Mời các em học sinh tham khảo lý thuyết Bài tập cuối chương 7 đã được DapAnHay biên soạn dưới đây, cùng với phần tổng hợp kiến thức cơ bản cần nắm, đây sẽ tài liệu hữu ích cho các em học tốt môn Toán 10 chương trình Chân trời sáng tạo.
a) Tam thức bậc hai
Đa thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là hệ số, \(a \ne 0\) và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai. |
---|
* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi thay x bằng giá trị x0 vào ƒ(x), ta được \(f\left( {{x_0}} \right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc lai tại x0.
+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì ta nói f(x) đương tại x0;
+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì ta nói f(x) âm tại x0;
+ Nếu f(x) đương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f{x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.
* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) \(a \ne 0\). Khi đó
+ Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c\) là nghiệm của f(x).
+ Biểu thức \(\Delta = {b^2} - 4{\rm{a}}c\) và \(\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).
b) Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). + Nếu \(\Delta \) < 0 thi ƒ(x) cùng đấu với a với mọi giá trị x + Nếu \(\Delta \) = 0 và \({x_0} = - \frac{b}{{2{\rm{a}}}}\) là nghiệm kép của ƒ(x) thì ƒ(x) cùng dấu với a với mọi x kháe x0. + Nến \(\Delta \) > 0 và x1, x2 là hai nghiệm của \(f(x)\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì ƒ(x) trái dấu với a với mọi x trong. khoảng (x1; x2); f(x) cùng đâu với a với mọi x thuộc hai khoảng \(\left( { - \infty ;{x_1}} \right),\left( {{x_2}; + \infty } \right)\). |
---|
Chú ý
a) Để xét dâu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tỉnh và xác định đâu của biệt thức \(\Delta \);
Bước 2: Xác định nghiệm của ƒ(x) (nếu có);
Bước 3: Xác định đâu của hệ sô a,
Bước 4: Xác định dâu của ƒ(x)
b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể đùng biệt thúc thu gọn \(\Delta '\) thay cho biệt thức \(\Delta\).
- Bất phương trình bậc lai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng \(a{x^2} + b{\rm{x}} + c \le 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c < 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c \ge 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c > 0\) với \(a \ne 0\).
- Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bắt đẳng thúc đúng.
- Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bât phương trình đó.
- Ta có thể giải bắt phương trình bậc hai bằng cách xét dâu của tam thức bậc hai tương ứng.
a) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\)
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}\) ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai về của phương trình để được phương trình \(a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\)
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1
Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tim được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm
b) Phương trình dạng \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\)
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e\), ta làm như sau:
Bước 1: Bình phương hai về của phương trình đề được phương trình \(a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}\)
Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1
Bước 3: Thử lại xem các giả trị x tìm được ở Bước 2 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Câu 1: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\)
b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 3\)
Hướng dẫn giải
a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\) có \(\Delta = 25 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - \frac{1}{2};{x_2} = 2\)
và \(a = 2 > 0\)
Ta có bảng xét dấu như sau:
Vậy \(f\left( x \right)\) âm trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2},2} \right)\) và dương trong hai khoảng
\(\left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)
b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 3\) có \(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) = - 8 < 0\) và \(a = - 1 < 0\)
Vậy \(g\left( x \right)\)âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Câu 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(15{x^2} + 7x - 2 \le 0\)
b) \( - 2{x^2} + x - 3 < 0\)
Hướng dẫn giải
a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 15{x^2} + 7x - 2\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - \frac{2}{3};{x_2} = \frac{1}{5}\)
và có \(a = 15 > 0\) nên \(f\left( x \right) \le 0\) khi x thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(15{x^2} + 7x - 2 \le 0\) là \(\left[ { - \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]\)
b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + x - 3\) có \(\Delta = - 23 < 0\) và \(a = - 2 < 0\)
nên \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy bất phương trình \( - 2{x^2} + x - 3 < 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)
Câu 3: Giải phương trình \(\sqrt {31{x^2} - 58x + 1} = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \)
Hướng dẫn giải
Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
\(\begin{array}{l}\sqrt {31{x^2} - 58x + 1} = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \\ \Rightarrow 31{x^2} - 58x + 1 = 10{x^2} - 11x - 19\\ \Rightarrow 21{x^2} - 47x + 20 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow x = \frac{5}{3}\) hoặc \(x = \frac{4}{7}\)
Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy không có nghiệm nào thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Câu 4: Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 27x - 41} = 2x + 3\)
Hướng dẫn giải
Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
\(3{x^2} + 27x - 41 = {\left( {2x + 3} \right)^2}\)
\( \Rightarrow 3{x^2} + 27x - 41 = 4{x^2} + 12x + 9\)
\( \Rightarrow {x^2} - 15x + 50 = 0\)
\( \Rightarrow x = 5\) và \(x = 10\)
Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 27x - 41} = 2x + 3\) ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 5\) và \(x = 10\)
Qua bài giảng này giúp các em học sinh:
- Ôn tập và hệ thống lại các kiến thức trọng tâm của chương.
- Áp dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập một cách dễ dàng.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 7để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt{x^{2}+x+1}=\sqrt{x^{2}-x+1}\) là
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{2 x+3}{x-3}=\frac{24}{x^{2}-9}+\frac{2(x+5)}{x+3}\) là
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2\) là
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 7 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Giải bài 1 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 2 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 3 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 4 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 5 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 6 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 7 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 8 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Giải bài 9 trang 18 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2 - CTST
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt{x^{2}+x+1}=\sqrt{x^{2}-x+1}\) là
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{2 x+3}{x-3}=\frac{24}{x^{2}-9}+\frac{2(x+5)}{x+3}\) là
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2\) là
Phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 4} = \sqrt {2x - 5} \) có nghiệm là:
Phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = 2x - 1\) có nghiệm là:
Nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 4}}{{ - {x^2} + 4x - 3}} = \dfrac{3}{{{x^2} - 4x + 3}} - 1\) là
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 3x - 2\) nhận giá trị không âm khi và chỉ khi
Cho tam thức bậc hai \(f(x)=-x^{2}-4 x+5\). Tìm tất cả giá trị của x để \(f(x) \geq 0\)
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 5x - 4 < 0\) là
Tập nghiệm của bất phương trình \(-x^{2}+x+12 \geq 0\) là
Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) \(f\left( x \right) = 6{x^2} + 41x + 44\)
b) \(g\left( x \right) = - 3{x^2} + x - 1\)
c) \(h\left( x \right) = 9{x^2} + 12x + 4\)
Giải các bất phương trình sau:
a) \(7{x^2} - 19x - 6 \ge 0\)
b) \( - 6{x^2} + 11x > 10\)
c) \(3{x^2} - 4x + 7 > {x^2} + 2x + 1\)
d) \({x^2} - 10x + 25 \le 0\)
Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai được cho, hãy giải các bất phương trình sau:
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {{x^2} - 7x} = \sqrt { - 9{x^2} - 8x + 3} \)
b) \(\sqrt {{x^2} + x + 8} - \sqrt {{x^2} + 4x + 1} = 0\)
c) \(\sqrt {4{x^2} + x - 1} = x + 1\)
d) \(\sqrt {2{x^2} - 10x - 29} = \sqrt {x - 8} \)
Một tam giác vuông có một cạnh góc vuông ngắn hơn cạnh huyền 8 cm. Tính độ dài của cạnh huyền, biết chu vi của tam giác bằng 30 cm.
Một quả bóng được bắn thẳng lên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 30 m/s. Khoảng cách quả bóng so với mặt đất t giây được cho bởi hàm số:
\(h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 30t + 2\)
với \(h\left( t \right)\) tính bằng đơn vị mét. Hỏi quả bóng nằm ở độ cao trên 40 m trong thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Một chú cá heo nhảy lên khỏi mặt nước sau t giây được cho bởi hàm số \(h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 9,6t\)
Tính khoảng thời gian cá heo ở trên không.
Lợi nhuận một tháng \(p\left( x \right)\) của một quán ăn phụ thuộc vào giá trung bình x của các món ăn theo công thức \(p\left( x \right) = - 30{x^2} + 2100x - 15000\), với đơn vị tính bằng nghìn đồng. Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng nào?
Quỹ đạo của một quả bóng được mô tả bằng hàm số \(y = f\left( x \right) = - 0,03{x^2} + 0,4x + 1,5\)
với y (tính bằng mét) là độ cao của quả bóng so với mặt đất khi độ dịch chuyển theo phương ngang của bóng là x (tính bằng mét). Để quả bóng có thể ném được qua lưới cao 2 m, người ta phải đứng cách lưới bao xa? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Đặt y = x2, (\(y\ge 0\)) ta có phương trình:
(a – 1)y2 – ay + a2 – 1 = 0 (1)
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0.
Phương trình (1) có nghiệm y = 0 khi và chỉ khi:
\(\left( {a - 1} \right){.0^2} - a.0 + {a^2} - 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {a^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 1\\
a = - 1
\end{array} \right.\)
+ Với a = 1, phương trình (1) trở thành –y = 0 hay y=0.
Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm duy nhất x=0 (loại)
+ Với a = -1, phương trình (1) trở thành: -2y2 + y = 0
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0\\
y = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a = -1.
Câu trả lời của bạn
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, tức là:
\(\left\{ \matrix{
\Delta > 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr
S > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5 - 4m > 0 \hfill \cr
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
2m - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{5}{4}\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m > \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < \frac{5}{4}\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.
Ta xét hai trường hợp:
+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:
P = m2 - 1 < 0 hay -1 < m < 1.
+ Phương trình (1) có nghiệm kép \(\Delta = 0 \Leftrightarrow 5 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\)
Khi đó, với \(m = {5 \over 4}\) thì phương trình (1) là \({y^2} - \frac{3}{2}y + \frac{9}{{16}} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} > 0\) là nghiệm kép dương (thỏa mãn).
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(m \in ( - 1,1) \cup {\rm{\{ }}{5 \over 4}{\rm{\} }}\)
Câu trả lời của bạn
Đặt y = x2 ; y ≥ 0, ta được phương trình:
y2 + (1 – 2m)y + m2 – 1 = 0 (1)
Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ (1) vô nghiệm hoặc (1) chỉ có nghiệm âm
Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \Delta = {(1 - 2m)^2} - 4({m^2} - 1) = 5 - 4m < 0 \cr
& \Rightarrow m > {5 \over 4} \cr} \)
Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm khi và chỉ khi:
\(\left\{ \matrix{
\Delta \ge 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr
S < 0 \hfill \cr} \right.\)
Thay Δ = 5 – 4m, P = m2– 1 và S = 2m – 1, ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
5 - 4m \ge 0 \hfill \cr
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
2m - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le \frac{5}{4}\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m < \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow m < - 1\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi
\(\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Bất phương trình đã cho tương đương với:
\((I)\,\left\{ \matrix{
1 - x > 0 \hfill \cr
\sqrt {x + 5} < 1 - x \hfill \cr} \right.\\(II)\left\{ \matrix{
1 - x < 0 \hfill \cr
\sqrt {x + 5} > 1 - x \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& (I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
x + 5 \ge 0 \hfill \cr
x + 5 < {(1 - x)^2} \hfill \cr } \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
x \ge - 5 \hfill \cr
x+5 < x^2-2x+1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
x \ge - 5 \hfill \cr
{x^2} - 3x - 4 > 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 5 \le x < 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < - 1 \hfill \cr
x > 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow - 5 \le x < - 1 \cr} \)
\(\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x + 5 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x \ge - 5
\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow x > 1\)
Vậy \(S = [-5, -1) ∪ (1, +∞)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 4x - 12} > 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
2x + 3 < 0 \hfill \cr
{x^2} - 4x - 12 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
2x + 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 4x - 12 > {(2x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < - \frac{3}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge 6
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \frac{3}{2}\\
{x^2} - 4x - 12 > 4{x^2} + 12x + 9
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \frac{3}{2}\\
- 3{x^2} - 16x - 21 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \frac{3}{2}\\
- 3 < x < - \frac{7}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
- \frac{3}{2} \le x < - \frac{7}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x \le - 2
\end{array}\)
Vậy \(S = (-∞, -2]\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - x - 12} \ge x - 1\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x - 1 < 0 \hfill \cr
{x^2} - x - 12 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x - 1 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - x - 12 \ge {(x - 1)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \le 0\\
{x^2} - x - 12 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \ge 0\\
{x^2} - x - 12 \ge {x^2} - 2x + 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge 4\\
x \le - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \ge 13
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 3\\
x \ge 13
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(S = (-∞, -3] ∪ [13, +∞)\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(y = \sqrt {(x - 2)(x - 32)} \) \(= \sqrt {{x^2} - 34x + 64} \,\,\,(y \ge 0)\)
\( \Rightarrow {y^2} = {x^2} - 34x + 64\)
⇒ x2 – 34x = y2 – 64
Ta có bất phương trình:
6y ≤ y2 - 64+28
⇔ y2 – 6y – 16 ≥ 0
⇔ y ≤ - 2 hoặc y ≥ 8
Với điều kiện y ≥ 0, ta được y ≥ 8
\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 34x + 64} \ge 8\)
⇔ x2 – 34x + 64 ≥ 64 ⇔ x2 – 34x ≥ 0
⇔ x ≤ 0 hoặc x ≥ 34
Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [34, +∞)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2x - 4} \over {\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x - 10 > 0 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} - 3x - 10} < 2x - 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x - 10 > 0 \hfill \cr
2x - 4 > 0 \hfill \cr
{x^2} - 3x - 10 < {(2x - 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 10 > 0\\2x - 4 > 0\\{x^2} - 3x - 10 < 4{x^2} - 16x + 16\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{\left[ \matrix{x < - 2 \hfill \cr x > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x > 2 \hfill \cr 3{x^2} - 13x + 26 > 0\,\,(\forall x) \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow x > 5 \cr} \)
Vậy \(S = (5, +∞)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 6x + 8 \ge 0 \hfill \cr
2x + 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 6x + 8 \le {(2x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x+2)(x+4) \ge 0\\2x + 3 \ge 0\\{x^2} + 6x + 8 \le 4{x^2} + 12x + 9\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{\left[ \matrix{x \le - 4 \hfill \cr x \ge - 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr 3{x^2} + 6x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr \left[ \matrix{x \le {{ - 3 - \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr x \ge {{ - 3 + \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {{\sqrt 6 } \over 3} - 1 \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}}{{\sqrt 6 } \over 3} - 1, + \infty )\)
Câu trả lời của bạn
ĐK: \({x^2} + 3x + 12 \ge 0\) luôn đúng do \(a=1>0\) và \(\Delta = 9-4.12=-39<0\).
TXĐ: D=R.
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3x + 12} \,\,\,(t \ge 0) \) \(\Rightarrow {x^2} + 3x = {t^2} - 12\) , ta có phương trình:
\(t = {t^2} - 12 \Leftrightarrow {t^2} - t - 12 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 4(TM) \hfill \cr
t = - 3 (KTM)\hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& t = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 12} = 4 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 12 = 16\cr &\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy S = {-4, 1}
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2(x - 1)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2(x-1)\ge 0 \hfill \cr
5{x^2} - 6x - 4 = 4{(x - 1)^2} \hfill \cr} \right.\cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
5{x^2} - 6x - 4 = 4{x^2} - 8x + 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
{x^2} + 2x - 8 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\left( {TM} \right)\\
x = - 4\left( {loai} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = 2
\end{array}\)
Vậy S = {2}
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(4{x^2} + 2x + 10 \) \(= {\left( {2x} \right)^2}+ 2.2x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{{39}}{4}\) \( = {\left( {2x + \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{{39}}{4} > 0,\forall x\)
Do đó TXĐ: D=R.
Bình phương hai vế ta được:
\(\begin{array}{l}
PT \Rightarrow 4{x^2} + 2x + 10 = {\left( {3x + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 4{x^2} + 2x + 10 = 9{x^2} + 6x + 1\\
\Leftrightarrow 9{x^2} + 6x + 1 - 4{x^2} - 2x - 10 = 0\\
\Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = - \dfrac{9}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Thử lại thấy chỉ có x = 1 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm \(x=1\).
Câu trả lời của bạn
ĐK: \(2{x^2} + 5 \ge 0\) (luôn đúng)
Bình phương hai vế ta được:
\(\begin{array}{l}
(3)\Rightarrow 2{x^2} + 5 = {\left( {x + 2} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 5 = {x^2} + 4x + 4\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 5 - {x^2} - 4x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 - \sqrt 3 \\
x = 2 + \sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Thử lại thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình (3)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1 = 2 - \sqrt 3\) và \(x_2 = 2 + \sqrt 3\).
Cách khác:
Sử dụng
\(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) \ge 0\\
f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + 5} = x + 2\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
2{x^2} + 5 = {\left( {x + 2} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
2{x^2} + 5 = {x^2} + 4x + 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
2{x^2} + 5 - {x^2} - 4x - 4 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
{x^2} - 4x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2 + \sqrt 3 \\
x = 2 - \sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2 + \sqrt 3 \\
x = 2 - \sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
3 - x \ge 0\\
x + 2 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 3\\
x \ge - 2
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\)
Bình phương hai vế ta được
\(\begin{array}{l}
\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3 - x = {\left( {\sqrt {x + 2} + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 3 - x = x + 2 + 2\sqrt {x + 2} + 1\\
\Leftrightarrow 3 - x = x + 3 + 2\sqrt {x + 2} \\
\Leftrightarrow 3 - x - x - 3 = 2\sqrt {x + 2} \\
\Leftrightarrow - 2x = 2\sqrt {x + 2} \\
\Leftrightarrow - x = \sqrt {x + 2} \\
\Rightarrow {\left( { - x} \right)^2} = x + 2\\
\Leftrightarrow {x^2} = x + 2\\
\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Thử lại thấy x = 2 không phải nghiệm của (2).
Vậy phương trình có nghiệm \(x=-1\)
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(5x + 6 ≥ 0 ⇔ x \ge \dfrac{-6}{5}\).
Bình phương hai vế ta được:
\(\begin{array}{l}
PT \Rightarrow 5x + 6 = {\left( {x - 6} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 5x + 6 = {x^2} - 12x + 36\\
\Leftrightarrow {x^2} - 12x + 36 - 5x - 6 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 17x + 30 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\left( {loai} \right)\\
x = 15\left( {TM} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Thử lại x = 15 là nghiệm của (1), x = 2 không phải nghiệm của (1)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=15\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *