Ở bài trước, ta đã tìm hiểu về Tứ giác nội tiếp đường tròn, điều kiện để một tứ giác có thể nội tiếp được đường tròn,... Còn ở bài này, ta đi đến khái niệm đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp đa giác.
Chẳng hạn:
- \((O_1)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O_1)\)
- \((O_2)\) là đường tròn ngoại tiếp ngũ giác \(MNOPQ\), ngũ giác \(MNOPQ\) nội tiếp đường tròn \((O_2)\)
Chẳng hạn, tứ giác \(ABCD\) là tứ giác ngoại tiếp đường tròn \((O_1)\), \((O_1)\) là đường tròn nội tiếp tứ giác \(ABCD\)
- Tam giác ABC đều có tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau
- Hình vuông XYZT có tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau
Bài 1: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;10cm). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính r?
Hướng dẫn:
Tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp cũng đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Vẽ đường cao BE của tam giác. Khi đó, do tam giác ABC đều nên BE là đường trung tuyến.
Ngoài ra, O cũng là trọng tâm của tam giác đều ABC. Do đó \(r=\frac{R}{2}=\frac{10}{2}=5cm\)
Bài 2: Cho hình vuông XYZT có tâm I. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp của hình vuông biết chu vi đường tròn nội tiếp của hình vuông XYZT là \(20\pi\)(cm)
Hướng dẫn:
Đặt \(R,r (cm)\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của hình vuông XYZT.
Theo đề bài, chu vi đường tròn nội tiếp của hình vuông XYZT là \(20\pi\)(cm) nên \(2r.\pi=20\Rightarrow r=10 cm\)
Vẽ \(ID\perp XY (D\in XY)\)
Khi đó tam giác IXD vuông cân tại D, áp dụng định lí Pytago ta có \(R^2=2r^2\Rightarrow R=\sqrt{2.10^2}=10\sqrt{2} cm\)
Chu vi đường tròn ngoại tiếp của hình vuông là: \(2\pi R=20\sqrt{2} \pi (cm)\)
Bài 3: Cho hình vuông MNPQ có cạnh bằng 4cm. Tính diện tích hình vuông, diện tích hình tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông MNPQ.
Hướng dẫn:
Diện tích hình vuông MNPQ là: \(S_{MNPQ}=4^2=16(cm^2)\)
Kẻ \(OS\perp PQ (S\in PQ)\) thì \(SQ=SP=2cm\)
Dễ chứng minh tam giác OSQ vuông cân tại S
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông cân OSQ ta có \(OQ=\sqrt{2.OS^2}=2\sqrt{2}(cm)\)
Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông là: \(S_{1}=OS^2.\pi=4\pi (cm^2)\)
Diện tích hình tròn ngoại tiếp hình vuông là: \(S_{2}=OQ^2.\pi=(2\sqrt{2})^2\pi=8\pi (cm^2)\)
Bài 1: Chứng minh rằng: Trong hình vuông, bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn lớn hơn bán kính đường tròn nội tiếp của hình vuông đó.
Hướng dẫn:
Xét hình vuông ABCD có tâm O, kẻ \(OM\perp CD (M\in CD)\)
Lúc đó OD là bán kính đường tròn ngoại tiếp, OM là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD
\(\bigtriangleup OMD\) vuông tại M nên \(OD\geq OM\) (1)
Giả sử \(OD= OM\) khi đó đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp là hai đường tròn có chung tâm O và độ dài hai bán kính bằng nhau nên chúng trùng nhau.
Lúc đó không tồn tại hình vuông vừa có đỉnh trên đường tròn (O) vừa có cạnh tiếp xúc với đường tròn (O)
Do đó \(OD\neq OM\) kết hợp với (1) ta có \(OD> OM\) (đpcm)
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đặt R,r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp lục giác. Viết biểu thức liên hệ giữa R và r.
Hướng dẫn:
Lục giác ABCDEF đều nên chia đường tròn ngoại tiếp (O) thành 6 cung bằng nhau, suy ra \(\widehat{AOF}=\frac{360^0}{6}=60^0\)
Tam giác AOF cân tại O có \(\widehat{AOF}=60^0\) nên \(\bigtriangleup AOF\) đều.
Vẽ đường cao AH của \(\bigtriangleup AOF\) khi đó \(OH=r\) và \(AH=\frac{R}{2}\)
\(\bigtriangleup AOH\) vuông tại H nên \(AO^2=OH^2+AH^2\Rightarrow R^2=r^2+(\frac{R}{2})^2\Rightarrow r^2=\frac{3R^2}{4}\Rightarrow r=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)
3. Luyện tập Bài 8 Chương 3 Hình học 9
Qua bài giảng Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 8để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Khẳng định nào sau đây là đúng:
Tam giác đều ABC có tâm (O), bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là 12cm. Khi đó, chu vi tam giác là:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 8 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1
Bài tập 61 trang 91 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 62 trang 91 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 63 trang 92 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 64 trang 92 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 44 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 45 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 46 trang 107 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 47 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 48 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 49 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 50 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 51 trang 108 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 8.1 trang 109 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 8.2 trang 109 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Khẳng định nào sau đây là đúng:
Tam giác đều ABC có tâm (O), bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là 12cm. Khi đó, chu vi tam giác là:
Cho hình vuông ABCD có tâm O. Gọi R,r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp hình vuông ABCD. Biết \(R+r=3\sqrt{2}(cm)\). Tính chu vi đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.
Phát biểu nào sau đây là sai:
Cho lục giác ABCDEF đều có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(2\sqrt{3} (cm)\). Bán kính đường tròn nội tiếp lục giác này là:
a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.
b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).
c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O;r)
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.
b) Vẽ đường tròn (O;R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
c) Vẽ đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.
d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O;R).
Vẽ các hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O;R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.
Trên đường tròn bán kính R, lần lượt đặt cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho \(\small sd\widehat{AB}=60^o\), \(\small sd\widehat{BC}=90^o\) và \(\small sd\widehat{CD}=120^o\).
a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.
Vẽ hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) rồi vẽ tam giác đều có một đỉnh là \(A\) và nhận \(O\) làm tâm. Nêu cách vẽ.
Vẽ đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 2cm\) rồi vẽ hình tám cạnh đều nội tiếp đường tròn \((O; 2 cm).\) Nêu cách vẽ.
Cho một đa giác đều \(n\) cạnh có độ dài mỗi cạnh là \(a.\) Hãy tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp và bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp đa giác đều đó.
Hướng dẫn:
Tính \(\widehat {COB}\) rồi tính \(\sin \widehat {COB}\) và \(\tan\widehat {COB},\) từ đây tính được \(R\) và \(r\) \((h.4).\)
\(a)\) Vẽ một lục giác đều \(ABCDEG\) nội tiếp đường tròn bán kính \(2cm\) rồi vẽ hình \(12\) cạnh đều \(AIBJCKDLEMGN\) nội tiếp đường tròn đó. Nêu cách vẽ.
\(b)\) Tính độ dài cạnh \(AI.\)
\(c)\) Tính bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp hình \(AIBJCKDLEMGN.\)
Hướng dẫn. Áp dụng các công thức ở bài \(46.\)
\(a)\) Tính cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính \(3cm.\)
\(b)\) Tính cạnh của một ngũ giác đều ngoại tiếp đường tròn bán kính \(3cm.\)
Tính cạnh của hình tám cạnh đều theo bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp.
Hướng dẫn:
Cách \(1:\) áp dụng công thức \(a = 2R\sin\displaystyle {{180^\circ } \over n}\)
Cách \(2:\) tính trực tiếp.
Vẽ dây \(AB\) là cạnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn \((O),\) gọi \(C\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(AB.\) Khi đó \(CA\) là cạnh của hình tám cạnh đều nội tiếp. Hãy tính \(CA\) trong tam giác vuông \(CAC’.\)
Trong đường tròn \((O; R)\) cho một dây \(AB\) bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây \(BC\) bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (điểm \(C\) và điểm \(A\) ở cùng một phía đối với \(BO\)). Tính các cạnh của tam giác \(ABC\) và đường cao \(AH\) của nó theo \(R.\)
Cho ngũ giác đều \(ABCDE.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BE.\) Chứng minh \(D{I^2} = AI.AD\)
Mỗi câu sau đây đúng hay sai?
\(a)\) Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp.
\(b)\) Mỗi tứ giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp.
\(c)\) Giao điểm ba đường trung tuyến của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy.
\(d)\) Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy.
\(e)\) Giao điểm ba đường phân giác trong của một tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ấy.
\(f)\) Giao điểm ba đường cao của một tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ấy.
\(g)\) Tứ giác có tổng độ dài các cặp cạnh đối nhau bằng nhau thì ngoại tiếp được đường tròn.
\(h)\) Tứ giác có tổng số đo các cặp góc (trong) đối nhau bằng nhau thì nội tiếp được đường tròn.
\(i)\) Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác đó.
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và điểm \(M\) ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm \(M\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA,\) \(MB\) với đường tròn \((O).\) Qua điểm \(M\) kẻ cát tuyến \(MCD\) với đường tròn \((O)\) (tức là đường thẳng đi qua điểm \(M\) và cắt đường tròn tại hai điểm \(C, D).\) Gọi \(I\) là trung điểm của dây \(CD.\) Khi đó \(MAOIB\) có là ngũ giác nội tiếp hay không\(?\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho △ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn (o). Gọi d là trung tuyến của đg` tròn tại A. Các trung tuyến của đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự tại D và E.
a) CM: OD ⊥ OE
b) Cm: BD.CE = R2
c) CM: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE
Câu trả lời của bạn
a) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến giao nhau ta có:
\(\widehat{BOD}=\widehat{DOA}\) và \(\widehat{AOE}=\widehat{EOC}\)
Mà \(\widehat{BOD}+\widehat{DOA}+\widehat{AOE}+\widehat{EOC}=180^O\)
\(\Leftrightarrow2\left(\widehat{DOA}+\widehat{AOE}\right)=180^O\)
\(\Rightarrow\widehat{DOE}=90^o\)
Vậy OD\(\perp\)OE
b) Ta có tam giác DOE vuông tại O
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao:
OA2=AD.AE
Mà DA=DB; AE=EC (tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau)
=>BD.CE=R2
c) Ta có: \(\widehat{DOA}=90^o\)( chứng minh trên)
=> O thuộc đường tròn đường kính DE( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà BC đi qua O
Vậy BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE
Bạn tự vẽ hình nhé! Một số chỗ chưa chứng minh chặt chẽ cho lắm bn thông cảm
Cho ( O ) đường kính AB và dây CD không cắt AB , GỌi H , K lần lượt là chân đườn vuông góc kẻ từ A và B xuống dường thẳng CD . CHứng minh : CH = DK
Câu trả lời của bạn
Vẽ OI \(\perp CD\)
\(\left(O\right)\) đưong kinh AB có \(OI\perp CD\)(cách vẽ)
=> \(I\) là trung điểm của CD (quan hệ vuông góc giữa đường kinh vs dây)
=> CI=DI
Xét tứ giác AHDB có
AH//BD ( \(\perp CD\) --> T/c từ vuông góc đến song song)
=> tứ giác AHDB là hinh thang ( dhnb)
Xét hinh thang AHDB có
AH//OI//BD ( \(\perp CD\)---> T/c từ vuông góc đến song song)
mà O là trung điểm của AB ( O là tâm của đuong tròn bán kinh AB)
=> I là trung điểm của HK (T/C đường trung binh của hình thang)
=> IH=IK
Có IH -CI = IK -DK
=> CH=DK (đpcm)
Tik hộ
cho nửa đường tròn tâm o , đường kính ab = 2r . trên tia đối của tia ab lấy điểm e cắt các tiếp tuyến kẻ từ a và b của nửa đường tròn lần lượt tại c và d . gọi m là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ e . chứng minh :
\(\dfrac{dm}{de}=\dfrac{cm}{ce}\)
Câu trả lời của bạn
điểm E cắt tiếp tuyến ??? vẽ hình coi sao
Chứng minh phần 3 giúp mình với, cảm ơn.
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC ( M khác A, C ); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
1. CM CBKH là tứ giác nội tiếp \
2. Chứng minh \(\widehat{ACM}=\widehat{ACK}\) \
3. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C
Câu trả lời của bạn
Mình giải được rồi cảm ơn các bạn.
cho đường tròn (O;R), lấy điểm M nằm ngoài đường tròn(O;R) sao cho qua M kẻ hai đường tiếp tuyến MA, MB của (O;R) và góc nhọn AMB( với A,B là các tiếp điểm ). Kẻ AH vuông góc với MB tại H. Đường thẳng AH cắt đường tròn (O;R) tại N(khác A).
1,chứng minh tứ giác NHBI, AINK nội tiếp
2, chứng minh tam giác NHI đồng dạng với tam giác NIK
3, Gọi Cc là giao điểm của NB và HI, D là giao điểm của NA KI. Đường thẳng CD cắtMA tại E. chứng minh CI = EA
Câu trả lời của bạn
Điểm I đâu bạn ?
Cho tam giác ABC ( AB<AC ) nội tiếp đường tròn ( o). Tiếp tuyến tại B cắt tiếp tuyến tại C tại M. MA cắt (o) tại D, OM cắt BC tại H
Chứng minh :
a) Tứ giác OBMC nội tiếp, xác định tâm K
b) MB2 = MD . MA
c) OADH nội tiếp và góc OAH = góc MDH
d) Góc BAD = góc CAH
Câu trả lời của bạn
a) Ta có: BM , CM là t/tuyến của (O)
\(\Rightarrow\) \(BM\perp OB\) tại B
\(CM\perp OC\) tại C
Xét tứ giác OBMC có:
\(\widehat{OBM}=90^o\) (vì \(BM\perp OB\) tại B)
\(\widehat{OCM}=90^o\) (vì \(CM\perp OC\) tại C)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{CBM}+\widehat{OCM}=180^o\)
Do đó: OBMC nội tiếp đường tròn đường kính OM
Tâm K là trung điểm của OM
b) Xét \(\Delta\) MDB và \(\Delta\) MBA có:
\(\widehat{BMA}\) chung
\(\widehat{MBD}=\widehat{MAB}\) (vì cùng chắn cung BD)
Do đó: \(\Delta\) MDB ~ \(\Delta\) MBA (g.g)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{MB}{MD}=\dfrac{MA}{MB}\) \(\Rightarrow\) \(MB^2=MD.MA\)
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF cắt OM tại H, cắt OA tại B. Chứng minh:
a) Tứ giác ABHM nội tiếp
b) OA.OB = OH.OM = R2
c) Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố định khi M di chuyển trên d
d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác HBO lớn nhất
Câu trả lời của bạn
Hướng dẫn giải:
a) Do ME, MF là tiếp tuyến với đường tròn suy ra EF ⊥ OM
Tứ giác ABHM có góc A = góc H = 900 nên tứ giác này nội tiếp đường tròn bán kính MB.
b) \(Δ_VOHB ∼ Δ_VOAM\) (g.g)
\(\Rightarrow \dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OB}{AM}\)
\(\Rightarrow OA.OB=OH.OM\) (1)
\(Δ_VOHE∼ Δ_VOEM\) (g.g)
\(\Rightarrow \dfrac{OH}{OE}=\dfrac{OE}{OM}\)
\(\Rightarrow OH.OM=OE^2=R^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OA.OB=OH.OM =R^2\)
c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O). Nối FI.
Do \(\stackrel\frown{FI}=\stackrel\frown{EI}\) suy ra \(\widehat{MFI}=\widehat{EFI}\)
Suy ra FI là phân giác của góc \(\widehat{MFE}\)
Lại có MI là phân giác của góc \(\widehat{EMF}\)
Do đó I là giao điểm của đường phân giác trong của tam giác MEF
\(\Rightarrow\) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Mà I thuộc đường tròn (O) cố định. Suy ra đpcm.
d) Diện tích tam giác HBO: \(S=\dfrac{1}{2}HO.HB\)
Xét \(Δ_VOHB∼ Δ_VOAM\) (g.g)
\(\Rightarrow \dfrac{HB}{AM}=\dfrac{OB}{OM}\)
\(\Rightarrow HB.OM=AM.OB\) (3)
Có: \(OH.OM=R^2\) (4)
Nhân (3) và (4) vế với vế ta được: \(OH.HB.OM^2=R^2.AM.OB=R^2.AM.\dfrac{R^2}{OA}\)
\(\Rightarrow OH.HB = R^4.\dfrac{AM}{OA.OM^2}= R^4.\dfrac{AM}{OA.(OA^2+AM^2)}\)
Áp dụng BĐT Cô si với OA và AM ta có: \(OA^2+AM^2\ge2.\sqrt{OA^2.AM^2}=2.OA.AM\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(OA=AM\)
\(\Rightarrow OH.HB \le R^4.\dfrac{AM}{OA.2.OA.AM}=\dfrac{R^4}{2OA^2}\)
Suy ra: \(S_{max}=\dfrac{R^4}{4.OA^2}\) khi \(OA=AM\)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong ( O ) , ba đường cao AD , BE , CF cắt (O) lần lượt tại M,N,K .C/m:
\(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
\(S_{ABC}=\frac{AD.BC}{2}; S_{ABMC}=\frac{AM.BC}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{S_{ABMC}}{S_{ABC}}=\frac{AM}{AD}\)
Hoàn toàn TT: \(\frac{S_{ABCN}}{S_{ABC}}=\frac{BN}{BE}; \frac{S_{ACBK}}{S_{ABC}}=\frac{CK}{CF}\)
Do đó:
\(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=\frac{S_{ABMC}+S_{ABCN}+S_{ACBK}}{S_{ABC}}\)
\(=\frac{S_{ABC}+S_{BMC}+S_{ABC}+S_{ANC}+S_{ABC}+S_{AKB}}{S_{ABC}}=3+\frac{S_{BMC}+S_{ANC}+S_{AKB}}{S_{ABC}}(*)\)
Lại có:
\(\widehat{MBD}=\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
\(=\widehat{HAE}=90^0-\widehat{AHE}=90^0-\widehat{BHD}=\widehat{HBD}\)
Xét tam giác $HBD$ và $MBD$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MBD}=\widehat{HBD}\\ \widehat{BDH}=\widehat{BDM}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle HBD\sim \triangle MBD\)
\(\Rightarrow \frac{HD}{BD}=\frac{MD}{BD}\Rightarrow HD=MD\)
\(\Rightarrow S_{BHC}=\frac{HD.BC}{2}=\frac{MD.BC}{2}=S_{BMC}\)
Hoàn toàn TT: \(S_{AHC}=S_{ANC}; S_{AHB}=S_{AKB}\)
\(\Rightarrow S_{BMC}+S_{ANC}+S_{AKB}=S_{BHC}+S_{AHC}+S_{AHB}=S_{ABC}(**)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=4\) (đpcm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) . Đường tròn (O) đk BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E và D.
a/ Chứng minh: AE.AB=AD.AC
b/Gọi H là giao điểm của BD & CE; gọi K là giao điểm của AH & BC. Chứng minh: AH vuông góc với BC
c/ Ke tiếp tuyến AP, AQ đến đường tròn (O) ; P và Q là các tiếp điểm. Chứng minh: các điểm A,P,K,O,Q cùng nằm trên 1 đường tròn.
Câu trả lời của bạn
a) Xét 2 \(\Delta\) vuông AEC và ADB có:
\(\widehat{BAC}\) chung
Do đó: \(\Delta\) AEC ~ \(\Delta\) ADB (g.g)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}\) \(\Rightarrow\) \(AE.AB=AD.AC\) (ĐPCM)
b) Xét \(\Delta\) ABC có:
2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H
\(\Rightarrow\) H là trực tâm của \(\Delta\) ABC
mà: AK đi qua H
\(\Rightarrow\) \(AK\perp BC\) tại K
hay \(AH\perp BC\) tại K (ĐPCM)
Câu c mình không hiểu lắm , A đã nằm trên (O) rồi thì sao có thể vẽ tiếp tuyến được ?
Cho đường tròn tâm O , đường kính AB , vẽ điểm N đối xứng A qua M , BN cắt đường điểm C , E là giao của AC và BM .
a) Chứng minh : NE vuông góc với AB .
b) Gọi F đối xứng với E qua M . Chứng minh ; FA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O
c) FN là tiếp tuyến đường tròn tâm O , bán kính BA
Câu trả lời của bạn
What's M?
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C trên OB \(\left(C\ne O;C\ne B\right)\) sao cho đường thẳng (d) đi qua C vuông góc với AB. Đường thẳng (d) cắt nửa đường tròn (O) tại M, lấy điểm \(N\in\stackrel\frown{MB}\) , tia AN cắt (d) tại F, tia BN cắt (d) tại E. Biết AE cắt nửa đường tròn (O) tại D, chứng minh rằng: \(CF\) là tia phân giác của góc \(DCN\).
Câu trả lời của bạn
Xin lỗi bạn vì bây giờ mình mới onl để trả lời được .
Lời giải:
Bài này mấu chốt là việc chỉ ra $D,F,B$ thẳng hàng.
Theo tính chất góc nội tiếp chắn đường kính suy ra \(\widehat{ANB}=90^0\) hay \(AN\perp EB\)
Xét tam giác $EAB$ có \(AN\perp EB, EC\perp AB\) và \(AN\cap EC=F\) nên $F$ là trực tâm của tam giác $EAB$
Do đó: \(BF\perp EA\)
Mà \(BD\perp EA\) do \(\widehat{ADB}=90^0\) (góc nội tiếp chắn đường kính)
\(\Rightarrow BF\parallel BD\Rightarrow B,D,F\) thẳng hàng.
\(\Rightarrow \widehat{FDA}=90^0\)
Xét tứ giác $FDAC$ có \(\widehat{FDA}+\widehat{FCA}=90^0+90^0=180^0\) nên là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{DCF}=\widehat{DAF}=\widehat{DAN}(1)\)
Mặt khác:
Tổng hai góc đối \(\widehat{FCB}+\widehat{FNB}=90^0+90^0=180^0\) nên tứ giác $FNBC$ nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{NCF}=\widehat{NBF}=\widehat{NBD}(2)\)
Từ \((1); (2)\) kết hợp với \(\widehat{DAN}=\widehat{NBD}\) (hai góc nội tiếp chắn cung DN) suy ra \(\widehat{DCF}=\widehat{NCF}\), hay $CF$ là tia phân giác của góc \(\widehat{DCN}\).
Ta có đpcm.
Cho tam giác ABC nội tiếp trong (O) với đường cao AH ( H thuộc BC )
a) Tính bán kính ( O ) biết AB=8cm , AC=15cm , AH=5cm
Câu trả lời của bạn
Kẻ đường kính AM .
Theo định lý py ta go ta có :
\(HB=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39}cm\)
Theo hệ thức lượng cho \(\Delta ABM\) ta có :
\(BH^2=MH.AH\Leftrightarrow MH=\dfrac{BH^2}{AH}=\dfrac{39}{5}=7,8cm\)
\(\Rightarrow AM=7,8+5=12,8cm\)
\(\Rightarrow R=\dfrac{AM}{2}=\dfrac{17,8}{2}=8,9cm\)
Cho đường tròn tâm O và M là điểm ở ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm) và một cát tuyến cắt đường tròn tại C, D,
a/ Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh bốn điểm A,B,O,I nằm trên một đường tròn.
b/ AB cắt CD tại E. Chứng minh MA^2=ME.MI
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định . Điểm I là giao điểm của 3 đường phân giác trong. Tìm tập hợp các điểm I khi A di động , góc BIC bằng bao nhiêu
Câu trả lời của bạn
Gửi bạn lời giải nhé!
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *