Chứng minh phương trình \({x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n} = 0\) luôn có nghiệm với
là số tự nhiên lẻ.Đặt \(f\left( x \right) = {x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}\)
là hàm đa thức nên xác định và liên tục trên
Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right)}\\
{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n}\left( {1 + \frac{{{a_1}}}{x} + \frac{{{a_2}}}{{{x^2}}} + ... + \frac{{{a^{n - 1}}}}{{{x^{n - 1}}}} + \frac{{{a^n}}}{{{x^n}}}} \right) = + \infty }
\end{array}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên với dãy (
) bất kì mà ta luôn có \(\lim f({x_n}) = + \infty \)Do đó
có thể nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ số hạng nào đó trở đi.Nếu số dương đó là 1 thì
kể từ số hạng nào đó trở đi.Hay luôn tồn tại một số
sao cho
{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right)}\\
{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n}\left( {1 + \frac{{{a_1}}}{x} + \frac{{{a_2}}}{{{x^2}}} + ... + \frac{{{a^{n - 1}}}}{{{x^{n - 1}}}} + \frac{{{a^n}}}{{{x^n}}}} \right) = - \infty }
\end{array}\)
(vì
là số lẻ)Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) nên với dãy (
) bất kì mà ta luôn có \(\lim f({x_n}) = - \infty \) hay \(\lim [ - f({x_n})] = + \infty \).Do đó
có thể nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ số hạng nào đó trở đi.Nếu số dương đó là
thì kể từ số hạng nào đó trở đi.Hay luôn tồn tại một số b sao cho
Do vậy
Mặt khác hàm số
liên tục trên nên liên tục trênDo đó phương trình
luôn có nghiệm.-- Mod Toán 11