Nội dung bài Ôn tập chương V Đạo hàm sẽ giúp các em hệ thống những nội dung kiến thức trọng tâm của toàn chương từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Đạo hàm là kiến thức nền tảng phục vụ cho chương trình Giải tích 12, nên đòi hỏi các em phải học thật tốt chương này và ghi nhớ được các công thức tính đạo hàm.
Hình 1: Hệ thống kiến thức chương đạo hàm
Hàm số | Hàm hợp tương ứng |
\({\left( C \right)^\prime } = 0\,\,\,\,\,;\,\,\,\,{\left( x \right)^\prime } = 1\) | |
\({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\) | \({\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u'\,\,\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\) |
\({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\,\,,\,\,\left( {x > 0} \right)\) | \(\,\,\,{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'\,}}{{2\sqrt u }}\,\,\,\,\,,\,\,\left( {u > 0} \right)\) |
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\,\,\,\) | \({\left( {\sin u} \right)^\prime } = u.'\cos u\) |
\({\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\,\) | \({\left( {\cos u} \right)^\prime } = - u'.\sin u\) |
\({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\) | \(\,\,{\left( {\tan u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\,\) |
\({\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,\,\) | \(\,\,{\left( {\cot u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\,\) |
Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 4\) b) \(y = \sin x - \cos x + \tan x\)
c) \(y = {x^4} + 2\sqrt x \) d) \(y = \cot x - 3x + 2\)
Hướng dẫn:
a) \(y' = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 3x + 4} \right)' = 3{x^2} - 4x + 3\)
b) \(y' = \left( {\sin x - \cos x + \tan x} \right)' = \cos x + \sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
c) \(y' = \left( {{x^4} + 2\sqrt x } \right)' = 4{x^3} + \frac{1}{{\sqrt x }}\)
d) \(y' = \left( {\cot x - 3x + 2} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 3\)
Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số tại các điểm tương ứng
a) \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1\) tại \({x_0} = - 1\)
b) \(y = \sin 2x + \cos x\) tại \({x_0} = - \frac{\pi }{4}\)
c) \(y = \sqrt x - 2x\) tại \({x_0} = 2\)
Hướng dẫn:
\(\begin{array}{l}
a) y' = \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1} \right)' = - 3{x^2} + 6x - 4\\
\Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = - 3 - 6 - 4 = - 13
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
b) y' = \left( {\sin 2x + \cos x} \right)' = 2\cos 2x - \sin x\\
\Rightarrow y'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = 2\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) - \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
c) y' = \left( {\sqrt x - 2x} \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }} - 2\\
\Rightarrow y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} - 2 = \frac{{1 - 4\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}
\end{array}\)
Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số
\(\begin{array}{l}
{\rm{a) }}y = \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}\\
{\rm{b) }}y = \sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)\\
{\rm{c) }}y = \sqrt {{x^2} + 4x + 1} \\
{\rm{d) }}y = \tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)
\end{array}\)
Hướng dẫn:
a) \({\rm{ }}y' = \left( {\frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
b) \(y' = \left( {\sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)} \right)' = 2\cos \left( {2x + 1} \right) + \sin \left( {1 - x} \right)\)
c) \(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 4x + 1} } \right)' = \frac{{2x + 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }} = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }}\)
\(\begin{array}{l}
d) y' = \left( {\tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)} \right)' = \frac{{\left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)'}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)}}\\
= \frac{{2x + \frac{1}{{\sqrt x }}}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x + 1}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)}}
\end{array}\)
Ví dụ 4: Chứng minh \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\) với \(y = \cot 2x\)
Hướng dẫn:
Ta có \(y' = - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\)
Khi đó \(y' + 2{y^2} + 2 = - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}} + \frac{{2{{\cos }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}} + 2 = \frac{{ - 2 + 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)}}{{{{\sin }^2}2x}} = 0\) (đpcm)
