \)
\(\Rightarrow {x^2} + 3x = {y^2} - 2\)
Ta có phương trình:
\(y = {y^2} - 2-4 \Leftrightarrow {y^2} - y - 6 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 3(TM) \hfill \cr
y = - 2 (loai)\hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& y = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 2} = 3\cr & \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 9\cr &\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 7 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {{ - 3 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr} \)
Vậy: \(S = {\rm{\{ }}{{ - 3 - \sqrt {37} } \over 2};\,{{ - 3 + \sqrt {37} } \over 2}{\rm{\} }}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + 2x} = - 2{x^2} - 4x + 3\\
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x} = - 2\left( {{x^2} + 2x} \right) + 3
\end{array}\)
Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) \( \Rightarrow {y^2} = {x^2} + 2x\), ta có phương trình:
\(\eqalign{
y = - 2{y^2} + 3 \Leftrightarrow 2{y^2} + y - 3 = 0 \cr
\Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 1\,\,(TM)\hfill \cr
y = - {3 \over 2} \,\,(loai)\hfill \cr} \right. \cr} \)
Với \(y = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 2x} = 1 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 2 \)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 - \sqrt 2 , - 1 + \sqrt 2 {\rm{\} }}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\eqalign{
\sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x +10\ge 0 \hfill \cr
4{x^2} + 101x + 64 = 4{(x + 10)^2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 10\\
4{x^2} + 101x + 64 = 4{x^2} + 80x + 400
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 10\\
21x = 336
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 10\\
x = 16
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = 16
\end{array}\)
Vậy S = {16}
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\eqalign{
\sqrt {2{x^2} + 4x - 1} = x + 1\cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
2{x^2} + 4x - 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
2{x^2} + 4x - 1 = {x^2} + 2x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
{x^2} + 2x - 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x = - 1 + \sqrt 3 \left( {TM} \right)\\
x = - 1 - \sqrt 3 \left( {loai} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = - 1 + \sqrt 3
\end{array}\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 + \sqrt 3 {\rm{\} }}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
|x2 – x| ≤ |x2 – 1| \( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - x} \right)^2} \le {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}\)
⇔ (x2 – x)2 – (x2 – 1)2 ≤ 0
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + {x^2} - 1} \right) \le 0\)
⇔ (1 – x)(2x2 – x – 1) ≤ 0
\( \Leftrightarrow - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \le 0\)
⇔ (x – 1)2(2x + 1) ≥ 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
2x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - {1 \over 2}\)
Vậy \(S = {\rm{[}} - {1 \over 2}; + \infty )\)
Câu trả lời của bạn
Vì -x2 + x – 1 < 0 với ∀x ∈ R (do a= -1 < 0 và \(\Delta = 1 - 4 = - 3 < 0\)) nên \(\left| { - {x^2} + x - 1} \right| = {x^2} - x + 1\).
Khi đó:
|-x2 + x – 1| ≤ 2x + 5
⇔ x2 – x + 1 ≤ 2x + 5
⇔ x2 – 3x + 4 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4
Vậy S = [-1, 4]
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Ta có:
\(|x - 1| = 2x - 1\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - 1 = 2x - 1 \hfill \cr
x - 1 = 1 - 2x \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\,\, (KTM)\hfill \cr
x = {2 \over 3} \,\,(TM)\hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{2 \over 3}{\rm{\} }}\).
Câu trả lời của bạn
Điều kiện:
x2+ 6x + 5 ≥ 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 5 \hfill \cr
x \ge - 1 \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& |{x^2} - 5x + 4| = {x^2} + 6x + 5 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} - 5x + 4 = {x^2} + 6x + 5 \hfill \cr
{x^2} - 5x + 4 = - {x^2} - 6x - 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 11x = 1 \hfill \cr
2{x^2} + x + 9 = 0(VN) \hfill \cr} \right.\cr & \Leftrightarrow x = - {1 \over {11}} \cr} \)
Ta thấy giá trị x vừa tìm được thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Vậy \(S = {\rm{\{ - }}{1 \over {11}}{\rm{\} }}\)
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - {5 \over 2}\)
\(\sqrt{2x + 5} = 2\)
\( \Rightarrow 2x + 5 = 4\) (Bình phương hai vế)
\( \Leftrightarrow 2x = - 1\)
\(\Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}\). (thỏa mãn)
Vật phương trình có 1 nghiệm là \(x = - \dfrac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(3x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge {5 \over 3}\)
\(\sqrt{3x - 5} = 3\)
\( \Rightarrow 3x - 5 = 9\) (bình phương hai vế)
\( \Leftrightarrow 3x = 14 \)
\( \Leftrightarrow x = \dfrac{14}{3}\) (TM).
Vậy tập nghiệm \(S = \left\{ {\frac{{14}}{3}} \right\}\)
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{2x +3}{x - 3}-\dfrac{4}{x+3}=\dfrac{24}{x^{2}-9} + 2\) (1)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 3 \ne 0\\
x + 3 \ne 0\\
{x^2} - 9 \ne 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 3\\
x \ne - 3\\
x \ne \pm 3
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow x \ne \pm 3\)
Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu ta được
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{4\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \) \(= \frac{{24}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) (quy đồng)
\( \Rightarrow (2x + 3)(x + 3) - 4(x - 3) \)\(= 24 + 2(x^2-9)\) (khử mẫu)
\(\Leftrightarrow2{x^2} + 9x + 9 - 4x + 12 \)\(= 24 + 2{x^2} - 18\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 21 = 2{x^2} + 6\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 5x + 21 - 2{x^2} - 6 = 0\\
\Leftrightarrow 5x + 15 = 0
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow 5x = -15 \Leftrightarrow x = -3\) (loại).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{x^{2}+3x+2}{2x +3}\) = \(\dfrac{2x -5}{4}\) (1)
ĐKXĐ: \(2x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ - \dfrac{3}{2}\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{4\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}}{{4\left( {2x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{4\left( {2x + 3} \right)}}\) (quy đồng)
\(\Rightarrow 4(x^2+ 3x + 2) = (2x – 5)(2x + 3)\) (khử mẫu)
\(\Leftrightarrow 4x^2+12x + 8 = 4x^2- 4x - 15\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 8 - 4{x^2} + 4x + 15 = 0\\
\Leftrightarrow 16x + 23 = 0\\
\Leftrightarrow 16x = - 23
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow x = - \dfrac{23}{16}\) (nhận).
Vậy tập nghiệm \(S = \left\{ { - \frac{{23}}{{16}}} \right\}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
m\left( {x - 4} \right) = 5x - 2\\
\Leftrightarrow mx - 4m = 5x - 2\\
\Leftrightarrow mx - 5x = 4m - 2\\
\Leftrightarrow \left( {m - 5} \right)x = 4m - 2
\end{array}\)
Nếu \(m - 5 ≠ 0 ⇔ m ≠ 5\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{4m - 2}}{{m - 5}}\)
Nếu \(m – 5 = 0 ⇔ m = 5\), phương trình trở thành: \(0.x = 18\) (vô lí)
⇒ phương trình vô nghiệm
Vậy với \(m ≠ 5 \) phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{4m - 2}}{{m - 5}}\).
Với \(m = 5\) phương trình vô nghiệm.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *