Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
Đoạn thẳng AM đối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến.
Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến
Định lý:
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác.
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB = 20A. Trên y’y lấy 2 điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi là P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.
Giải
Ta có O là trung điểm của LM (gt)
Suy ra BO là đường trung tuyến của \(\Delta BLM\,{\,^{(1)}}\)
Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2AO + AO = 3AO vì AB =2AO (gt)
Suy ra \(AO = \frac{1}{3}BO\,\,hay\,\,BA = \frac{2}{3}BO{\,^{\,(2)}}\)
Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của \(\Delta BLM\) (tính chất của trọng tâm)
Mà LP và MQ là các đường trung tuyến của \(\Delta BLM\) vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt) và O là trung điểm của đoạn thẳng LB (gt)
Suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A (tính chất 3 đường trung tuyến).
Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME = MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF = NG. Chứng minh:
a. EF = BC
b. Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.
Giải
a. Ta có BM và CN là 2 đường trung tuyến cặp nhau tại G nên G là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow GC = 2GN\)
Mà \(FG{\rm{ }} = {\rm{ }}2GN \Rightarrow GC = GF.\)
Tương tự BG, GE và \(\widehat {{G_1}} = \widehat {{G_2}}\) (đđ). Do đó \(\Delta BGC = \Delta EGF\,\,(c.g.c)\)
Suy ra BC = EF
b. G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong \(\Delta ABC.\)
Nên AG đi qua trung điểm của BC.
Ví dụ 3: Kéo dài trung tuyến AM của \(\Delta ABC\) một đoạn thẳng MD có độ dài bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài AM. Gọi G là trọng tâm của \(\Delta ABC\). So sánh các cạnh của \(\Delta BGD\) với các trung tuyến của \(\Delta ABC.\)
Giải
Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB.
Ta có AM, BN, CP cắt nhau tại G(tính chất đường trung tuyến) và có
\(BG = \frac{2}{3}BN;CG = \frac{2}{3}CP;AG = \frac{2}{3}AM.\)
\(\begin{array}{l}\Delta BMG = \Delta CMD\,\,(c.g.c) \Rightarrow GB = DC\\\Delta GMC = \Delta DMB\,\,(c.g.c) \Rightarrow GC = DB\end{array}\)
Xét \(\Delta BGD\) và \(\Delta CDG\) có:
GB = DC
BD = DG
GD cạnh chung
Nên \(\Delta BGD = \Delta CDG\,(c.c.c) \Rightarrow BD = CG = \frac{2}{3}CP\)
Ta cũng có: \(GD = \frac{2}{3}AM\)
Ta có \(\Delta BGD\) có các cạnh lần lượt bằng \(\frac{2}{3}\) các trung tuyến của \(\Delta ABC\)
Bài 1: Cho \(\Delta ABC\). Trên cạnh BC lấy điểm T sao cho \(TB = \frac{2}{3}BC\). Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Đường thẳng DT cắt cạnh AB tại E. Chứng minh EA = EB.
Giải
Trong \(\Delta ABD\) có: BC là trung tuyến vì CA = CD.
Và \(TB = \frac{2}{3}BC,\) do đó T là trọng tâm của \(\Delta ABD\).
Suy ra DT là đường thẳng chứa trung tuyến xuất phát từ D nên phải qua trung điểm E của AB.
Vậy EA = EB.
Bài 2: Cho \(\Delta ABC\), AC > AB. Gọi BE và CD là các trung tuyến.
Chứng minh: CD > BE.
Giải
Gọi F là trung tuyến của BC thì ba đường trung tuyến AF, BE, CD cắt nhau ở M. Vì AC > AB nên \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\) (do \(\Delta AFB\) và \(\Delta AFC\)có AF cạnh chung, FB = FC và AC > AB)
Từ \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\)từ hai tam giác MFB và MFC có: MF cạnh chung, FB = FC ta suy ra MC > MB.
Hay \(\frac{2}{3}CD > \frac{2}{3}BE.\) Vậy CD > BE.
Bài 3: Cho \(\Delta ABC,BC = a,CA = b,AB = c.\) Kẻ trung tuyến AM. Đặt \(AM = {m_a}.\)
Chứng minh rằng: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\)
Giải
Với \(\Delta AMB\) ta có: AM + MB > AB (1)
Với \(\Delta AMC\) ta có: AM + MC > AC (2)
Cộng từng vế ta được: 2AM+(BM+MC)>AB+AC
Hay \(2{m_a} + a > b + c\)
Suy ra \({m_a} > \frac{{b + c - a}}{2}\,{\,^{(1)}}\)
Theo bài 411, ta được: \({m_a} < \frac{{b + c}}{2}\,{\,^{(2)}}\)
Từ (1) và (2) ta được: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\)
Qua bài giảng Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Chọn câu sai:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng...độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 4để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 23 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 24 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 25 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 26 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 27 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 28 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 29 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 30 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 31 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 32 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 33 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 34 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 35 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 36 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 37 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 38 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 39 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Chọn câu sai:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng...độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"
Cho hình vẽ sau:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG = ...BE
Cho hình vẽ sau:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: AG = ...GD
Trong tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là
Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH (h. 24)
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
\(\begin{array}{l} \frac{{DG}}{{DH}} = \frac{1}{2};\frac{{DG}}{{GH}} = 3\\ \frac{{GH}}{{DH}} = \frac{1}{3};\frac{{GH}}{{DG}} = \frac{2}{3} \end{array}\)
Cho hình 25. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:
a) MG=...MR; GR=...MR; GR=...MG
b) NS=...NG; NS=...GS; NG=...GS
Biết rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB=3cm, AC=4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau
Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân
Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.
a) Chứng minh tam giác DEI=tam giác DFI
b) Cho biết số đo của hai góc DIE và DIF
c) Biết DE=DF=13cm, EF=10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:
GA=GB=GC
Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm của AG'
a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC
b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC
Cho hình 7. Điền vào chỗ trống:
\(GK = ….CK; AG = … GM;\) \(GK = … CG;\)
\(AM = ….AG; AM = … GM.\)
Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = AC = 34cm, BC = 32cm.\) Kẻ đường trung tuyến \(AM.\)
a) Chứng minh rằng \(AM \bot BC\)
b) Tính độ dài \(AM.\)
Gọi \(\displaystyle G\) là trọng tâm của tam giác \(\displaystyle ABC.\) Vẽ điểm \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle G\) là trung điểm của \(\displaystyle AD.\) Chứng minh rằng:
a) Các cạnh của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng \(\displaystyle \displaystyle {2 \over 3}\) các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle ABC\)
b) Các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng một nửa các cạnh của tam giác \(\displaystyle ABC.\)
Tam giác \(\displaystyle ABC\) có \(\displaystyle BC = 10cm,\) các đường trung tuyến \(\displaystyle BD\) và \(\displaystyle CE.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle BD + CE > 15cm.\)
Cho tam giác \(\displaystyle ABC.\) Trên tia đối của tia \(\displaystyle BA\) lấy điểm \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle BD = BA.\) Trên cạnh \(\displaystyle BC\) lấy điểm \(\displaystyle E\) sao cho \(\displaystyle BE = {1 \over 3}BC\). Gọi \(\displaystyle K\) là giao điểm của \(\displaystyle AE\) và \(\displaystyle CD. \) Chứng minh rằng \(\displaystyle DK = KC.\)
Theo kết quả của bài 64 chương II, SBT Toán 7 tập 1 ta có: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau: Cho tam giác \(\displaystyle ABC,\) đường trung tuyến \(\displaystyle AD.\) Kẻ đường trung tuyến \(\displaystyle BE\) cắt \(\displaystyle AD\) ở \(\displaystyle G.\) Gọi \(\displaystyle I, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(\displaystyle GA, GB.\) Chứng minh rằng:
a) \(\displaystyle IK // DE, IK = DE\)
b) \(\displaystyle {\rm{A}}G = {2 \over 3}A{\rm{D}}\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường trung tuyến \(AM.\) Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MD = MA.\)
a) Tính số đo góc \(ABD.\)
b) Chứng minh: \(∆ABC = ∆BAD.\)
c) So sánh độ dài \(AM\) và \(BC.\)
Tam giác \(\displaystyle ABC\) có đường trung tuyến \(\displaystyle AM\) bằng nửa cạnh \(\displaystyle BC.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle \widehat {BAC} = 90^\circ \).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
CHO TAM GIÁC ABC . TRÊN TIA ĐỐI CỦA TIA BA LẤY ĐIỂM D SAO CHO BD=BA. TRÊN CẠNH BC LẤY ĐIỂM E SAO CHO BE=1/3BC.GỌI K LÀ GIAO ĐIỂM CỦA AE VÀ CD, CHỨNG MINH RẰNG DK=KC.GIÚP MK NHÉ
Câu trả lời của bạn
(Bạn tự vẽ hình theo đề bài nhé!)
