Cho hàm số
xác định trên khoảng chứa điểmChứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = L\) thì hàm số
liên tục tại điểm .Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} - L\)
Ta có
xác định trên và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\)Mặt khác, \(f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + L.\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)\) nên
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + L\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)} \right]\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( {{x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} L\left( {x - {x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x - {x_0}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)
\end{array}\)
Vậy hàm số liên tục tại
-- Mod Toán 11