Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
a) \((1 - {m^2}){(x + 1)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)
b) \(m(2\cos x - \sqrt 2 ) = 2\sin 5x + 1\)
a) Xét đa thức \(f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3\) là hàm đa thức nên liên tục trên
Ta có:
\(f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 2 > 0,\forall m;f\left( { - 1} \right) = - 1 < 0\)
Suy ra
Theo định lý 3, tồn tại một số
sao choDo đó phương trình
luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng với mọi m.Nghĩa là, phương trình \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m
b) Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = m\left[ {2\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right] - 2\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right) - 1 = - 1 + \sqrt 2 > 0\\
f\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = m\left[ {2\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right] - 2\sin \left( { - \frac{{5\pi }}{4}} \right) - 1 = - 1 - \sqrt 2 < 0
\end{array}\)
Suy ra \(f\left( { - \frac{\pi }{4}} \right).f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) < 0\) với mọi m.
Tồn tại một nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)\).
Vậy phương trình \(f(x) = 0\) luôn có nghiệm với mọi m.
-- Mod Toán 11