Trên đây, bài viết đã giới thiệu đến các em những nội dung kiến thức trọng tâm của chương V Đại số và Giải tích 11. Từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương V - Toán 11để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Đạo hàm của hàm số f(t)=a3t4-2at2+3t-5a bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 4}}{{ - 2x + 1}}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm cuả hàm số \(y = \left( {\frac{3}{x} - 2x} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)\) bằng biểu thức nào sau đây?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương V - Toán 11 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 9 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 10 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 11 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 12 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 13 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5.112 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.113 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.114 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.115 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.116 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.117 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.118 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.119 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.120 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.121 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.122 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.123 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.124 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.125 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.126 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.127 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.128 trang 219 SBT Toán 11
Bài tập 5.129 trang 219 SBT Toán 11
Bài tập 5.130 trang 219 SBT Toán 11
Bài tập 5.131 trang 219 SBT Toán 11
Bài tập 49 trang 220 SGK Toán 11 NC
Bài tập 50 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 51 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 52 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 53 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 54 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 55 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 56 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 57 trang 222 SGK Toán 11 NC
Bài tập 58 trang 222 SGK Toán 11 NC
Bài tập 59 trang 222 SGK Toán 11 NC
Bài tập 60 trang 222 SGK Toán 11 NC
Bài tập 61 trang 222 SGK Toán 11 NC
Bài tập 62 trang 223 SGK Toán 11 NC
Bài tập 63 trang 223 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Đạo hàm của hàm số f(t)=a3t4-2at2+3t-5a bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 4}}{{ - 2x + 1}}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm cuả hàm số \(y = \left( {\frac{3}{x} - 2x} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = x\cos 2x - \frac{{\sin 3x}}{x}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{t + \tan t}}{{t - 1}}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Cho hàm số f(x)=|x-1|. Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{5}{x^5} - \frac{2}{3}m{x^3} + 2mx - 5x\)
Tập hợp các giá trị của m sao cho \(f'\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt là:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} \). Giá trị của \(x.f\left( 1 \right) - \left( {x - 1} \right).f'\left( 1 \right) - 16f''\left( 1 \right)\) bằng biểu thức nào sau đây?
Cho hàm số f(x)=x3+(m-1) x2+3x+2. Tập hợp các giá trị của m sao cho f'(x) > 0,∀x∈R là:
Cho parabol có phương trình y=x2-5x+6. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol biết tiếp điểm có hoành độ x = 2
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-5\)
b) \(y=\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}+\frac{5}{x^3}-\frac{6}{7x^4}\)
c) \(y=\frac{3x^2-6x+7}{4x}\)
d) \(y=\left ( \frac{2}{x}+3x \right )(\sqrt{x}-1)\)
e) \(y=\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\)
f) \(y=\frac{-x^2+7x+5}{x^2-3x}.\)
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) \(y=2\sqrt{x} .sinx-\frac{cosx}{x}\)
b) \(y= \frac{3cosx}{2x+1}\)
c) \(y= \frac{t^2+2cost}{sin t}\)
d) \(y=\frac{2cos\varphi -sin\varphi }{3sin\varphi +cos\varphi }\)
e) \(y=\frac{tanx}{sinx+2}\)
f) \(y=\frac{cotx}{2\sqrt{x}-1}\)
Cho hàm số: \(f(x)=\sqrt{1+x}\). Tính \(f(3)+(x-3).f'(3).\)
Cho hàm số \(f(x)=tan x\) và \(g(x)=\frac{1}{1-x}\). Tính \(\frac{f'(0)}{g'(0)}\).
Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng:
\(f(x)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{x^3}+5\)
Cho \(f_1(x)=\frac{cosx}{x}, f_2(x)=xsinx.\) Tính \(\frac{f_1(1)}{f_2(1)}.\)
Viết phương trình tiếp tuyến:
a) Của hypebol \(y=\frac{x+1}{x-1}\) tại điểm A(2;3);
b) Của đường cong \(y=x^3+4x^2-1\) tại điểm có hoành độ \(x_0=-1\)
c) Của Parabol \(y=x^2-4x+4\) tại điểm có tung độ \(y_0=1.\)
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: \(s=t^3-3t^2-9t\) trong đó t được tính bẳng giây và s được tính bằng mét.
a) Tính vận tốc của chuyển động khi t = 3s.
b) Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3s.
c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.
d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
Cho hai hàm số \(y=\frac{1}{x\sqrt{2}}\) và \(y=\frac{x^2}{\sqrt{2}}\)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Với \(g(x)=\frac{x^2-2x+5}{x-1}; g'(2)\) bằng:
(A) 1
(B) -3
(C) -5
(D) 0
Nếu \(f(x)=sin^3x+x^2\) thì \(f''(\frac{\pi }{2})\) bằng:
(A) 0
(B) 1
(C) -2
(D) 5
Giả sử \(h(x)=5(x+1)^3+4(x+1).\)
Tập nghiệm của phương trình h''(x) = 0 là:
(A) \([-1;2]\)
(B) \((-\infty ;0]\)
(C) \(\left \{ -1 \right \}\)
(D) \(\varnothing\)
Cho \(f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x.\)
Tập nghiệm của bất phương trình \(f'(x)\leq 0\) là:
(A) \(\varnothing\)
(B) \((0;+\infty )\)
(C) \([-2;2]\)
(D) \((-\infty ;+\infty )\)
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
Giải phương trình \(f'\left( x \right) = g\left( x \right),\) biết rằng:
Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra?
a) \(f(x) = \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} + 1}},f\prime (0) = ?\)
b) \(y = {(4x + 5)^2},y\prime (0) = ?\)
c) \(g(x) = \sin 4x\cos 4x,g\prime \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = ?\)
Chứng minh rằng \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in R\), nếu
Xác định a để \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in R\), biết rằng \(f(x) = {x^3} + (a - 1){x^2} + 2x + 1\)
Xác định a để \(g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R\), biết rằng:
\(g(x) = \sin x - a\sin 2x - \frac{1}{3}\sin 3x + 2ax\)
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) tại điểm có hoành độ
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
A. m > 2
B. m > 2 hoặc m < -2
C. m < -2
D. m ∈ R
Câu trả lời của bạn
\(f'\left( x \right) = {x^2} - 4x + {m^2}\) có \(\Delta ' = 4 - {m^2}\)
Để \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = 4 - {m^2} < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow 4 - {m^2} < 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\)
Chọn đáp án: B
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2x} \right)'\sin x - 2x\left( {\sin x} \right)'}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{{2\sin x - 2x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{{2x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\ = \dfrac{2}{{\sin x}} - \dfrac{{2x\cot x}}{{\sin x}}\\ = \dfrac{{2 - 2x\cot x}}{{\sin x}}\\ = \dfrac{{2\left( {1 - x\cot x} \right)}}{{\sin x}}\end{array}\)
A. y = 3x + 2
B. y = 3x - 2
C. y = 3x + 4
D. y = 3x + 3
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 3{x^2}\) \( \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = 3\)
\({x_0} = - 1 \Rightarrow y\left( { - 1} \right) = 0\)
Phương trình tiếp tuyến \(y = 3\left( {x + 1} \right) + 0\) hay \(y = 3x + 3\).
Chọn đáp án: D
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}y' = 3{\tan ^2}x\left( {\tan x} \right)'\\ = 3{\tan ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = 3.\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \dfrac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^4}x}}\\ \Rightarrow dy = y'dx = \dfrac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^4}x}}dx\end{array}\)
A. x = π/6 + kπ
B. x = π/4 + kπ
C. x = π/3 + kπ
D. x = kπ
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 3\sin x - \sqrt 3 \cos x\\f''\left( x \right) = - 3\cos x + \sqrt 3 \sin x\\f''\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 3\cos x + \sqrt 3 \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x = 3\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x = \sqrt 3 \cos x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 = \tan \dfrac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)
Chọn đáp án: C
Câu trả lời của bạn
Xét 1 giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\sin 3x\) và trục hoành là \(O\left( {0;0} \right)\).
Ta có: \(y' = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}.3\cos 3x = \sqrt 3 \cos 3x\)
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm \(O\) là: \(k = y'\left( 0 \right) = \sqrt 3 \cos 0 = \sqrt 3 \)
\( \Rightarrow \tan \alpha = \sqrt 3 \Rightarrow \alpha = {60^0}\)
Vậy góc cần tìm là \({60^0}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(y' = 8x - 6\).
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm.
Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 2x\) nên có hệ số góc \(k = 2\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 2\\ \Leftrightarrow 8{x_0} - 6 = 2\\ \Leftrightarrow {x_0} = 1\\ \Rightarrow {y_0} = {4.1^2} - 6.1 + 3 = 1\\ \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\end{array}\)
Vậy điểm cần tìm là \(M\left( {1;1} \right)\).
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& f''\left( x \right) = 6x - 2 \cr
& \Rightarrow f''\left( {\cos t} \right) = 6\cos t - 2 \cr} \) ;
\(\eqalign{
& g'\left( x \right) = 2x - 3 \cr
& \Rightarrow g'\left( {\sin t} \right) = 2\sin t - 3. \cr} \)
Vậy
\(\eqalign{
& 6\cos t - 2 = 2\sin t - 3 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin t - 6\cos t = 1 \cr
& \Leftrightarrow \sin t - 3\cos t = {1 \over 2}. \cr} \)
Đặt \(\tan \varphi = 3,\) ta được:
\(\begin{array}{l}
\sin t - \tan \varphi \cos t = \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \sin t - \dfrac{{\sin \varphi }}{{\cos \varphi }}\cos t = \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \sin t\cos \varphi - \sin \varphi \cos t = \dfrac{1}{2}\cos \varphi \\
\Leftrightarrow \sin \left( {t - \varphi } \right) = \dfrac{1}{2}\cos \varphi = \alpha
\end{array}\)
Suy ra
\(\left[ \matrix{
t = \varphi + \arcsin \alpha + k2\pi \hfill \cr
t = \pi + \varphi - \arcsin \alpha + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right). \hfill \cr} \right.\)
Câu trả lời của bạn
\(\eqalign{
& f'\left( {\sin t} \right) = 3{\sin ^2}t - 2\sin t + 2. \cr
& f'\left( {\sin t} \right) = 3 \cr
& \Leftrightarrow 3{\sin ^2}t - 2\sin t - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin t = 1 \hfill \cr
\sin t = - {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr
t = \arcsin \left( { - {1 \over 3}} \right) + k2\pi \hfill \cr
t = \pi - \arcsin \left( { - {1 \over 3}} \right) + k2\pi \hfill \cr} \right.\cr} \) \(\left( {k \in Z} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 2\)
Tại \({x_0} = 1\) thì \({y_0} = 3\) và \(f'\left( 1 \right) = 3\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {1;3} \right)\) là:
\(y = 3\left( {x - 1} \right) + 3\) hay \(y = 3x\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c\)
Theo bài ra ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 + b + c + d = 3\\ - 1 + b - c + d = - 3\\3.\dfrac{1}{9} + 2b.\dfrac{1}{3} + c = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c + d = 2\\b - c + d = - 2\\2b + 3c = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\c = 2\\d = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 2x + 1\)
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}{\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x}'\\ = \left( {ax + b} \right)'{f_z}'\left( {ax + b} \right)\\ = a{f_z}'\left( {ax + b} \right)\end{array}\)
Nên (*) đúng.
Giả sử (*) đúng với \(n = k\), nghĩa là
\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( k \right)} = {a^k}f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)\)
Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là:
\(\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( {k + 1} \right)} = {a^{k + 1}}f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\)
Thật vậy,
\(\begin{array}{l}\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( {k + 1} \right)}\\ = \left\{ {\left[ {f\left( {ax + b} \right)} \right]_x^{\left( k \right)}} \right\}'\\ = \left[ {{a^k}f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left[ {f_z^{\left( k \right)}\left( {ax + b} \right)} \right]'\\ = {a^k}.\left( {ax + b} \right)'.f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\\ = {a^k}.a.f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\\ = {a^{k + 1}}f_z^{\left( {k + 1} \right)}\left( {ax + b} \right)\end{array}\)
Suy ra đpcm.
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle y = {{{a^2}} \over x} \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = - {{{a^2}} \over {x_0^2}}.\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(\displaystyle M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là
\(\displaystyle \eqalign{
& y - {{{a^2}} \over {{x_0}}} = - {{{a^2}} \over {x_0^2}}\left( {x - {x_0}} \right) \cr
& \Leftrightarrow y = - {{{a^2}x} \over {x_0^2}} + {{2{a^2}} \over {{x_0}}}. \cr} \)
Cho \(\displaystyle x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}\) \(\displaystyle \Rightarrow A\left( {0;\dfrac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}} \right)\)
Cho \(\displaystyle y = 0 \Rightarrow - \dfrac{{{a^2}x}}{{x_0^2}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}x}}{{x_0^2}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {a^2}x = 2{a^2}{x_0}\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x = 2{x_0}\) \(\displaystyle \Rightarrow B\left( {2{x_0};0} \right)\)
Suy ra diện tích tam giác OAB là
\(\displaystyle S = {1 \over 2}.\left| {{{2{a^2}} \over {{x_0}}}} \right|.2\left| {{x_0}} \right| = 2{a^2} = const.\)
Câu trả lời của bạn
\(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f''\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g'\left( {\sin 3z} \right) + 3}} \) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{6\sin 5z - 2 + 2}}{{2\sin 3z - 3 + 3}}\) \(\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{6\sin 5z} \over {2\sin 3z}} \) \(\displaystyle = 5\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{{{\sin 5z} \over {5z}}} \over {{{\sin 3z} \over {3z}}}} = 5.\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 3\alpha } \right) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - 3\alpha } \right) + \cot \left( {\frac{{5\pi }}{2} + 3\alpha } \right)\\
= 1 - \sin 3\alpha - \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - 3\alpha } \right) + \cot \left( {3\pi - \frac{\pi }{2} + 3\alpha } \right)\\
= 1 - \sin 3\alpha + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 3\alpha } \right) + \cot \left( { - \frac{\pi }{2} + 3\alpha } \right)\\
= 1 - \sin 3\alpha + \cos 3\alpha - \cot \left( {\frac{\pi }{2} - 3\alpha } \right)\\
= 1 - \sin 3\alpha + \cos 3\alpha - \tan 3\alpha \\
= 1 - \sin 3\alpha + \cos 3\alpha - \frac{{\sin 3\alpha }}{{\cos 3\alpha }}\\
= \frac{{\cos 3\alpha - \sin 3\alpha \cos 3\alpha + {{\cos }^2}3\alpha - \sin 3\alpha }}{{\cos 3\alpha }}\\
= \frac{{\left( {\cos 3\alpha + {{\cos }^2}3\alpha } \right) - \left( {\sin 3\alpha \cos 3\alpha + \sin 3\alpha } \right)}}{{\cos 3\alpha }}\\
= \frac{{\cos 3\alpha \left( {1 + \cos 3\alpha } \right) - \sin 3\alpha \left( {1 + \cos 3\alpha } \right)}}{{\cos 3\alpha }}\\
= \frac{{\left( {1 + \cos 3\alpha } \right)\left( {\cos 3\alpha - \sin 3\alpha } \right)}}{{\cos 3\alpha }}\\
= \frac{{2{{\cos }^2}\frac{{3\alpha }}{2}.\sqrt 2 \cos \left( {3\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos 3\alpha }}\\
= \frac{{2\sqrt 2 {{\cos }^2}\frac{{3\alpha }}{2}\cos \left( {3\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos 3\alpha }}
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Ai giải hộ ik , tui cũng đang cần tham khảo !!!
:0
dể thk mà ko bt làm
.
tính đạo hàm của hàm số sau:
\(y=\sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}\)
help me
Câu trả lời của bạn
ADCT: \(\sqrt{u}'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\); \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'.v-u.v'}{v^2}\)
y'=\(\dfrac{\left(\dfrac{x^3}{x-1}\right)'}{2\sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}}\)
\(\left(\dfrac{x^3}{x-1}\right)'=\dfrac{\left(x^3\right)'.\left(x-1\right)-\left(x-1\right)'.x^3}{\left(x-1\right)^2}\)
=\(\dfrac{3x^2.\left(x-1\right)-x^3}{\left(x-1\right)^2}\)=\(\dfrac{2x^3-3x^2}{\left(x-1\right)^2}\)
=>y'\(\dfrac{2x^3-3x^2}{\left(x-1\right)^2.\sqrt{\dfrac{x^3}{x-1}}}\)=\(\dfrac{2x^3-3x^2}{\sqrt{\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^3}}\)
E đang học lý phần quang học 1. Có nhiều bài liên quan đến đạo hàm, nguyên hàm, tích phân và vi phân. Cho e hỏi đạo hàm, tích phân, nguyên hàm, vi phân, log, ln, lim thực ra là gì ạ. Cách tính nhanh các giá trị trên là gì. Và làm sao để biết khi nào dùng đạo hàm, khi nào dùng nguyên hàm, khi nào dùng tích phân, vi phân ạ. E đang cần gấp. Làm ơn giúp e
Câu trả lời của bạn
Đây là một câu hỏi rất rộng. Để biết khi nào dùng đạo hàm, nguyên hàm, ... thì bạn cần phải học về khái niệm của các đại lượng trên, cách tính và ý nghĩa của nó như thế nào.
Ví dụ về đạo hàm chẳng hạn.
Người ta định nghĩa đạo hàm thế này:
Hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập \(D\)
Tại giá trị \(x=x_0\) thì \(y=y_0\)
Tại giá trị \(x=x_1\) thì \(y=y_1\)
Ta có biến thiên của hàm số là: \(\Delta y=y_1-y_0\)
Biến thiên của đối số là: \(\Delta x = x_1-x_0\)
Ta gọi giới hạn nếu có của tỉ số \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) khi \(\Delta x\) tiến đến 0 là đạo hàm bậc nhất của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x=x_0\)
Viết là: \(y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
Ý nghĩa của đạo hàm
Trong chuyển động thẳng không đều, khi gắn chuyển động vào một hệ quy chiếu (có hệ tọa độ và mốc thời gian), thì để xác định vận tốc của chuyển động ta tìm:
+ Vận tốc trung bình: \(v_{TB}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\)
+ Để xác định vận tốc tức thời tại một vị trí, ví dụ tại M ở hình vẽ trên thì ta phải cho N tiến sát đến M, hay \(\Delta t \rightarrow 0\)
Từ đó suy ra: \(v=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\), theo khái niệm đạo hàm ta có giá trị này bằng đạo hàm bậc nhất của tọa độ \(x\) theo thời gian \(t\), viết lại là:
\(v=x'_{(t)}\)
Tương tự ta có gia tốc của chuyển động: \(a=v'_{(t)}\)
Ví dụ: Xét một chuyển động thẳng biến đổi đều có phương trình là:
\(x=10+3.t+2t^2\) (m)
Suy ra phương trình vận tốc là: \(v=x'_{(t)}=3+6.t (m/s)\)
Gia tốc của chuyển động là: \(a=v'_{(t)}=6(m/s^2)\)
Vậy nhé, còn các đại lượng khác thì bạn tìm hiểu trong sách Giải tích 12 sẽ rõ.
Cho hàm số y =2x/x+1 (C) tìm M thuộc(C) biết tiếp tuyến của C tại M cắt 2 trực ox và oy là A Và B diện tích tam giác OAB =1/4
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Gọi tọa độ điểm \(M(a,\frac{2a}{a+1})\)
\(y=\frac{2x}{x+1}\Rightarrow y'=\frac{2}{(x+1)^2}\)
Do đó phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ là:
\((d):y=f'(a)(x-a)+f(a)=\frac{2}{(a+1)^2}(x-a)+\frac{2a}{a+1}\)
\(\Leftrightarrow (d):y=\frac{2x+2a^2}{(a+1)^2}\)
Do đó: \((d)\cap Ox=A(-a^2,0)\)
\((d)\cap (Oy)=B(0, \frac{2a^2}{(a+1)^2})\)
Có: \(S_{OAB}=\frac{OA.OB}{2}=\frac{|-a^2||\frac{2a^2}{(a+1)^2}|}{2}=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2a^4}{(a+1)^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 4a^4-(a+1)^2=0\Leftrightarrow (2a^2-a-1)(2a^2+a+1)=0\)
Giải pt dễ dàng tìm được \(\left[\begin{matrix} a=1\\ a=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\) (t/m)
Do đó \(M\in\left\{(1,1); (\frac{-1}{2}, -2)\right\}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *