Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }},\,\,x \ne \sqrt 2 \\
2\sqrt 2 ,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \sqrt 2
\end{array} \right.\)
b) \(g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,x \ne 2\\
3,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 2
\end{array} \right.\)
a) TXĐ:
Nếu \(x \ne \sqrt 2\) thì
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }}\)Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
Với \(x = \sqrt 2 \), ta có:
\(f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left( {x + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \)
Vậy hàm số liên tục tại
\(x = \sqrt 2 \)Kết luận: Hàm số liên tục trên
b) TXĐ:
Với
thì \(g\left( x \right) = \frac{{1 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng
vàVới
, ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{1 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = - \infty \ne f\left( 2 \right)\)
Hàm số
gián đoạn tạiVậy hàm số
liên tục trên các khoảng và nhưng gián đoạn tại .-- Mod Toán 11