Theo đề bài, ta có:
BE = \(\dfrac{1}{3}\)BC => CE = \(\dfrac{2}{3}\)BC
\(BA=BD\) => BC là đường trung tuyến \(\Delta ACD\)
=> E là trọng tâm \(\Delta ACD\)
Mà \(AE\cap CD\)tại K (gt) => K là trung điểm CD => CK = DK
cho tam giác ABC cân tại A có AB=5cm , BC =6cm.Từ A kẻ đường vuông góc từ AH đến BC .
a)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .Trên tia AG lấy điểm D sao cho AG =GD.CG cắt AB tại F .Chứng minh BD=\(\dfrac{2}{3}\)CF và BD>BF
b)Chứng minh:DB+DG>AB
Câu trả lời của bạn
a, *,Xét tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác ta có:
\(CG=\dfrac{2}{3}CF;AG=\dfrac{2}{3}AH;GH=\dfrac{1}{3}AH\Rightarrow GH=\dfrac{1}{2}AG\) (áp dụng tính chất trọng tâm tam giác)
mà AG= GD nên \(GH=\dfrac{1}{2}GD\Rightarrow GH=DH\)
Mặc khác ta lại có tam giác ABC có AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A nên AH là đường trung tuyến của cạnh BC.
Xét tam giác BDH và tam giác CGH ta có:
DH=GH(cmt); góc BHD=góc CHG(=90độ); BH=CH(gt)
Do đó tam giác BDH= tam giác CGH(c.g.c)
=> BD=CG (cặp cạnh tương ứng) mà \(CG=\dfrac{2}{3}CF\)(cmt)
=> \(BD=\dfrac{2}{3}CF\)(đpcm)
*, Ta có: \(BF=\dfrac{1}{2}AB;BH=\dfrac{1}{2}BC\)
=> \(BF=\dfrac{1}{2}.5;BH=\dfrac{1}{2}.6\Rightarrow BF=2,5;BH=3\)
=> BF<BH (1)
Xét tam giác BHD vuông tại H ta có:
BH<BD(do trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BF<BD(đpcm)
b, Xét tam giác AGC ta có: GC+AG> AC(áp dụng bất đẳng thức tam giác)
mà GC=DB(cm câu a);AG=DG(gt); AC=AB(gt)
nên DB+DG>AB(đpcm)
Chúc bạn học tốt nha!!!
Cho tam giác ABC có AM la đg trung tuyến.Trên tia đối của tia AM llaays D sao cho MA=MD
a.chứng minh AB=CD; AB//CD
b. TRên đoạn thẳng AM lấy K sao cho AK=2MK. Gọi N là giao điểm của CK và AB. chứng minh rằng AN=BN
làm hộ mình câu b thôi nha vẽ hộ mình cái hình luôn na
Câu trả lời của bạn
b) Ta có: AK+KM=AM
mà 2KM+KM=AM
=> KM =\(\dfrac{AM}{3}\)
hay KM=\(\dfrac{1}{3}AM\)
Lại có AM là trung tuyến
=> K là trọng tâm của tam giác ABC
Vì N đi qua trọng tâm K và cắt AB nên AN=BN(đpcm)
mình làm hơi thừa 1 số chỗ , nhưng chắc chắn 100% không sai)
Chứng minh rằng trong một tam giác,mỗi đường trung tuyến nhỏ hơn tổng của hai đường trung tuyến kia
Câu trả lời của bạn
,Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến CM.
a) Cho biết BC=10cm, AC=6cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB, BM.
b) Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD = MC. Chứng minh rằng tam giác MAC = tam giác MBD
c) Chứng minh rằng AC + BC > 2CM
d) Gọi K là điểm trên đoạn thẳng AM sao cho \(AK=\dfrac{2}{3}AM\). Gọi N là giao điểm của CK và AD, I là giao điểm của BN và CD.
Chứng minh rằng CD = 3ID.
Giúp mk câu d) vs!!!!
Nguyễn Huy Tú, Ace Legona, Xuân Tuấn Trịnh, Hung nguyen, Hoang Hung Quan,......
Câu trả lời của bạn
d, MD = MC => M là trung điểm của CD
\(\Delta ACD\) có AM là đường trung tuyến và \(AK=\dfrac{2}{3}AM\)
=> K là trọng tâm của \(\Delta ACD\)
=> CN là đường trung tuyến của \(\Delta ACD\)
=> N là trung điểm của AD
\(\Delta ABD\) có BN và DM là 2 đường trung tuyến và \(BN\cap DM=I\)
=> I là trọng tâm của \(\Delta ABD\)
=> \(DI=\dfrac{2}{3}DM\)
ta có \(DM=\dfrac{1}{2}DC\)
=> \(\dfrac{2}{3}DM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{3}DC\)
hay \(DI=\dfrac{1}{3}DC\)
=> DC = 3DI
1. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Diện tích của các tam giác AGB, BGC và AGC có bằng nhau hay ko ?
Gợi ý: Em hãy so sánh diện tích tam giác AEB với diện tích tam giác AEB; diện tích tam giác AEB với diện tích tam giác ABC. Tương tự với hai tam giác còn lại.
Câu trả lời của bạn
Hình thì chắc bạn tự vẽ được nha!!!
Xét tam giác ABG và điểm g là trọng tâm của tam giác.
Các tia AG, BG, CG cát các cạnh BC, CA,AB lần lượt tại D, M,E. Vẽ\(AH\perp BM\), \(CK\perp BM\) .Ta có;
tam giác AHM=tam giác CKM(cạnh huyền- góc nhọn)suy ra AH=CK
Hai tam giác GAB và GBC có đáy GB chung , AH=CK nên diện tích tam giác GAB=diện tích tam giácGBC
Tương tự , ta có diện tích tam giácGBC= diện tích tam giácGAC
Từ đó suy ra diện tích tam giácGAB=diện tích tam giáC GBC=diện tích tam giácGAC
Chúc bạn học tốt!!! Nhớ tick cho mình nha!!! Cảm ơn nhiều!!!
Cho tam giác ABC cân tại A , kẻ các trung tuyến BM và CN của tam giác ABC
a) chứng minh tam giác BMC = tam giác CNB
b) so sánh góc ANM và góc ABC . từ đó suy ra NM//BC
c)BM cắt CN tại G . Chứng minh AG vuông góc với MN
Câu trả lời của bạn
a) Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta CNB\) có:
BN = CM (gt)
\(\widehat{ABC=\widehat{ACB}}\)(vì \(\Delta ABC\) cân)
BC: cạnh chung
Vậy: \(\Delta BMC\) = \(\Delta CNB\) (c-g-c)
b) Ta có: \(\widehat{ANM=\widehat{ABC}}\) (hai góc đồng vị)
Suy ra: NM // BC.
c) Ta có: AN = AB - BN
AM = AC - CM
Mà AB = AC (gt)
BN = CM (\(\Delta BMC\) = \(\Delta CNB\))
Suy ra: AN = AM
Do đó: A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN
Vậy: AG \(\perp\) MN (đpcm).
1. Cho tam giác ABC trên tia đối BA lấy điểm D sao cho BD = BA, trên BC lấy E sao cho BE = \(\dfrac{1}{3}\)BC. Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh: DK = KC
Câu trả lời của bạn
Ta có BE+EC=BC
mà BE=\(\dfrac{1}{3}\)BC \(\Rightarrow\)EC=\(\dfrac{2}{3}\)BC
Xét tam giác ACD có CB là đường trung tuyến thứ nhất
mà EC=\(\dfrac{2}{3}\)BC
\(\Rightarrow\) E là trọng tâm của tam giác ACD
Mà AE cắt CD tại K\(\Rightarrow\)AK là đường trung tuyến
hay K là trung điểm của CD
\(\Rightarrow\) DK=KC (ĐPCM)
5. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC biết BD = 9cm, CE = 12cm.
Câu trả lời của bạn
Hình bạn tự vẽ nha:
Gọi I là giao điểm của CE và BD
Theo t/c của đường trung tuyến, ta có:
CI/CE = 2/3
hay CI/12 = 2/3
<=> CI = 2/3.12
<=> CI = 8 cm
Tương tự, ta có:
BI/BD = 2/3
hay BI/9 = 2/3
<=> BI = 2/3.9
<=> BI = 6 cm
t.g BIC vuông tại I nên:
BC^2 = IC^2 + BI^2
<=> BC^2 = 8^2 + 6^2
<=> BC^2 = 100
<=> BC = 10 cm
Cho tam giác ABC cân tại A , G là trọng tâm của tam giác. I làn giao 3 đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng: A,G,I, thẳng hàng
Câu trả lời của bạn
Gọi giao điểm của BG với AC là M;
CG với AB là N
Vì G là trọng tâm của ∆ ABC
nên BM, CN, là trung tuyến
Mặt khác ∆ABC cân tại A
Nên BM = CN
Ta có GB = BM; GC = CN (t/c trọng tâm của tam giác)
Mà BM = CN nên GB = GC
Do đó: ∆AGB = ∆AGC (c.c.c)
=> G thuộc phân giác của
Mà ∆ABI = ∆ACI (c.c.c)
=> I thuộc phân giác của
Vì G, I cùng thuộc phân giác của nên A, G, I thẳng hàng
7. Cho tam giác ABC đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia BD lấy E sao cho DE = BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, CE. Gọi I, K lần là gia điểm của AM, AN với BE. Chứng minh rằng: BI = IK = KE.
Câu trả lời của bạn
Hình tự vẽ
Giải:
Ta có: BD = ED ( gt )
\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2}{3}ED\)
\(\Rightarrow BI=ED\) (1)
\(BD=ED\Rightarrow\dfrac{1}{3}BD=\dfrac{1}{3}ED\Rightarrow ID=DK\)
Lại có: \(DE=\dfrac{1}{3}DE+\dfrac{1}{3}DE+\dfrac{1}{3}DE\)
\(\Rightarrow DE-\dfrac{1}{3}DE=DK+DK\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}DE=DK+ID\left(DK=ID\right)\)
\(\Rightarrow KE=IK\) (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow BI=IK=KE\left(đpcm\right)\)
Cho đoạn thẳng AB = 18 cm được chia thành hai phần AC và CB không bằng nhau. Tính khoảng cách từ điểm giữa I của AC đến điểm giữa K của CB
Câu trả lời của bạn
Ta có:điểm I là điểm giữa của AC→I là trung điểm của AC.
điểm K là điểm giữa của CB→K là trung điểm của CB.
→AI=CI và KC=KB.
Ta lại có:AI+KC=CI+KB=AB/2=18/2=9cm.
Vậy khoảng cách từ điểm giữa I của AC đến điểm giữu K của CB là 9cm.
Hỏi trọng tâm một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không?
Vì sao?
Help me!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><><>________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________<>
Câu trả lời của bạn
Trọng tâm của tam giác đều cách đều ba cạnh của nó :
Giả sử ∆ABC đều có trọng tâm G
=> GA = 2323AN; GB = 2323BM; GC = 2323EC
Vì ∆ABC đều nên ba trung tuyến AN, BM, CE bằng nhau
=> GA = GB = GC
Do đó: ∆AMG = ∆CMG (c.c.c)
=> ˆAMG=ˆCMGAMG^=CMG^
Mà ˆAMG=ˆCMGAMG^=CMG^ = 1800
=> ˆAMGAMG^ = 900
=> GM ⊥ AC tức là GM khoảng cách từ G đến AC
Chứng minh tương tự GE, GN là khoảng cách từ G đến AB, AC
Mà GM =1313BM; GN = 1313AN; EG = 1313EC
Và AN = BM = EC nên GM = GN = GE
Hay G cách đều ba cạnh của tam giác ABC
Cho tam giác ABC nhọn có BC là cạnh nhỏ nhất. Trung tuyến của AB cắt AC tại I và cắt BC tại E và F.
Biết góc BAC=m, tính góc EAF.
Câu trả lời của bạn
Mình ghi hơi thiếu nhé: "trung tuyến AB cắt trung tuyến AC tại I" nhé.
Hãy chứng minh định lý: Nếu tam giác có 2 đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân
Câu trả lời của bạn
Gọi Δ ABC có trung tuyến BM = CN, G là trọng tâm Δ (giao điểm các trung tuyến)
Ta có :
GB = 2/3.BM
GC = 2/3.CN
Mà BM = CN => GB = GC
=> Δ BGC cân tại G
=> ∠ MBC = ∠ NCB
Xét Δ BMC và Δ CNB :
BM = CN
∠ MBC = ∠ NCB
BC là cạnh chung
=> Δ BMC = Δ CNB (c - g - c)
=> ∠ MCB = ∠ NBC
hay ∠ ACB = ∠ ABC
=> Δ ABC cân tại A
CMR nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân
Câu trả lời của bạn
Giải:
Ta có: \(BK=CH\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{2}{3}BK=\dfrac{2}{3}CH\Rightarrow IB=IC\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}BK=\dfrac{1}{3}CH\Rightarrow IK=IH\)
Xét \(\Delta HIB,\Delta KIC\) có:
\(\widehat{HIB}=\widehat{KIC}\) ( đối đỉnh )
IH = IK ( cmt )
IB = IC ( cmt )
\(\Rightarrow BH=CK\) ( cạnh t/ứng )
\(\Rightarrow2BH=2CK\Rightarrow AB=AC\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A
Vậy nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân
cho tam giác ABC có góc A bằng 900 a)trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE=2 cm; trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AB.chứng minh tam giác BEC= tam giác DEC. b) chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC
Câu trả lời của bạn
a) có \(\Delta\) ABC vuông tại A
=> AB2 + AC2 = BC2 ( định lý py - ta - go )
=> 82 + 62 = BC2 ( vì AB = 8 cm ; AC = 6 cm)
=> BC2 = 100
=> BC = 10 ( cm )
xét \(\Delta\) BAE vuông tại A
\(\Delta\) DAE vuông tại A
có BA = DA ( gt )
AE là cạnh chung
=> \(\Delta\) BAE = \(\Delta\) DAE ( 2 cạnh góc vuông )
=> BE = DE ( 2 cạnh tương ứng )
góc BEA = góc DEA ( 2 góc tương ứng )
có góc BEA + góc BEC = 180 độ ( 2 góc kề bù )
góc DEA + góc DEC = 180 độ ( 2 góc kề bù )
mà góc BEA = góc DEA ( gt)
=> góc BEC = góc DEC
xét \(\Delta\) BEC và \(\Delta\) DEC có
BE = DE ( 2 cạnh tương ứng của \(\Delta\) BAE = \(\Delta\) DAE )
góc BEC = góc DEC ( cmt )
EC là cạnh chung
=> \(\Delta\) BEC = \(\Delta\) DEC ( c-g-c )
b) có BA = DA ( gt)
=> CA là đường trung tuyến của \(\Delta\) ABC
có AE = 2 cm ( gt )
và AC = 6 cm ( gt )
=> AE = \(\dfrac{1}{3}\) AC
=> E là trọng tâm của \(\Delta\) ABC ( tính chất 3 đường trung tuyến )
=> DI là đường trung tuyến còn lại
=> BI = CI ( tính chất đường trung tuyến )
=> I là trung điểm của BC
=> DE đi qua trung điểm của BC
Cho tam giac ABC. Ve trung tuyen BM. Tren tia BM lay 2 diem G va K sao cho BG=\(\dfrac{2}{3}\)BM va G la trung diem cua BK. Goi N la trung diem cua KC, GN cat CM tai O. CM ;
a. Goc O la trong tam cua tam giac GAC
b.GO=\(\dfrac{1}{3}\) BC
Câu trả lời của bạn
+ Ta có BG=KG=2/3 BM mà MG=1/3 BM => MK=1/3 BM
=> MK=MG
+ Xét tam giác CGK có
MK=MG
NK=NC
=> I là trọng tâm của tam giác CGK
=> CI=2/3 CM, mà CM=1/2AC => CI=1/3 AC
Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI
a) Cm tam giác DEI = tam giác DFI
b) Cho biết số đo của 2 góc DIE và DIF
c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI
Câu trả lời của bạn
Hình, tự vẽ:
a/ Xét tam giác DEI và tam giác DFI có:
DE = DF (tam giác DEF cân)
DI: chung
EI = FI (vì DI là trung tuyến của tam giác DEF)
Vậy tam giác DEI = tam giác DFI (c.c.c)
b/ Ta có: tam giác DEI = tam giác DFI
=> góc DIE = góc DIF (hai góc tương ứng)
Mà góc DIE + góc DIF = 1800 (kề bù)
=> góc DIE = góc DIF = 900
c/ Ta có: EI = IF = EF/2 = 10/2 = 5 cm
Ta có tam giác DIE vuông tại I
=> DE2 = EI2 + DI2
=> 132 = 52 + DI2
=> DI2 = 169 - 25 = 144
=> DI = 12 cm
7/ Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM=2/3BC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN=CA, AM cắt BN tại I.
Chứng minh: I là trung điểm của BN.
8/ Cho tam giác ABC(AB=AC), có BM, CN là hai trung tuyến cắt nhau tại IG. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME= MG. Trên tia đối của tia NC lấy điểm F sao cho NF = NG.
Chứng minh:
a) AG vuông góc với BC ; b) tam giác BGF= tam giác EGC ; c) BF// CE.
Giúp mk 2 bài này nha càng sớm càng tốt mai mk nộp cho thầy rồi cám ơn các bạn trước!!
Thanks you very much!!
Câu trả lời của bạn
7. ta có: BM là trọng tâm (BM =2/3 BC)
C trung điểm AN
=> i trung điểm BN
8.ta có: N trung điểm AB
M trung điểm AC
CN,BM cắt tại G
=> AG là trọng tâm
=> AG vuông góc CB
ta có: G là trọng tâm trong tam giác ABC
-> CG=2/3 CN
BG=2/3 BM
mà : tam giác ABC cân tại A
->CN=BM
=> BG=CG (1)
ta có: CG+GN=CN
BG+GM=BM
mà: CG=BG;CN=BM
nên: NG=GM
->2NG=2GM
->FG=GE (2)
(1)(2); FGB=EGC=>tam giác FGB = tam giác EGC (cgc)
=>GFB=GCE
mà 2 góc nằm ở vị trí so le trong
nên BF//CE
done! chúc em làm bài tốt nha để nộp cho thầy nha!!!
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *