Chứng minh rằng phương trình
a) \({x^5} - 3x - 7 = 0\) luôn có nghiệm;
b) \(\cos 2x = 2\sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{6};\pi } \right)\)
c) \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có nghiệm dương.
a) Xét hàm số \(f(x) = {x^5} - 3x - 7\) là hàm đa thức nên liên tục trên
Ta có: \(f(0) = - 7 < 0,f(2) = 19 > 0\)
Suy ra:
Theo định lý 3, tồn tại
sao choHay phương trình
luôn có nghiệm.b) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) liên tục trên
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + 2 = \frac{3}{2} > 0\\
f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \cos \pi - 2\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 2 = - 1 < 0\\
f\left( \pi \right) = \cos 2\pi - 2\sin \pi + 2 = 3 > 0
\end{array}\)
Vì \(f\left( { - \frac{\pi }{6}} \right).f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) < 0\) nên tồn tại một số \({x_0} \in \left( { - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho
Ta có: \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right).f\left( \pi \right) < 0\) nên tồn tại một số \({x_0} \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) sao cho
Vậy phương trình \(\cos 2x = 2\sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng
\(\left( { - \frac{\pi }{6};\pi } \right)\)c) Ta có: \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0\)
Xét hàm số \(f(x) = {x^3} + 6x - 3\) liên tục trên
Ta có: \(f(0) = - 3 < 0;f(1) = 4 > 0\) nên tồn tại một số dương
thuộc sao cho .Do đó phương trình có nghiệm dương.
-- Mod Toán 11