Dưới đây là lý thuyết và bài tập minh họa về Giải bất phương trình bậc hai một ẩn Toán 10 Chân trời sáng tạo đã được DapAnHay biên soạn ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu giúp các em dễ dàng nắm được nội dung chính của bài. Mời các em học sinh cùng tham khảo!
Bất phương trình bậc lai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng \(a{x^2} + b{\rm{x}} + c \le 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c < 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c \ge 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c > 0\) với \(a \ne 0\). Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bắt đẳng thúc đúng. |
---|
Ví dụ: Các bất phương trình nào sau đây là bắt phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn. x = 1 và x= 2 có lả nghiệm của bắt phương trình đó hay không?
\(\begin{array}{l}
a){x^2} + x - 3 \ge 0;\\
b)3{x^3} + {x^2} - 1 \le 0.
\end{array}\)
Giải
3) \({x^2} + x - 3 \ge 0\) là một bât phương trình bậc hai một ân.
Vì \({1^2} + 1 - 3 = - 1 < 0\) nên x = 1 không là nghiệm của bất phương trình trên.
Vì \({2^2} + 2 - 3 = 3 > 0\) nên x = 2 là một nghiệm của bất phương trình trên.
b) \(3{x^3} + {x^2} - 1 \le 0\) không phải là một bât phương trình bậc hai một ẩn.
Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bât phương trình đó. |
---|
Ta có thể giải bắt phương trình bậc hai bằng cách xét dâu của tam thức bậc hai tương ứng.
Ví dụ: Giải bất phương trình bậc hai \(6{x^2} + 7x - 5 > 0\)
Giải
Tam thức bậc hai \(f(x) = 6{x^2} + 7x - 5\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - \frac{5}{3}\) và \({x_2} = \frac{1}{2}\).
a = 6 > 0 nên f(x) đương với mọi x thuộc hai khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{5}{3}} \right),\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Vậy bất phương trình \(6{x^2} + 7x - 5 > 0\) có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ; - \frac{5}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
Lưu ý: Có thể sử dụng đồ thị hàm số \(f(x) = 6{x^2} + 7x - 5\) (Hình trên) để giải bất phương trình ƒ(x) > 0.
Câu 1: Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, \(x = 2\) có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?
a) \({x^2} + x - 6 \le 0\)
b) \(x + 2 > 0\)
c) \( - 6{x^2} - 7x + 5 > 0\)
Hướng dẫn giải
a) \({x^2} + x - 6 \le 0\) là một bất phương trình bậc hai một ẩn
Vì \({2^2} + 2 - 6 = 0\) nên \(x = 2\) là nghiệm của bất phương trình trên
b) \(x + 2 > 0\) không là bất phương trình bậc hai một ẩn
c) \( - 6{x^2} - 7x + 5 > 0\) là một bất phương trình bậc hai một ẩn
Vì \( - {6.2^2} - 7.2 + 5 = - 33 < 0\) nên \(x = 2\) không là nghiệm của bất phương trình trên
Câu 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(15{x^2} + 7x - 2 \le 0\)
b) \( - 2{x^2} + x - 3 < 0\)
Hướng dẫn giải
a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 15{x^2} + 7x - 2\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - \frac{2}{3};{x_2} = \frac{1}{5}\)
và có \(a = 15 > 0\) nên \(f\left( x \right) \le 0\) khi x thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(15{x^2} + 7x - 2 \le 0\) là \(\left[ { - \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]\)
b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + x - 3\) có \(\Delta = - 23 < 0\) và \(a = - 2 < 0\)
nên \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy bất phương trình \( - 2{x^2} + x - 3 < 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)
Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Khái niệm và cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn.
- Vận dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để giải BPT bậc hai.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho bất phương trình \({x^2} - 8x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình.
Bất phương trình nào sau đây có tập nghiệm là R?
Số thực dương lớn nhất thỏa mãn \({x^2} - x - 12 \le 0\) là ?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 7 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động khởi động trang 11 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Hoạt động khám phá trang 11 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 1 trang 11 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Thực hành 2 trang 12 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Vận dụng trang 12 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 1 trang 12 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 2 trang 13 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 3 trang 13 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 4 trang 13 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 5 trang 13 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Cho bất phương trình \({x^2} - 8x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình.
Bất phương trình nào sau đây có tập nghiệm là R?
Số thực dương lớn nhất thỏa mãn \({x^2} - x - 12 \le 0\) là ?
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 5x - 4 < 0\) là
Tập nghiệm S của bất phương trình \(x^{2}-x-6 \leq 0\)
Tập nghiệm của bất phương trình \(x^{2}-25<0\) là
Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình \(x^{2}-8 x+7 \geq 0 .\) Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S ?
