Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
Đoạn thẳng AM đối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến.
Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến
Định lý:
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác.
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB = 20A. Trên y’y lấy 2 điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi là P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.
Giải
Ta có O là trung điểm của LM (gt)
Suy ra BO là đường trung tuyến của \(\Delta BLM\,{\,^{(1)}}\)
Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2AO + AO = 3AO vì AB =2AO (gt)
Suy ra \(AO = \frac{1}{3}BO\,\,hay\,\,BA = \frac{2}{3}BO{\,^{\,(2)}}\)
Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của \(\Delta BLM\) (tính chất của trọng tâm)
Mà LP và MQ là các đường trung tuyến của \(\Delta BLM\) vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt) và O là trung điểm của đoạn thẳng LB (gt)
Suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A (tính chất 3 đường trung tuyến).
Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME = MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF = NG. Chứng minh:
a. EF = BC
b. Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.
Giải
a. Ta có BM và CN là 2 đường trung tuyến cặp nhau tại G nên G là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow GC = 2GN\)
Mà \(FG{\rm{ }} = {\rm{ }}2GN \Rightarrow GC = GF.\)
Tương tự BG, GE và \(\widehat {{G_1}} = \widehat {{G_2}}\) (đđ). Do đó \(\Delta BGC = \Delta EGF\,\,(c.g.c)\)
Suy ra BC = EF
b. G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong \(\Delta ABC.\)
Nên AG đi qua trung điểm của BC.
Ví dụ 3: Kéo dài trung tuyến AM của \(\Delta ABC\) một đoạn thẳng MD có độ dài bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài AM. Gọi G là trọng tâm của \(\Delta ABC\). So sánh các cạnh của \(\Delta BGD\) với các trung tuyến của \(\Delta ABC.\)
Giải
Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB.
Ta có AM, BN, CP cắt nhau tại G(tính chất đường trung tuyến) và có
\(BG = \frac{2}{3}BN;CG = \frac{2}{3}CP;AG = \frac{2}{3}AM.\)
\(\begin{array}{l}\Delta BMG = \Delta CMD\,\,(c.g.c) \Rightarrow GB = DC\\\Delta GMC = \Delta DMB\,\,(c.g.c) \Rightarrow GC = DB\end{array}\)
Xét \(\Delta BGD\) và \(\Delta CDG\) có:
GB = DC
BD = DG
GD cạnh chung
Nên \(\Delta BGD = \Delta CDG\,(c.c.c) \Rightarrow BD = CG = \frac{2}{3}CP\)
Ta cũng có: \(GD = \frac{2}{3}AM\)
Ta có \(\Delta BGD\) có các cạnh lần lượt bằng \(\frac{2}{3}\) các trung tuyến của \(\Delta ABC\)
Bài 1: Cho \(\Delta ABC\). Trên cạnh BC lấy điểm T sao cho \(TB = \frac{2}{3}BC\). Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Đường thẳng DT cắt cạnh AB tại E. Chứng minh EA = EB.
Giải
Trong \(\Delta ABD\) có: BC là trung tuyến vì CA = CD.
Và \(TB = \frac{2}{3}BC,\) do đó T là trọng tâm của \(\Delta ABD\).
Suy ra DT là đường thẳng chứa trung tuyến xuất phát từ D nên phải qua trung điểm E của AB.
Vậy EA = EB.
Bài 2: Cho \(\Delta ABC\), AC > AB. Gọi BE và CD là các trung tuyến.
Chứng minh: CD > BE.
Giải
Gọi F là trung tuyến của BC thì ba đường trung tuyến AF, BE, CD cắt nhau ở M. Vì AC > AB nên \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\) (do \(\Delta AFB\) và \(\Delta AFC\)có AF cạnh chung, FB = FC và AC > AB)
Từ \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\)từ hai tam giác MFB và MFC có: MF cạnh chung, FB = FC ta suy ra MC > MB.
Hay \(\frac{2}{3}CD > \frac{2}{3}BE.\) Vậy CD > BE.
Bài 3: Cho \(\Delta ABC,BC = a,CA = b,AB = c.\) Kẻ trung tuyến AM. Đặt \(AM = {m_a}.\)
Chứng minh rằng: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\)
Giải
Với \(\Delta AMB\) ta có: AM + MB > AB (1)
Với \(\Delta AMC\) ta có: AM + MC > AC (2)
Cộng từng vế ta được: 2AM+(BM+MC)>AB+AC
Hay \(2{m_a} + a > b + c\)
Suy ra \({m_a} > \frac{{b + c - a}}{2}\,{\,^{(1)}}\)
Theo bài 411, ta được: \({m_a} < \frac{{b + c}}{2}\,{\,^{(2)}}\)
Từ (1) và (2) ta được: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\)
Qua bài giảng Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Chọn câu sai:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng...độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 4để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 23 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 24 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 25 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 26 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 27 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 28 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 29 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 30 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 31 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 32 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 33 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 34 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 35 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 36 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 37 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 38 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 39 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Chọn câu sai:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng...độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"
Cho hình vẽ sau:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG = ...BE
Cho hình vẽ sau:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: AG = ...GD
Trong tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là
Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH (h. 24)
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
\(\begin{array}{l} \frac{{DG}}{{DH}} = \frac{1}{2};\frac{{DG}}{{GH}} = 3\\ \frac{{GH}}{{DH}} = \frac{1}{3};\frac{{GH}}{{DG}} = \frac{2}{3} \end{array}\)
Cho hình 25. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:
a) MG=...MR; GR=...MR; GR=...MG
b) NS=...NG; NS=...GS; NG=...GS
Biết rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB=3cm, AC=4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau
Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân
Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.
a) Chứng minh tam giác DEI=tam giác DFI
b) Cho biết số đo của hai góc DIE và DIF
c) Biết DE=DF=13cm, EF=10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:
GA=GB=GC
Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm của AG'
a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC
b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC
Cho hình 7. Điền vào chỗ trống:
\(GK = ….CK; AG = … GM;\) \(GK = … CG;\)
\(AM = ….AG; AM = … GM.\)
Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = AC = 34cm, BC = 32cm.\) Kẻ đường trung tuyến \(AM.\)
a) Chứng minh rằng \(AM \bot BC\)
b) Tính độ dài \(AM.\)
Gọi \(\displaystyle G\) là trọng tâm của tam giác \(\displaystyle ABC.\) Vẽ điểm \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle G\) là trung điểm của \(\displaystyle AD.\) Chứng minh rằng:
a) Các cạnh của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng \(\displaystyle \displaystyle {2 \over 3}\) các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle ABC\)
b) Các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng một nửa các cạnh của tam giác \(\displaystyle ABC.\)
Tam giác \(\displaystyle ABC\) có \(\displaystyle BC = 10cm,\) các đường trung tuyến \(\displaystyle BD\) và \(\displaystyle CE.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle BD + CE > 15cm.\)
Cho tam giác \(\displaystyle ABC.\) Trên tia đối của tia \(\displaystyle BA\) lấy điểm \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle BD = BA.\) Trên cạnh \(\displaystyle BC\) lấy điểm \(\displaystyle E\) sao cho \(\displaystyle BE = {1 \over 3}BC\). Gọi \(\displaystyle K\) là giao điểm của \(\displaystyle AE\) và \(\displaystyle CD. \) Chứng minh rằng \(\displaystyle DK = KC.\)
Theo kết quả của bài 64 chương II, SBT Toán 7 tập 1 ta có: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau: Cho tam giác \(\displaystyle ABC,\) đường trung tuyến \(\displaystyle AD.\) Kẻ đường trung tuyến \(\displaystyle BE\) cắt \(\displaystyle AD\) ở \(\displaystyle G.\) Gọi \(\displaystyle I, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(\displaystyle GA, GB.\) Chứng minh rằng:
a) \(\displaystyle IK // DE, IK = DE\)
b) \(\displaystyle {\rm{A}}G = {2 \over 3}A{\rm{D}}\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường trung tuyến \(AM.\) Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MD = MA.\)
a) Tính số đo góc \(ABD.\)
b) Chứng minh: \(∆ABC = ∆BAD.\)
c) So sánh độ dài \(AM\) và \(BC.\)
Tam giác \(\displaystyle ABC\) có đường trung tuyến \(\displaystyle AM\) bằng nửa cạnh \(\displaystyle BC.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle \widehat {BAC} = 90^\circ \).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu c làm kiểu gì vậy?
Câu trả lời của bạn
Lớp mấy ạ
Làm giúp em câu 11 ạ
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9 cm AC = 12 cm vẽ trung tuyến AM Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a/ Chứng minh tam giác MAB = tam giác MDC.
b/ Gọi K là trung điểm của AC Chứng minh KD = KB.
c/ Tính độ dài BC?
Câu trả lời của bạn
Làm giúp em vs
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
ukm
Cho tam giác MNP cân tại P/ đường trung tuyến PI .Chứng minh tam giác PMI= tam giác PNI.Chứng minh PI vuông góc với MN.Cho PM=PN=13cm ; MN=10cm.Tính PI
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
a) Xét tam giác PMI và tam giác PNI có:
MI=IN(PI là trung tuyến)
PI chung
PM=PN(tam giác MNP cân tại P)
=> tam giác PMI = tam giác PNI(c,c,c)
b) Do tam giác PMI = tam giác PNI (theo a)
=> góc PIM = góc PIN ( 2 góc t/ư)
Mà chúng kề bù
=> góc PIM = góc PIN = 90o
=> PI vuông góc vs MN
c) Do PI là trung tuyến
=> MI = IN
Mà MN = 10 cm
=> MI =NI = 5cm
Xét tam giác PIN có góc I = 90o
=> PN2 = PI2 + IN2 (định lí pi-ta-go)
=> PI2 = PN2 - IN2
=> PI2 = 169 - 25
PI2 = 144 => PI = 12(cm)
Câu trả lời của bạn
a, Xét tam giác BMH và tam giác CMK
Có : Góc BHM = góc CKM (=90o)
Góc BMH = góc CMK (2 góc đối đỉnh)
BM = CK (AM là trung tuyến)
=> Tam giác BMH và tam giác CMK (CH-GN)
Nên BH = CK (2 cạnh tương ứng)
cho tam giác ABC cân tại A (A<90). Kẻ tia phân giác của BAC cắt BC tại H.
a) Chứng minh tam giác ABH =ACH
b) Kẻ trung tuyến BD của tam giác ABC cắt AH tại G(D thuôc AC). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
c) Cho AB=15cm, BH=9cm. Tính AH, AG
d) Qua H vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh C,G,E thẳng hàng.
Câu trả lời của bạn
a. ABH=ACH (g-g-g)
Học tốt~~~
a) cân tại A, xét 2 tam giác có : cạnh chung, hai cạnh bên = nhau, hai góc đáy = nhau là đc
Giúp tớ với ạ
Cho Tam Giác ABC có AD và BE là các trung tuyến cắt nhau tại G. biết AD=12cm. BE=9cm. Tính AG và GE
Câu trả lời của bạn
AG=8cm và GE=6cm
Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại M. Chứng minh:
a) BD bằng CE
b) DE song song với BC
C) M là trung điểm của của BC
d) cho GM bằng 1cmt, BC bằng 8cm, tính chu vi tam giác ABC.
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC cân tại B(B<90 độ).Kẻ AH vuông góc BC, CK cuông góc AB, AH và CK cắt nhau tại M
a) Chứng minh AH= CK
b) CM tam giác MAC cân
c) Trên tia CK lấy điểm D sao cho K là trung điểm của CD. CM ADC^=HAC^
GIÚP MÌNH VS Ạ
Câu trả lời của bạn
như trên
ok
a,AHB = AKB ⇒ AH=CK
b, theo câu a, suy ra góc HAC=KCA ⇒ tam giác MAC cân
c, ADC = KCA; HAC = KCA ⇒ ADC = HAC
a. c/m tam giác BAH=tam giác BCK(ch-gn)
góc b chung
AB=AC
=> AH=CK
b.c/m tam giác CKA=tam giác AHK(cgv-gnk)
AH=CK
AC chung
=> góc ACK = góc CAH
=> tam giác ACM cân tại M
c. K là trung điểm CD => AK là trung tuyến tam giác ACD
mà KA vuông góc CD
=> AK là dường cao tam giác ACD
=> tam giác ACD cân tại A
=> góc ACD= ADC
mà ACD=HAC(cmt)
=>dpcm
nó sai sai ở đâu á
đề có vẫn đề à bạn
bn cần nữa ko
Easy mà
Không làm ra được, đề có bị sao ko thế ?
AH=AB
CK=CB
Mà AB=CB ( tam giác ABC cân tại B)
Nên AH=CK
hể sai ở đâu v
Đề sai rồi nha bạn
theo cách của mik lm nên ko bt có đúng hay ko
a, Xét tam giác AHC và tam giác ACK
CÓ ; GÓC AHC =GÓC AKC ( =90 độ)
AC LÀ CẠNH CHUNG
GÓC ACH=GÓC CAK(tam giác ABCcân tại B)
suy ra ; tam giác AHC= tam giác CKA( cạnh huyền - góc nhọn)
suy ra ; AH=CK (2 cạnh tương ứng)
B, ;GÓC MAC= GÓC MCA ( 2 CẠNH TƯƠNG ỨNG)
NÊN TAM GIÁC MAC LÀ TAM GIÁC CÂN
C, XÉT TAM GIÁC AKD VÀ TAM GIÁC AKC(1)
CÓ ;GÓC AKD= GÓC AKC (=90 ĐỘ)
AK LÀ CẠNH CHUNG
DK=CK
SUY RA ; TAM GIÁC AKD= TAM GIÁC AKC (C.G.C)
SUY RA ;GÓC ADK= GÓC ACK (2 GÓC TƯƠNG ỨNG)(2)
TỪ (1)VÀ (2) SUY RA ; GÓC ADK=GÓC HAC ,HAY GÓC ADC=GÓC HAC
.
Câu trả lời của bạn
Bài 4
Câu trả lời của bạn
A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến
B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt tại một điểm
C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó
D. Một tam giác có hai trọng tâm
Câu trả lời của bạn
Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên D sai.
Chọn đáp án D.
Cho hình vẽ sau:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG = ....BE
A. 2
B. 3
C. 1/3
D. 2/3
Câu trả lời của bạn
Ta có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:
Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm là: 2/3
Chọn đáp án D.
A. 2/3
B. 3/2
C. 3
D. 2
Câu trả lời của bạn
Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy
Số cần điền là 2/3.
Chọn đáp án A.
Cho hình vẽ sau:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: AG = ....GD
A. 2
B. 3
C. 1/3
D. 2/3
Câu trả lời của bạn
Ta có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC .
Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:
Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm là: 2
Chọn đáp án A.
A. 4,5cm
B. 3cm
C. 6cm
D. 4cm
Câu trả lời của bạn
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên AG = (2/3)AM (tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)
Do đó: AG = (2/3).9 = 6cm
Chọn đáp án C.
A. Điểm D
B. Điểm E
C. Điểm O
D. Cả A, B, C đều sai
Câu trả lời của bạn
Ta có: D, E, O thuộc trung tuyến AM
Mà AD = DE = EM; O là trung điểm của DE
Nên AD = 1/3 AM; AE = 2/3 AM;
O là trung điểm của AM
Khi đó E là trọng tâm của tam giác ABC
(khoảng cách từ đỉnh tới trọng tâm của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh đó).
Chọn đáp án B
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *