Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
Đoạn thẳng AM đối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến.
Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến
Định lý:
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác.
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB = 20A. Trên y’y lấy 2 điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi là P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.
Giải
Ta có O là trung điểm của LM (gt)
Suy ra BO là đường trung tuyến của \(\Delta BLM\,{\,^{(1)}}\)
Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2AO + AO = 3AO vì AB =2AO (gt)
Suy ra \(AO = \frac{1}{3}BO\,\,hay\,\,BA = \frac{2}{3}BO{\,^{\,(2)}}\)
Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của \(\Delta BLM\) (tính chất của trọng tâm)
Mà LP và MQ là các đường trung tuyến của \(\Delta BLM\) vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt) và O là trung điểm của đoạn thẳng LB (gt)
Suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A (tính chất 3 đường trung tuyến).
Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME = MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF = NG. Chứng minh:
a. EF = BC
b. Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.
Giải
a. Ta có BM và CN là 2 đường trung tuyến cặp nhau tại G nên G là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow GC = 2GN\)
Mà \(FG{\rm{ }} = {\rm{ }}2GN \Rightarrow GC = GF.\)
Tương tự BG, GE và \(\widehat {{G_1}} = \widehat {{G_2}}\) (đđ). Do đó \(\Delta BGC = \Delta EGF\,\,(c.g.c)\)
Suy ra BC = EF
b. G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong \(\Delta ABC.\)
Nên AG đi qua trung điểm của BC.
Ví dụ 3: Kéo dài trung tuyến AM của \(\Delta ABC\) một đoạn thẳng MD có độ dài bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài AM. Gọi G là trọng tâm của \(\Delta ABC\). So sánh các cạnh của \(\Delta BGD\) với các trung tuyến của \(\Delta ABC.\)
Giải
Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB.
Ta có AM, BN, CP cắt nhau tại G(tính chất đường trung tuyến) và có
\(BG = \frac{2}{3}BN;CG = \frac{2}{3}CP;AG = \frac{2}{3}AM.\)
\(\begin{array}{l}\Delta BMG = \Delta CMD\,\,(c.g.c) \Rightarrow GB = DC\\\Delta GMC = \Delta DMB\,\,(c.g.c) \Rightarrow GC = DB\end{array}\)
Xét \(\Delta BGD\) và \(\Delta CDG\) có:
GB = DC
BD = DG
GD cạnh chung
Nên \(\Delta BGD = \Delta CDG\,(c.c.c) \Rightarrow BD = CG = \frac{2}{3}CP\)
Ta cũng có: \(GD = \frac{2}{3}AM\)
Ta có \(\Delta BGD\) có các cạnh lần lượt bằng \(\frac{2}{3}\) các trung tuyến của \(\Delta ABC\)
Bài 1: Cho \(\Delta ABC\). Trên cạnh BC lấy điểm T sao cho \(TB = \frac{2}{3}BC\). Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Đường thẳng DT cắt cạnh AB tại E. Chứng minh EA = EB.
Giải
Trong \(\Delta ABD\) có: BC là trung tuyến vì CA = CD.
Và \(TB = \frac{2}{3}BC,\) do đó T là trọng tâm của \(\Delta ABD\).
Suy ra DT là đường thẳng chứa trung tuyến xuất phát từ D nên phải qua trung điểm E của AB.
Vậy EA = EB.
Bài 2: Cho \(\Delta ABC\), AC > AB. Gọi BE và CD là các trung tuyến.
Chứng minh: CD > BE.
Giải
Gọi F là trung tuyến của BC thì ba đường trung tuyến AF, BE, CD cắt nhau ở M. Vì AC > AB nên \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\) (do \(\Delta AFB\) và \(\Delta AFC\)có AF cạnh chung, FB = FC và AC > AB)
Từ \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\)từ hai tam giác MFB và MFC có: MF cạnh chung, FB = FC ta suy ra MC > MB.
Hay \(\frac{2}{3}CD > \frac{2}{3}BE.\) Vậy CD > BE.