Giải bất phương trình \(x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right).\)
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(x^{2}-4>0\)
Tập nghiệm của bất phương trình \(-x^{2}+x+12 \geq 0\) là
Với giá trị nào của x thì tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 5x + 3\) mang dấu dương?
Lợi nhuận (I) thu được trong một ngày làm việc kinh doanh một loại gạo của cửa hàng phụ thuộc vào giá bán (x) của một kg loại gạo đó theo công thức \(I = - 3{x^2} + 200x - 2325\) với I và x được tính bằng nghìn đồng. Giá trị x như thế nào thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó?
Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, \(x = 2\) có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?
a) \({x^2} + x - 6 \le 0\)
b) \(x + 2 > 0\)
c) \( - 6{x^2} - 7x + 5 > 0\)
Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(15{x^2} + 7x - 2 \le 0\)
b) \( - 2{x^2} + x - 3 < 0\)
Hãy giải bất phương trình lập được trong hoạt động khám phá và tìm giá bán gạo sao cho cửa hàng có lãi.
Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng, hãy xác định tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai sau đây:
Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(2{x^2} - 15x + 28 \ge 0\)
b) \( - 2{x^2} + 19x + 255 > 0\)
c) \(12{x^2} < 12x - 8\)
d) \({x^2} + x - 1 \ge 5{x^2} - 3x\)
Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30 m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50 \({m^2}\). Hỏi chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng nào?
Một quả bóng được ném thẳng đứng lên từ độ cao 1,6 m so với mặt đất với vận tốc là 10 m/s độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi hàm số \(h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 10t + 1,6\). Hỏi:
a) Bóng có thể cao trên 7 m không?
b) Bóng ở độ cao trên 5 m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Mặt cắt ngang của mặt đường thường có hình dạng parabol để nước mưa dễ dàng thoát sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số \(y = - 0,006{x^2}\) với gốc tọa độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét như hình 4. Với chiều rộng của đường như thế nào thì thì tim đường cao hơn đường không quá 15 cm?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
Khi đó \(2x + 1 > 0\).
Do đó \(\sqrt {x - 1} \ge x\)
\( \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\sqrt {x - 1} \ge \left( {2x + 1} \right)x\)
(Nhân cả hai vế với \(2x + 1 > 0\))
Vậy hai bất phương trình tương đương.
Câu trả lời của bạn
\(x + 1 > 0\) \( \Leftrightarrow x + 1 + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} > \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\)
(cộng hai vế với \(\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\))
Nên hai bất phương trình tương đương.
Câu trả lời của bạn
\(2{x^2} + 5 \le 2x - 1\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 5 - 2x + 1 \le 2x - 1 - 2x + 1\) (cộng cả hai vế với \( - 2x + 1\))
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 6 \le 0\)
Nên hai bất phương trình tương đương.
Câu trả lời của bạn
\(- 4x + 1 > 0\) \( \Leftrightarrow \left( { - 1} \right).\left( { - 4x + 1} \right) < \left( { - 1} \right).0 \)
(Nhân cả hai vế với \(-1<0\))
\(\Leftrightarrow 4x - 1 < 0\)
Vậy hai bất phương trình tương đương.
Câu trả lời của bạn
\(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\)
Vì \(1 < 7 \Rightarrow 1 + {x^2} < 7 + {x^2}\) \( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} < \sqrt {7 + {x^2}} \)
\( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} < 0 < 1\)
\( \Rightarrow \) BPT \(\sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} > 1\) vô nghiệm.
Câu trả lời của bạn
\(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \dfrac{3}{2}\)
Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) \( \Rightarrow 1 + 2{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 1\) \( \Rightarrow \sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}} \ge 1\)
\(5 - 4x + {x^2}\) \( = \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 1\) \( = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 \ge 1\) \( \Rightarrow \sqrt {5 - 4x + {x^2}} \ge 1\)
\( \Rightarrow \sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}} + \sqrt {5 - 4x + {x^2}} \) \( \ge 1 + 1 = 2 > \dfrac{3}{2}\)
\( \Rightarrow \) BPT \(\sqrt {1 + 2{{\left( {x - 3} \right)}^2}} + \sqrt {5 - 4x + {x^2}} < \dfrac{3}{2}\) vô nghiệm.
Câu trả lời của bạn
\(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\)
ĐK: \(x + 8 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 8\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\\sqrt {x + 8} \ge 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {x^2} + \sqrt {x + 8} \ge 0 > -3\)
\( \Rightarrow {x^2} + \sqrt {x + 8} > - 3,\forall x \ge - 8 \)
Vậy bất phương trình \({x^2} + \sqrt {x + 8} \le - 3\) vô nghiệm.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *