Trong đường tròn \((O; R)\) cho một dây \(AB\) bằng cạnh hình vuông nội tiếp và dây \(BC\) bằng cạnh tam giác đều nội tiếp (điểm \(C\) và điểm \(A\) ở cùng một phía đối với \(BO\)). Tính các cạnh của tam giác \(ABC\) và đường cao \(AH\) của nó theo \(R.\)
Hướng dẫn giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)
Lời giải chi tiết
Dây AB bằng cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (O; R) nên AB = \(R\sqrt 2 \) và cung \(\overparen{AB}\) nhỏ có sđ \(\overparen{AB}\).
Dây BC bằng cạnh hình tam giác đều nội tiếp đường tròn (O; R) nên BC = \(R\sqrt 3 \) và cung nhỏ \(\overparen{BC}\) nhỏ có sđ \(\overparen{BC}\) \( = 120^\circ \).
\( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AC}\) = sđ \(\overparen{BC}\) - sđ \(\overparen{AB}\) = \(120^\circ - 90^\circ = 30^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AC}\) = 150(tính chất góc nội tiếp)
Trong ∆AHB có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow AH = AB.\sin \widehat {ABH} = R\sqrt 2 .\sin 15^\circ \approx 0,36R\)
Trong ∆AHC có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \)
\widehat {ACB} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AB}\) = 450 (tính chất góc nội tiếp)
\(AC = {{AH} \over {\sin \widehat {ACH}}} = {{AH} \over {\sin 45^\circ }} \approx {{0,36R} \over {\sin 45^\circ }} \approx 0,51R\)
-- Mod Toán 9