Bài 3: Cho \(\Delta ABC,BC = a,CA = b,AB = c.\) Kẻ trung tuyến AM. Đặt \(AM = {m_a}.\)
Chứng minh rằng: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\)
Giải
Với \(\Delta AMB\) ta có: AM + MB > AB (1)
Với \(\Delta AMC\) ta có: AM + MC > AC (2)
Cộng từng vế ta được: 2AM+(BM+MC)>AB+AC
Hay \(2{m_a} + a > b + c\)
Suy ra \({m_a} > \frac{{b + c - a}}{2}\,{\,^{(1)}}\)
Theo bài 411, ta được: \({m_a} < \frac{{b + c}}{2}\,{\,^{(2)}}\)
Từ (1) và (2) ta được: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\)
Qua bài giảng Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Chọn câu sai:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng...độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 4để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 23 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 24 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 25 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 26 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 27 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 28 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 29 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 30 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 31 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 32 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 33 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 34 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 35 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 36 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 37 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 38 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 39 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Chọn câu sai:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng...độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"
Cho hình vẽ sau:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG = ...BE
Cho hình vẽ sau:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: AG = ...GD
Trong tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là
Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH (h. 24)
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
\(\begin{array}{l} \frac{{DG}}{{DH}} = \frac{1}{2};\frac{{DG}}{{GH}} = 3\\ \frac{{GH}}{{DH}} = \frac{1}{3};\frac{{GH}}{{DG}} = \frac{2}{3} \end{array}\)
Cho hình 25. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:
a) MG=...MR; GR=...MR; GR=...MG
b) NS=...NG; NS=...GS; NG=...GS
Biết rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB=3cm, AC=4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau
Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân
Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.
a) Chứng minh tam giác DEI=tam giác DFI
b) Cho biết số đo của hai góc DIE và DIF
c) Biết DE=DF=13cm, EF=10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:
GA=GB=GC
Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm của AG'
a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC
b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC
Cho hình 7. Điền vào chỗ trống:
\(GK = ….CK; AG = … GM;\) \(GK = … CG;\)
\(AM = ….AG; AM = … GM.\)
Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = AC = 34cm, BC = 32cm.\) Kẻ đường trung tuyến \(AM.\)
a) Chứng minh rằng \(AM \bot BC\)
b) Tính độ dài \(AM.\)
Gọi \(\displaystyle G\) là trọng tâm của tam giác \(\displaystyle ABC.\) Vẽ điểm \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle G\) là trung điểm của \(\displaystyle AD.\) Chứng minh rằng:
a) Các cạnh của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng \(\displaystyle \displaystyle {2 \over 3}\) các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle ABC\)
b) Các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng một nửa các cạnh của tam giác \(\displaystyle ABC.\)
Tam giác \(\displaystyle ABC\) có \(\displaystyle BC = 10cm,\) các đường trung tuyến \(\displaystyle BD\) và \(\displaystyle CE.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle BD + CE > 15cm.\)
Cho tam giác \(\displaystyle ABC.\) Trên tia đối của tia \(\displaystyle BA\) lấy điểm \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle BD = BA.\) Trên cạnh \(\displaystyle BC\) lấy điểm \(\displaystyle E\) sao cho \(\displaystyle BE = {1 \over 3}BC\). Gọi \(\displaystyle K\) là giao điểm của \(\displaystyle AE\) và \(\displaystyle CD. \) Chứng minh rằng \(\displaystyle DK = KC.\)
Theo kết quả của bài 64 chương II, SBT Toán 7 tập 1 ta có: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau: Cho tam giác \(\displaystyle ABC,\) đường trung tuyến \(\displaystyle AD.\) Kẻ đường trung tuyến \(\displaystyle BE\) cắt \(\displaystyle AD\) ở \(\displaystyle G.\) Gọi \(\displaystyle I, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(\displaystyle GA, GB.\) Chứng minh rằng:
a) \(\displaystyle IK // DE, IK = DE\)
b) \(\displaystyle {\rm{A}}G = {2 \over 3}A{\rm{D}}\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường trung tuyến \(AM.\) Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MD = MA.\)
a) Tính số đo góc \(ABD.\)
b) Chứng minh: \(∆ABC = ∆BAD.\)
c) So sánh độ dài \(AM\) và \(BC.\)
Tam giác \(\displaystyle ABC\) có đường trung tuyến \(\displaystyle AM\) bằng nửa cạnh \(\displaystyle BC.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle \widehat {BAC} = 90^\circ \).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Gọi G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) . Trên tia đối AG lấy G' sao cho G' là trung điểm của AG'.
a) So sánh các cạnh của \(\Delta BGG'\) với các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)
b) So sánh các đường trung tuyến của \(\Delta BGG'\) với các cạnh của \(\Delta ABC\)
giúp vs mọi người!!!
Câu trả lời của bạn
a) So sánh các cạnh của ∆BGG’ với các đường trung tuyến của ∆ABC BG cắt AC tại N
CG cắt AB tại E
G là trọng tâm của ∆ABC
=> GA = AM
Mà GA = GG’ ( G là trung điểm của AG ‘)
GG'= AM
Vì G là trọng tâm của ∆ABC => GB = BN
Mặt khác : GM = AG ( G là trọng tâm )
AG = GG '(gt)
GM = GG '
M là trung điểm GG’
Do đó ∆GMC = ∆G’MB vì :
GM = GM '
MB = MC
=> BG '= CG
mà CG = CE (G là trọng tâm ∆ABC)
=> BG = EC
Vậy mỗi cạnh của ∆BGG' bằng đường trung tuyến của ∆ABC
b) So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG' với cạnh ∆ABC
ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG'
mà M là trung điểm của BC nên BM = BC
Vì IG = BG (I là trung điểm BG)
GN = BG ( G là trọng tâm)
=> IG = GN
Do đó ΔIGG '= ΔNGA (cgc) => IG' = AN => IG '=
- Gọi K là trung điểm BG => GK là trung tuyến ∆BGG'
Vì GE = GC (G là trọng tâm ∆ABC)
=> GE = BG
mà K là trung điểm BG' => KG' = EG
Vì ∆GMC = ∆G'BM (chứng minh trên)
=> (lại góc sole trong)
=> CE // BG' => (đồng vị)
Làm Độ ΔAGE = ΔGG'K (CGC) => AE = GK
mà AE = AB nên GK = AB
Vậy mỗi đường trung tuyến ∆BGG' bằng một nửa cạnh của tam giác ABC song song với nó
Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân ?
Câu trả lời của bạn
Gọi Δ ABC có trung tuyến BM = CN, G là trọng tâm Δ (giao điểm các trung tuyến)
Ta có :
GB = 2/3.BM
GC = 2/3.CN
Mà BM = CN => GB = GC
=> Δ BGC cân tại G
=> ∠ MBC = ∠ NCB
Xét Δ BMC và Δ CNB :
BM = CN
∠ MBC = ∠ NCB
BC là cạnh chung
=> Δ BMC = Δ CNB (c - g - c)
=> ∠ MCB = ∠ NBC
hay ∠ ACB = ∠ ABC
=> Δ ABC cân tại A (đpcm)
Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 34 cm, BC = 32 cm. Kẻ đường trung tuyến AM
a) Chứng minh rằng \(AM\perp BC\)
b) Tính độ dài AM
Câu trả lời của bạn
a. Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có:
AM = AC (gt)
BM = CM (gt)
AM cạnh chung
Suy ra: ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)
Suy ra: ∠(AMB) = ∠(AMC) (1)
Lại có: ∠(AMB) + ∠(AMC) = 180o (hai góc kề bù) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠(AMB) = ∠(AMC) = 90o
Vậy AM ⊥ BC.
b. Tam giác AMB có ∠(AMB) = 90o
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AMB, ta có:
AB2 = AM2 + BM2 ⇒ AM2 = AB2 - BM2 = 342 - 162
= 1156 - 256 = 900
Suy ra: AM = 30 (cm).
Theo kết quả của bài 64 chương II, phần Hình học, SBT Toán 7 một ta có :
Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng :
a) IK // DE, IK = DE
b) \(AG=\dfrac{2}{3}AD\)
Câu trả lời của bạn
a) DE // AB, DE = \(\dfrac{1}{2}\)AB, IK // AB, IK = \(\dfrac{1}{2}\)AB
=> DE//IK và DE = IK
b) Xét tg GDE và tg GIK có:
DE = IK (cmt)
GDE = GIK (slt)
GED = GKI (slt)
=> tg GDE = tg GIK (g.c.g)
=> GD = GI ( c.t.ứ)
Có GD = GI = IA nên AG = \(\dfrac{2}{3}\)AD
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ điểm D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh rằng :
a) Các cạnh của tam giác BGD bằng \(\dfrac{2}{3}\) các đường trung tuyến của tam giác ABC
b) Các đường trung tuyến của tam giác BGD bằng một nửa các cạnh của tam giác ABC
Câu trả lời của bạn
a) Gọi AM , BN , CP là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) . Ta có GD = AG = 2GM và GD = GM + MD nên GM = MD
\(\Delta BMD=\Delta CMG\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow BD=CG=\dfrac{2}{3}CP\) (1)
Ta có \(BG=\dfrac{2}{3}BN\) (2)
\(GD=AG=\dfrac{2}{3}AM\) (3)
Từ (1) , (2) , (3) suy ra các cạnh của \(\Delta BGD=\dfrac{2}{3}\) các đường trung truyến của \(\Delta ABC\)
b) Gọi CE , DF là các đường trung tuyến của \(\Delta BGD\) . Từ đây tự chứng minh \(BM=\dfrac{1}{2}BC;GE=\dfrac{1}{2}AB;DF=AN=\dfrac{1}{2}AC\)
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM
a) Tìm trọng tâm của tam giác AEM
b) So sánh các cạnh của tam giác ABC với các đường trung tuyến của tam giác AEM
c) So sánh các đường trung tuyến của tam giác ABC với các cạnh của tam giác AEM
Câu trả lời của bạn
Giải
a) Do AD = DE nên MD là một đường trung tuyến của tam giác AEM. Hơn nữa do
CD=12CB=12CMCD=12CB=12CM
Nên C là trọng tâm của tam giá AEM.
b) Các đường thẳng AC, EC lần lượt cắt EM, AM tại F, I. Tam giác AEM có các đường trung tuyến là AF, EI, MD. Ta có ∆ADB = ∆EDG (c.g.c) nên AB = EC
Vậy: AC=23AF;BC=CM=23MD;AB=EC=23EIAC=23AF;BC=CM=23MD;AB=EC=23EI
c) Trước tiên, theo giả thiết, ta có AD = DE nên AD=12AEAD=12AE
Gọi BP, CQ là các trung tuyến của ∆ABC.
∆BCP = ∆MCF => BP=FM=12EMBP=FM=12EM. Ta sẽ chứng minh CQ=12AMCQ=12AM
Ta có:
ΔABD=ΔECD⇒ˆBAD=ˆCED⇒AB//EC⇒ˆQAC=ˆICAΔABD=ΔECD⇒BAD^=CED^⇒AB//EC⇒QAC^=ICA^
Hai tam giác ACQ và CAI có cạnh AC chung, ˆQAC=ˆICAQAC^=ICA^;
AQ=12AB=12EC=ICAQ=12AB=12EC=IC nên chúng bằng nhau.
Vậy CQ=AI=12AMCQ=AI=12AM.
Tóm lại: AD=12AE,BP=12EM,CQ=12AM
Cho tam giac ABC . Tren tia doi tia AB lay diem C sao cho AE=2AB. Tren tia doi tia BC lay D sao cho BC=BD .CM a) A la trong tam cua tam giac CDE b)CA di qua trung diem cua DE
Câu trả lời của bạn
a, Vì AE=2AB
=>AE/AB=1/2
suy ra: A là trọng tâm của tam giác CDE
b,Gọi F là trung điểm của DE
=>CF là trung tuyến của tam giác CDE
mà A là trọng tâm của tam giác CDE
suy ra:C;A;F thẳng hàng
=>CA đi qua trung điểm của DE
=>đpcm
Bài 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết BM = CN. CMR: AG vuông góc với BC. Bài 2: Cho tam giác ABC, các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. CMR: b, BE + CF > \(\dfrac{3}{2}\) c, \(\dfrac{3}{4}\) Giúp mk vs các pạn !!! Mk cần gấp @Hoàng Thị Ngọc Anh
a, AD < \(\dfrac{AB+AC}{2}\)
Câu trả lời của bạn
hình bạn tự vẽ nha
trên tia đối của tia AD lấy H sao cho AD=DH
tg ADB=tg HCD(c.g.c)
Xét \(\Delta ACH\)có AH<AC+CH (bất đẳng thức tam giác)
do AH=2AD nên 2AD<AC+CH
mà CH=AB nên 2AD<AB+AC (đpcm)
b)xét tg BGC có BG+GC>BC(bất đẳng thức tg)
mà BG\(=\dfrac{2}{3}BE\),\(GC=\dfrac{2}{3}CF\) nên \(\dfrac{2}{3}BE+\dfrac{2}{3}CF>BC\Rightarrow BE+CF>\dfrac{3}{2}BC\)(đpcm)
c)tương tự câu a ta có
2BE<AB+AC
2CF<BC+AC
suy ra 2(AD+BE+CF)<2(AB+AC+BC)
hay AD+BE+CF<AB+AC+BC (1)
tương tự câu b ta có CF+AD>\(\dfrac{3}{2}AC;BE+AD>\dfrac{3}{2}AD\)
cộng các vế với vế trong các bất đẳng thức trên ta có
2(AD+BE+CF)>3/2(AB+AC+BC)
\(\Leftrightarrow AD+BE+CF>\dfrac{3}{4}\left(AB+AC+BC\right)\left(2\right)\)
từ (1) và (2) ta có \(\dfrac{3}{4}\left(AB+AC+BC\right)< AD+BE+CF< AB+BC+AC\left(đpcm\right)\)
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Diện tích của các tam giác AGB, Bgc và AGC có bằng nhau không. Vì sao?
Câu trả lời của bạn
Hình thì chắc bạn tự vẽ được nha!!!
Xét tam giác ABC và điểm G là trọng tâm của tam giác.
Các tia AG,BG,CGcắt các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,M,E.Vẽ AH vuông góc BM, Ck vuông góc BM. ta có:
tam giác AHM=tam giác CKM(cạnh huyền-góc nhọn)suy ra AH=CK
hai tam giác GABvà GBC có đáy GB chung, AH=CK nên diên tích tam giác GAB=diện tích tam giác GBC.
Tương tự, ta có diện tích tam giác GBC=diện tích tam giác GAC
Từ đó suy ra diện tích tam giác GAb=diện tích tam giác GBC=diện tích tam giác GAC
Chúc bạn học tốt nha!!! NHớ tick đúng cho mình nha!! Cảm ơn nhiều!!!
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HA = HD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB.
a, CM: C là trọng tâm tam giác ADE.
b, Tia AC cắt DE tại M, CM: AE //HM.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, BC = 13cm. Ba đường trung tuyến AM, BN, CE cắt nhau tại O.
a, Tính AM, BN, CE.
b, Tính diện tích tam giác BOC.
Help me!!! Mk cần gấp!!!
Câu trả lời của bạn
a) Xét \(\Delta ADE\) có :
\(HE\) là đường trung tuyến của \(AD\) ( HA=HD )(1)
Ta thấy \(HC=\dfrac{1}{2}BC\) ( AH là đường trung tuyến của BC )
Mà BC = CE (gt )
\(\Rightarrow HC=\dfrac{1}{2}CE\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow C\) là trọng tâm của \(\Delta ADE\)
b) Hơi khó đấy :)
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có :
\(HA\) chung
\(HB=HC\) ( AH là đường trung tuyến của BC )
\(AB=AC\) ( \(\Delta ABC\) cân tại A )
Do đó : \(\Delta AHB=\Delta AHC\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) ( hai góc tương ứng )
Mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^o\) ( hai góc kề bù )
\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta HED\) có :
\(HE\) chung
\(HA=HD\) ( HE là đường trung tuyến của AD )
\(\widehat{AHE}=\widehat{DHE}\left(=90^o\right)\)
Do đó : \(\Delta AHE=\Delta DHE\) ( hai cạnh góc vuông )
\(\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{DEH}\) ( góc tương ứng ) (*)
Vì C là trọng tâm của \(\Delta AED\) \(\Rightarrow AM\) là đường trung tuyến của DE )
\(\Rightarrow DM=ME\)
Xét \(\Delta HED\) vuông tại H có : HM là đường trung tuyến nối từ đỉnh H đến DE
\(\Rightarrow HM=DM\) (1)
Lưu ý : Trong tam giác vuông , đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền . Tức \(HM=\dfrac{1}{2}DE\). Mà \(\dfrac{1}{2}DE=DM\)\(\Rightarrow HM=DM\)
Trở lại vào bài :
Mặt khác \(DM=ME\left(cmt\right)\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HM=ME\)
\(\Rightarrow\Delta HME\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{MHE}=\widehat{MEH}\)
Dễ thấy \(\widehat{MEH}=\widehat{HEA}\left(cmt\right)\) ở cái (*)
\(\Rightarrow\widehat{MHE}=\widehat{HEA}\)
mà hai góc này ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow HM\)//\(AE\) (đpcm)
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HA = HD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB.
a, CM: C là trọng tâm tam giác ADE.
b, Tia AC cắt DE tại M, CM: AE //HM.
Câu trả lời của bạn
a) Vì AH = HD => EH là đg trung tuyến của tg ADE
Khi đó C thuộc đg trung tuyến EH (1)
Do tg ABC cân tại A
mà AH là đg cao của tg ABC
=> AH là đg trung trực của tg ABC
=> BH = CH
=> BH = CH = 1/2 BC
Lại do BC = CE
=> CH = 1/2 CE
hay CE = 2/3 EH (2)
Từ (1); (2) => C là trọng tâm tg ADE.
Cho tam giác ABC có AB<AC ,hai trung tuyến BE,CF và trọng tâm G.CMR:
a) BE<CF
b) góc GBC >góc GCB
Câu trả lời của bạn
a ) dựa vào AB<AC và định lí cạnh đối diện vs góc lớn hơn là cạnh lớn hơn
b) dựa vào AB < AC và định lí góc đối diện vs cạnh lớn hơn là góc lớn hơn
Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D
a) Cho biết BC=10cm, AB=6cm, AD=3cm.Tính độ dài các đoạn thẳng AC,CD
b) Vẽ DE,vuông góc với Bc tại E. Chứng minh rằng tam giác ABD=tam giác EBD và tam giác BAE cân
c) Gọi F là giao điểm của hai đường thằng AB vad DE. So sánh DE và DF
d)Gọi H là giao điểm của BD và CF, K là điểm trên tia đối của tia DF sao cho DK=DF, I là điểm trên đoạn thẳng Cd sao cho CI=2DI. Chứng minh ràng ba điểm K,H,I thẳng hàng
Giúp giùm mình nha :3
Câu trả lời của bạn
a) Theo định lí Pytago, ta có:
BC2 = AB2 + AC2
=> AC2 = BC2 - AB2
=> AC2 = 102 - 62
=> AC2 = 64
Vậy AC = 8
Mà AD + CD = AC
=> CD = AC - AD
=> CD = 8 - 3 = 5
b) Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông EBD, ta có:
BD: chung
góc ABD = góc EBD ( vì BD là tia phân giác của góc ABE)
Do đó: tam giác ABD = tam giác EBD (cạnh huyền.góc nhọn)
=> AB = BE (2 cạnh tương ứng)
Hay tam giác BAE cân tại B
c) Vì trong tam giác vuông, cạnh huyền luôn là cạnh lớn nhất
nên DF > AD
mà AD = DE ( vì tam giác ABD = tam giác EBD)
Vậy DF > DE
d) Tam giác BCF có CA và EF là 2 đường cao cắt nhau tại D
=> D là trực tâm của tam giác BCF
=> BH song song với CF
Mà BH là đường phân giác của BAC
=> tam giác BCF cân tại B
=> BH là đường trung tuyến
Xét tam giác CFK có:
CD là trung tuyến ( vì DK = DF nên D là trung tâm của FK)
\(CI=\dfrac{2}{3}\cdot CD\) (vì CI = 2DI nên \(\dfrac{CI}{CD}=\dfrac{CI}{CI+DI}=\dfrac{2DI}{2DI+DI}=\dfrac{2DI}{3DI}=\dfrac{2}{3}\) )
=> I là trọng tâm của tam giác CFK
=> KI đi qua trung điểm CF
mà H là trung điểm của CF (vì BH là đường trung tuyến)
Vậy K,I,H thẳng hàng
CMR: các đường trung tuyến của 1 tam giác phân chia tam giác đó thành 6 tam giác mà DT của chúng (đôi 1 ) bằng nhau
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{S_{OFA}}{S_{OFC}}=\dfrac{AF}{FC}=1\)
\(\dfrac{S_{OAD}}{S_{OBD}}=\dfrac{AD}{DB}=1\)
\(\dfrac{S_{OBE}}{S_{OCE}}=\dfrac{BE}{CE}=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{OFA}}{S_{OFC}}=\dfrac{S_{OAD}}{S_{OBD}}=\dfrac{S_{OBE}}{S_{OCE}}=1\)
=> ĐPCM
Cho tg ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho BD=BA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1/3 BC. Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng DK=KC.
M.n ơi! giúp mik nha! mik đang cần gấp!
Câu trả lời của bạn
Hình bạn tự vẽ nha.
CM
Ta có:
BA = BD (GT)
Mặt khác:
BE = 1/3 BC
=> BC là đường trung tuyến của tam giác ADC
=> E là trọng tâm của tam giác ADC
=> AK là đường trung tuyến của tam giác ADC
=> K là trung điểm của DC
=> DK = KC
Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điển của BM. Trên tia đối của tia IA lấy E sao cho IE=IA: a, Điểm M là trọng tâm của tam giác nào? b, Gọi F là trung điểm cua C. Chứng minh răng: A,M,F thẳng hàng
Câu trả lời của bạn
Hình thì chắc bạn tự vẽ được nha!!!
a,Vì I là trung điểm của AE nên CI là trung tuyến của AE của tam giác CAE
Ta có: MC=MB(gt) và \(MI=\dfrac{1}{2}MB\)
=> \(MI=\dfrac{1}{2}MC\)=>\(MI=\dfrac{1}{3}CI\)
=> M là trọng tâm của tam giác ACE
b, Vì F là trung điểm của CE nên AF là trung truyến của cạnh CE của tam giác CAE mà M là trọng tâm của tam giác CAE ( theo câu a) nên A; M; F thẳng hàng (đpcm)
Chúc bạn học tốt nha!!!
cho tam giác ABC nhọn có BC < AB < AC . từ B vẽ BH vuông góc với AC tại H , trên tia BH lấy điểm D sao cho H là trung điểm của BD
Câu trả lời của bạn
a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ADH\) ,có :
BH = DH ( gt )
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}=90^0\)
AH là cạnh chung
=> \(\Delta ABH=\Delta ADH\left(c.g.c\right)\)
b) Ta có :
N nằm trên đg trung trực của BD
=> NB = ND
Xét \(\Delta BDC\) :
CH là đường trung tuyến (Vì H là trung điểm của BD )
DE là đường trung tuyến (Vì E là trung điểm của BC )
Mà CH cắt DE tại N
=> N là trọng tâm của tam giác BDC
=> ND = 2EN
mà ND = BN => NB = 2EN
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *